在小學數學解題中培養學生逆向思維能力

趙燕霞

逆向思維是數學思維重要的表現形式之一，在解應用題中發揮著重要的作用。因此，在小學數學教學中要對學生進行逆向思維的訓練。在解題過程中通過逆向思維可以解決常規辦法無法解決的問題，這樣，學生在解題過程中就會思維敏捷、思路開闊。

一、對于思路繁瑣的應用題，引導學生逆向思考解決

應用題是小學數學教學的重要內容，但是有些應用題條件復雜，要解決的問題讓人一時難以找到解決的思路。遇到這種情況，教師不妨引導學生能由眼前的已知條件，解決問題的過程聯想到與之相反或對立的解決辦法，從而讓問題處于一個新的數學情境中。在五年級學生參加的奧數競賽中有這樣的一道應用題：有一只猴子見到了一框桃子，第一天它吃了一筐桃子中的一半還多一個；第二天吃了剩下的一半還多一個；第三天又吃了剩下的一半多一個。同樣以后接下來的每一天都吃了剩下的一半多一個，當到了第10天的時框中只剩下一個桃子（這天猴子并沒有吃剩下的這個桃子）。問這只猴子一共吃了多少個桃子？對于這樣的問題，我們的通常做法是根據題目中的未知數運用分數知識來解答，可以設共有X個桃子，根據題意列一元一次方程，但是這樣推導出來的是一個十分復雜的式子，小學生是無法完成的。而如果采用逆向思維來分析解決問題的思路就容易多了，從第十天開始往前推，依次經過第9天、第8天……第1天，這樣問題變得簡單多了。根據題意有：第10天有桃子的個數是1；第9天的桃子個數應該是4個，以此類推到第一天。這樣，從題目中的已知條件最后的結果開始，利用已知條件一步一步地倒著推理，最后解決了問題。

二、不能用方程解決的應用題，利用逆向思維解決

在現行的蘇教版教材中，在五年級下冊教科書中還沒有引入方程，遇到了很多難以解決的應用題就需要采用逆向思維來解題。方程為我們解決某類問題提供了捷徑，但沒學習方程的情況下就需要我們開動腦筋，另辟解決問題的途徑來解決問題，這就是逆向思維。例如：羊圈中有100只羊，已知山羊的數量是綿羊數量的3倍，求山羊與綿羊各是多少？我們看其中的已知條件：問題要求算出山羊與綿羊的數量，只告訴我們二者的倍數關系與總和。小學生沒有學過二元一次方程，對這樣的題目感覺無從下手。因此，教師應該引導學生從題目中的已知條件開始進行逆向思考：山羊是綿羊的3倍，那么綿羊的3倍就是山羊的數量，假如現在只有綿羊一種，那么綿羊數量的4倍就應該是山羊的總數量，這樣，就能夠把題目中所給的信息聯系到一起了。

三、采用逆向分析法，逐層分析出要解決問題的條件

在小學應用題教學中我們常常遇到這樣的問題：在必須提供的正確的兩個條件中，如果其中的一個條件是未知的，就必須要找出這個條件，然后通過推導逐步弄清楚需要哪些條件，這就是逆向分析法。從求解的問題開始，逐步分析出已知條件，進而得出正確的解題方法。例如：一個加工廠需要生產某種零件，原計劃10天完成，每天的生產量是2000個，為了提前完成任務每天多加工500個。問：那么這樣實際比原計劃提前多少天完成任務？分析：問題是實際比原計劃少用多少天，這很容易理解：用原計劃時減去實際生產時間。而原計劃生產時間我們可以從題目中得知，未知的是實際生產的天數。要解決這個問題，就要求出生產零件的總個數與實際每天加工的零件個數這兩個條件，用生產零件的總個數除以實際每天加工的零件個數就可以知道實際用多少天完成生產任務了。而實際每天加工量從題目中已經知道了，現在需要知道的是生產零件的總個數這個未知數。通過逆向推導，生產零件的總個數應該是原計劃每天生產零件數乘以原計劃生產的天數，這兩個條件都在題目中已經告訴我們了。所以，首先，我們必須求出生產零件的總個數。不難得出：2000×10=20000（個）。其次，求出這批零件實際生產的時間，我們不難得出：20000÷2500=8（天）。最后，很容易求出實際比原計劃少用多少天：10-8=2（天）。那么綜合算式：10-2000×10÷2500=2（天）。這樣，順利地求出了實際比原計劃提前的時間。

四、采用逆向推導法，按照思路還原原題的相反意

在教學求解應用題的過程中我們也會遇到這樣的問題：當題目中的已知條件在經過多次變化后時，這就需要進行逆向推導。具體應該采取這樣的步驟：第一步，要弄清楚已知條件經過了幾次變化，是如何變化的，變化的結果是什么。第二步，以變化后的結果為線索，按照原題意進行還原。如果我們把已知條件的變化比喻成“輸入”，那么還原的結果就應該是“輸出”。如果原數的運算是加法，那么還原后的運算就應該是減法。乘法與除法亦然，由問題的結果進行逆推，從而得到要解決問題的解題方法，就是逆向思維中的倒推法。例如：商場第一天賣出30臺電視機，第二天新進50臺，接著又賣出15臺。那么商場還剩下72臺。問：商場原來有多少臺？分析：這個題目要求解的是商場原有的臺數，那就是原數。而這個原數在題目中卻經過了三次變化。第一天賣出了30臺，第二天又增加了50臺；第二天又賣出了15臺。在經過這三次變化后變成了72臺。這個過程中讓我們清楚地發現逆向推導的過程：從商場中現有的數量72臺開始，在賣出15臺以前，應該存在的數量：72+15=87（臺）。在這個過程中運來50臺之前，商場中的電視機的數量應該是：87-50=37（臺）。這讓我們很容易知道在運來50臺之前，商場中應該存在37臺。此時，所要求的問題還沒有得到解決，因為商場在第一天還賣出了30臺，此時再向前逆推一步。那就是商場在第一天賣出30臺之前，應該有多少臺？那么37+30=67（臺），這才是商場中原有電視機數量。

總之，培養小學生的逆向思維可以優化學生的解答應用題的能力。因此，我們在小學數學教學中要充分地培養解題過程中的逆向思維，不斷地提高學生的逆向思維能力。教學實踐證明，逆向思維拓寬了學生的解題思路，培養了學生的創新思維能力，從而使應用題教學質量得到了明顯的提高。

（作者單位：河北邢臺市南園路小學）endprint