問題啟發課堂思維，探究提升信息素養

陳朝暉

● 問題啟發：馮·諾依曼為何選擇二進制

1.信息表達

計算機是機器，在當時背景下，用機器表達信息的局限性決定了使用二進制更加方便。書本從電流、電壓等方面做了解釋（如電位中高電位為1，低電位為0;線路中線路開通為1，閉合為0等）。

2.運算處理

計算機（ENIAC）研發的初衷是計算，機器在做計算時選擇不同進制，將直接導致運算難度差異。下面我們通過比較1位數值A和數值B做加法運算，在實現上需考慮的情形。

（1）簡單的二進制相加

表1 ? ?二進制相加表

從表1我們可以看出：二進制數值A和數值B做A+B運算，需考慮的情形僅有4種。結合當時條件，毫無疑問用二進制處理數據在機器實現上相對簡單。

（2）較復雜的十進制相加

如果使用我們熟悉的十進制（如表2），做A+B運算需考慮的情形總共有100種，機器實現難度可想而知。從中我們可以看出馮·諾依曼選擇二進制系統，在當時背景條件下毫無疑問是極其明智的。

表2 ? ? ?十進制相加表

● 科學探究：百花齊放的不同進制

用心去慢慢品味，你會發現我們生活中存在多種進制類型：①星期（星期一、星期二、……、星期七，七進制）;②月份（一月、二月、……、十二月，十二進制）;③時間（1點、2點、……、24點，二十四進制）。書本中還提到八進制、十六進制。不同進制運用于不同場合，為我們生活帶來諸多便利。請學生結合生活中不同進制，并對其做深入探究。

1.基數的探究

基數，即基本數字，在不同進制中，常指數據在某一位置上允許出現的數字個數。下面，我們列舉幾種不同進制類型，對其基數進行比較。

表3 ?不同進制類型的基數比較表

進制類型 基本數字 基數

十進制 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 10

七進制 0、1、2、3、4、5、6 7

二進制 0、1 2

2.十六進制中為何有字母

按表3理解，十六進制基本數字應為0、1、……、15。這樣似乎很合理，但禁不住推敲。例如，數字10是代表某個具體位置，還是分別代表兩個位置上的數字（一個位置為1，另一個位置為0）？很明顯，如果十六進制基數這樣表述，極易引發位置上的錯位、混淆。

怎樣解決這個問題？我們可以創建新符號來替代那些易引發混淆的雙位數值（如畫一個三角形符號代表數字10），用新符號來替代雙位數值問題就解決了。人們常常將十六進制基本數字表達成0、1、……、9、A、B、……、F（如雙位數值10用大寫字母A表示），這種表述簡單方便，易達成共識。

3.七進制的困惑（奇妙的0）

前面我們提到星期是七進制，它的基數是1、2、……、7。如果做七進制運算或許你會感到困惑：7+1=（ ），3+4=（ ），七進制逢7不進位，這讓人難以接受，所以將七進制基數定為0、1、……、6將更加合理。

● 科學探究：“位置標記”是進制的核心

要探究不同進制本質，我們先來分析熟悉的十進制，并挖掘其中蘊含的規律——位置標記。

（表中第1行是“位置標記”，第2行是對應位置下的數值）

（52154.23）10=5*104+2*103+1*102+

5*101+4*100+2*10-1+3*10-2……①

1.“位置標記”的便利

在每一個數字上方標記出對應位置，這就是“位置標記”。表4（52154.23）10中有兩個數字5，“位置標記”描述了數字5的差異，在位置4下方數字5=5*104，而在位置1下方數字5=5*101。

在進制系統中，“位置標記”是人類數值表達上的一大進步。筆者認為，其他進制也采用了“位置標記”法，這是進制系統的核心，也是不同進制彼此相通之處，是我們掌握進制換算的關鍵密鑰。

2.統一進制，比較大小

（52154.23）8 （1001110.01）2 （5E1.A3）16

要讓不同進制進行大小比較，我們必須統一進制。在表4①處，我們利用“位置標記”將（52154.23）10逐位展開。同樣通過這種方式，我們可以將八進制轉換成十進制：

（52154.23）8=5*84+2*83+1*82+5*81

+4*80+2*8-1+3*8-2=（ ?）10

現在要將任意R進制轉換成十進制，只需要調整基數R即可。為什么轉換之后得到的就是十進制數？這是因為在“位置標記”法等式右端，我們的計算處理采用了十進制累加形式，因此不同進制數據都將換算成十進制。

3.4位二進制等同1位十六進制

在課堂教學中，許多教師都會提到，每4位二進制等同1位十六進制及“8421”法則。“知其然，更要知其所以然”，下面我們來揭開其神秘面紗。

請觀察②展開式中的基數變化，你會發現二進制已轉換成十六進制。

4.“8421”法則的由來

將②括號中的每組數據寫成通式為：（x*23+x*22+x*21+x*20）=（x*8+x*4+x*2+x*1）（x值為0或1），4位二進制剛好對應1位十六進制數，這就是“8421”法則的由來。

如果二進制數據帶有小數部分，則從小數點位置開始，整數部分向左，小數部分向右，每4位為一組用1位十六進制數表示，不足4位用“0”補足4位，這樣就得到1位十六進制數的二進制形態。

為什么打點分組？因為小數部分無論如何轉換，都不可能變成整數部分。將“8421”法則直接運用到計算中更加方便。我們將x值為“1”和“8421”對應數字累加，最后結果寫成對應的十六進制形態即可。另外，十六進制轉換成二進制是其逆運算過程，八進制與二進制轉換與此類似。

● 問題啟發：任意進制的衍生

前面，我們可以將任意進制統一成十進制并比較大小。相反，如果給定十進制數據，我們怎樣得到其他進制？我們先來回顧任意R進制“位置標記”法。

（52719）R=5*R4+2*R3+7*R2+1*R1

+9*R0……③

1.用余數構造基數

不同進制的不同主要是基數不同（八進制有8個基本數字：0、1、……、7）。現在我們來考慮十進制整數除以R可能產生哪些余數？

除以2的余數為：{0、1}

除以8的余數為：{0、1、……、7}

當一個整數除以R時，其余數{0、1、……、R-1}恰好構成R進制的基本數字。

2.十進制轉換成任意R進制

觀察上面展開式③，你會發現其逆運算過程就是得到任意R進制的方法。

“將十進制的整數部分除以R，得到一個商和余數;再將這個商除以R，又得到一個商和余數;反復執行這個過程，直到商為0結束”，這就是“除以R取余”法。

3.除法為何倒立書寫

倒立書寫是為了使除法運算不斷重復下去，在相除過程中，被除數在不斷變小，直至為0。倒立書寫為下一次除法預留了書寫空間。另外，從直觀上考慮，我們不妨將每次相除后得到的余數直接寫在商旁邊（如圖1）。

很明顯，現在得到的這組余數就是R進制數據。接下來是排列問題，這組余數是從上往下排列嗎？

（1）列反例加以證實

圖1中（54）10=（110110）2，當被除數剛好整除時，余數為0，但0是不可以當高位的，這說明書寫順序不可以從上往下。

（2）用十進制檢驗

進制數據處理彼此相通。當遇到困惑時，不妨回歸到我們熟悉的十進制，或許馬上就能有答案，如圖2。

總之，《二進制與編碼》在教學中極易被教師忽視。教師通過問題啟發課堂思維，探究提升信息素養的方法，不僅能使課堂趣味橫生，也在無形中提升了學生的信息素養。