二次函數圖象 “五步法”教學例談

唐慶玲

摘 要：二次函數圖象是初中數學教學中重要的內容之一，數學教師必須認真閱讀教材，吃透原理，通過各種策略和方法有效喚起學生學習的積極性，從而不斷培養學生發現問題、分析問題、解決問題的綜合能力。

關鍵詞：二次函數圖象；探究式重組；“五步法” 例談

在多年的教學實踐中，我發現教材中描點法畫二次函數y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c都是常數）的圖象存在一些問題值得我們商榷：一是在拋物線圖象上存在最高點或最低點，如果學生在描點時找不到這個點，那么再多的點也是無用；二是在拋物線上存在幾個重要的點，例如：y軸交點、x軸交點、對稱軸、頂點坐標，學生如果不能很好的運用這些點，將給以后學習二次函數帶來隱患；三是二次函數的圖象和性質有著十分廣泛的應用，教材把圖象畫法與圖象增減性放在一起，導致課堂容量過大，學生不能很好地掌握；四是學生的認知已清楚二次函數的圖象是拋物線，只是不確定要將拋物線放在坐標系的何處而已，故我們可以探討尋求其它的畫圖方法來推進知識的理解和運用。

鑒于以上原因，我對教材進行了探究式重組，放棄“唯書論”“唯師論”，利用了“五步法”畫拋物線，這樣，不僅符合學生的認知規律，而且還使學生進一步體會了數形結合的思想方法，學生通過自主操作、合作交流、在猜想與探究的過程中逐步掌握了數形結合思想，同時也充實了課本內容，鍛煉了學生思維，培養了他們實踐的能力和推理能力，最終提升解決問題的能力。下面我根據教學實際和經驗探索來談談自己的幾點認識。

一、引導探究，歸納關鍵知識點

我認為：教材呈現和所強調內容的邏輯性、嚴密性與科學性是合理的，但是在教學實踐中適當地對教材做點變通和改變，以便能讓學生更好地理解和接受知識那才是最好的。從建構主義的理論觀點出發，教師在實際教學中選取的內容多少，容量大小應該由學生的實際情況來確定，也就是說我們在教學中要尊重學生各自的經驗、思維方式和習慣，積極組織和引導學生觀察、探究、發現。雖然最終結論是一致的，但學生解決問題的過程可以是多元的。

在教學中，我先讓學生回顧y=ax2，y=ax2+c，y=a（x-h）2+k的圖象，并說出這些圖象的共性與區別，然后再讓學生猜想y=ax2+bx+c的圖象。一番討論之后，在黑板上畫出兩條拋物線，如圖1、圖2所示：

先讓學生認識這就是二次函數y=ax +bx+c圖象，也叫做拋物線，再要求學生結合一次函數圖象畫法仔細觀察對比兩個圖，接著我提出以下兩個問題：（1）如果你們自己畫，需要注意哪些關鍵點？（2）拋物線是否是軸對稱圖形？

學生根據教師提出的問題，小組討論，同學間互相交流補充，教師積極引導，學生主動參與。由于學生已經學習過一次函數，反比例函數，所以學生對函數圖象有較強的認知能力，在思考的過程中，學生逐步形成認知，教師再根據學生的回答和學生一起歸納出以下關鍵點：（1）拋物線與x軸的交點。（2）拋物線與y軸的交點。（3）拋物線的最高點或最低點。（4）拋物線的對稱軸。（5）拋物線開口方向。

評析：學生會有其他回答，教師要做引導、分析、解釋。在備課時要盡量考慮周到，既要備教材，又要備學生，還要重視知識的生成過程，在教學設計中，教師可以預設多種可能。

二、創設問題情境，重視知識的生成過程

教師對教材的理解，不但要理解知識內容，更要理解其中蘊含的數學思想方法，以及學生的情感態度和價值觀，并在適當的時機展示數學美，欣賞數學美。因此我在完成歸納總結后，要求學生以小組形式完成y=x2-2x-3的圖象，采用的方式是學生獨立完成與共同探討相結合，讓學生自己動手，大膽展示，暢所欲言，表達自己的想法，激發學生認知的欲望，當學生討論分歧達到最高點時，我抓住時機，引導學生回顧以上五點，按下面五個步驟完成觀察、分析、概括。

教師板書：

第一步：令y=0，即x2-2x-3=0 解可得x=-1或x=3

所以拋物線與x軸交點為A（-1，0），B（3，0）

第二步：令x=0 即y=-3

所以拋物線與y軸交點為C（0，-3）

第三步：到這里我讓學生利用配方法求二次三項式最大值或最小值做了必要的回顧，隨后讓學生完成配方：y=x2-2x-3=x2-2x+1-1-3=（x-1）2-4，學生容易得出當x=1時，y有最小值-4，即拋物線最低點D（1，-4），學生對比圖1、圖2得到對稱軸：x=1。

第四步：要求學生用光滑曲線連接上面的點，提醒學生注意對稱性。隨即可以得到y=x2-2x-3的圖象，如圖3所示。

引導學生用關鍵點畫出函數圖象，讓不同層次的學生展示自己畫的圖象，同時進行比較，讓他們弄清自己所畫的不足之處，并在比較中深化知識的理解。實踐證明，學生對此知識點會掌握地更好。

第五步：學生小組合作畫出下列二次函數圖象：

①y=x2-x-2 ②y=-x2+x+2

完成之后，教師引導學生做出拋物線開口方向的判斷：a>0，開口向上；a<0，開口向下。

評析：二次函數的圖象本來就廣泛應用于生活和生產中，例如：拱橋，投籃，投鉛球，花園里的自動噴水器等，它們都是學生熟悉的圖形，它們既有對稱美又有實用價值。如果能將傳授知識與欣賞美、感受美相結合，那么數學課堂教學也將是美的。至此，“五步法”操作基本完成。

四、總結反思，做好鋪墊

本節課，解決了二次函數中很多關鍵問題，如二次函數與坐標軸的交點的求法，利用配方法求二次函數最高點或最低點問題（事實上就是頂點和最大值或最小值問題）。為下節課函數性質的得出做了很好的鋪墊，為學生繼續學習二次函數打下良好的基礎。我沒有像教材中那樣更多的強調拋物線的頂點和二次函數最大或最小值之間的關系，也沒有涉及二次函數增減性，而是根據自己學生的實際情況把它們放到下一課時。

總之，一個善于思考，愛動腦筋的教師，才能在教學中汲取課本精華，并將課本所蘊含的數學思想方法，技能技巧傳授給學生，提煉并總結出學生易于理解和操作的數學方法。只有這樣，教師的“教”才能促進學生的“學”。葉圣陶先生說：“教材只能用為教課的依據，要教得好，使學生受到實益，還靠教師的善于運用”。教材是對話的文本，是學生學習活動所憑借的話題與依據，教師應鉆研教材，領悟教材的編寫意圖，必要時可在教學過程中重組教材，讓教材變為一個動態生成的、鮮活實效的教學內容，以達到教材使用的最高層次——超越教材。這樣，教師才能憑借教材，整體使用教材，才能促進學生數學素質的全面發展。

參考文獻：

[1]《全日制義務教育數學課程標準（修訂稿）》 北京師范大學出版社 2013年6月.

[2]席振偉著《數學的思維方式》 江蘇教育出版社 2009年5月.endprint