《對數函數及其性質》（第一課時）教學設計

邢曉燕

● 創新整合點

◇運用幾何畫板軟件的作圖功能、動態演示功能、反射功能，突出學習重點、突破學習難點。設計“動手實踐1”，運用作圖功能，使學生在同一坐標系中繪出多個對數函數圖像，提高學生動手實踐能力，加深對對數函數定義的認識，突出學習重點;設計“動手實踐2”，運用動態演示功能，呈現對數函數圖像隨底數的變化情況，驗證底數取定義范圍內任意值時，對數函數所具備的性質，增強學生對圖像的直觀感知，突破學習難點;設計課件，運用反射功能，驗證函數與函數（且）圖像間的對稱性。

◇運用學霸機房管理系統，借助“廣播教學”、“文件分發”、“學生演示”功能，實現圖像共享，提高學習效率，突破學習難點。“廣播教學”功能，實現教師集中授課與學生自主學習相結合;“文件分發”功能，將教師機課件分發至學生機D盤，快速便捷，避免一一拷貝;“學生演示”功能是小組代表發言活動得以實施的關鍵。如果沒有學霸機房管理系統，學生所繪圖像只能呈現在自己的計算機上，無法實現共享，而“學生演示”功能的使用，使得全班同學能快速共享大量圖像，提高了學生對研究過程的參與程度，學習效率明顯提高。

● 教材分析

本節課是《普通高中課程標準實驗教科書·數學1（必修）》（人教A版）第二章第一節第二課《對數函數及其性質》。本節課的內容在教材中起到了承上啟下的關鍵作用。一方面，對數函數是在學生系統學習了函數概念，基本掌握了函數性質的基礎上，進行研究的第一個重要的基本初等函數。作為基本初等函數，它是繼指數函數之后對高中函數概念及性質的又一次應用;另一方面，對數函數是后續學習冪函數的基礎，對于研究冪函數及其他基本初等函數，在研究方法上起到示范作用。

● 學生分析

從學生的知識上看，學生已經學習了函數的定義、圖像、性質，對函數的性質和圖像的關系已經有了一定的認識。學生已經熟悉研究函數的一般過程和方法，會用此來研究對數函數。

從學生現有的學習能力看，通過初中對函數的認識與理解，學生已具備了一定的觀察事物的能力，積累了一些研究問題的經驗，初步具備了抽象、概括的能力。通過教師啟發式引導，學生能自主探究完成本節課的學習，會進行幾何畫板的基本操作。

● 教學目標

知識與技能目標：①通過具體實例了解對數函數模型的實際背景;②初步理解對數函數的概念、圖像和性質。

過程與方法目標：①借助幾何畫板繪制對數函數圖像，加深對定義的認識，增強對對數函數圖像的直觀感知;②學生觀察對數函數圖像，通過小組討論，代表發言等活動，探究對數函數性質;③通過對對數函數的研究，體會數形結合、由具體到一般及類比思想。

情感態度與價值觀目標：通過小組討論、代表發言活動，培養合作交流意識。

● 教學環境與準備

多媒體網絡教室、幾何畫板課件、學霸機房管理軟件。

● 教學過程

1.創設情境

觀察事例1：某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，……依此類推，一個細胞分裂次后，得到的細胞個數為個，思考與的函數解析式：;指數式化對數式：，用表示自變量：。

觀察事例2：一根1米長的繩子，第一次剪掉繩長的一半，第二次剪掉剩余繩長的一半，……剪了次后，剩余繩子的長度為米，思考與的函數解析式：;指數式化對數式：，用表示自變量：。

觀察事例3：已知一個正方形的面積是1，第一次取其四分之一生成正方形，再取的四分之一生成，以此類推，求第次取后生成的正方形的面積與截取次數之間的函數解析式：;指數式化對數式：，用表示自變量：。

設計意圖：課上播放PPT動畫，回顧“指數函數及其性質”一節的三個觀察示例：“細胞分裂”、“剪繩動畫”、“截紙動畫”，引出對數函數定義，同時使學生體會到對數函數與指數函數的聯系。

2.探究新知

（1）歸納定義

問題1：上述觀察事例中的三個函數解析式有什么共同特征？

學生思考得出，三個函數解析式，結構都是對數的形式，自變量在真數位置，定義域為。

設計意圖：通過對三個實例函數解析式的分析，突出對底數取值的認識，引導學生把解析式概括為的形式，為形成對數函數定義作鋪墊。

對數函數的定義：一般地，形如（且）的函數叫做對數函數，其中是自變量，函數的定義域為 。

師生共同分析定義要點：①定義域為;②對數函數是形式化的定義;③且。教師引導學生將指數函數定義與對數函數定義作對比。

練習1：根據對數函數定義，判斷下列函數是否為對數函數。

設計意圖：通過題目判斷加深學生對對數函數定義的認識和理解，為學生自主選擇底數，應用幾何畫板繪制對數函數圖像作鋪墊。

（2）作圖探究

問題2：我們研究函數的一般過程是什么？

教師啟發學生思考：歸納定義，畫出圖像，觀察圖像，總結性質，繼而進行性質應用。

設計意圖：對數函數作為基本初等函數，是繼指數函數后對高中函數概念及性質的再次應用，學生已經熟悉研究函數的一般過程和方法，會用此來研究對數函數。

作圖1：畫出函數的圖像。

學生獨立在坐標紙上作圖，教師巡視個別輔導，正投對比展示學生作圖結果，總結作圖要點，規范列表、描點、連線的每一步。

設計意圖：描點法作圖是畫函數圖像的基本方法，用正投呈現學生作圖結果，培養學生畫圖基本功。

作圖2：自主選擇底數繪制對數函數的圖像。

教師：為了研究對數函數性質，我給同學們傳送了幾何畫板課件“動手實踐1”，在D盤，這里有兩個任務，請相繼完成。對于任務1，全班同學分為6組，小組中每位同學設想一個具體的對數函數解析式，小組匯總，每位同學在同一坐標系中，繪制每組所確定的對數函數的圖像，之后完成任務2（如圖1）。

設計意圖：設計任務1，是為了加深學生對對數函數定義的認識，增強對圖像的直觀感知。設計任務2，是將本節課的重點以任務形式呈現，使任務1的實施更具方向性，使課堂教學更具靈活性和機動性。

每位學生自主選擇底數，確定一個

對數函數解析式，小組匯總。

設計意圖：學生自選底數，確定對數函數解析式，加深對對數函數定義的認識。

學生小組討論之后，每位同學打開D盤，雙擊進入幾何畫板課件“動手實踐1”，在同一坐標系中，繪制每組確定的對數函數圖像。

設計意圖：學生通過幾何畫板課件“動手實踐1”，在同一坐標系中，繪制多個對數函數圖像，在繪制過程中，可以更加直觀地感知底數對對數函數圖像的影響，能更好地觀察圖像特征，總結圖像性質。

學生自主選擇底數，繪制對數函數圖像，完成“任務1”之后，思考、討論“任務2”，各小組根據所繪制的對數函數圖像，觀察圖像特征，總結性質，每組自薦一名代表發言。

教師適時發問、點撥，引導學生總結，師生、生生互動交流。

設計意圖：應用學霸機房管理系統，“學生演示”功能，逐個呈現每組學生作圖結果，快速大量共享圖像，加深學生對對數函數圖像特征的認識，有助于攻克教學難點，課堂效率明顯提高。

小組學生發言，師生交流過程中，解決問題3、問題4和問題5。

問題3：觀察圖像，你認為如何對對數函數進行分類研究？

各小組學生共提出兩類標準：①按圖像上升和下降分兩類;②按底數分兩類。經教師引導，學生發現這兩類標準可以統一：與圖像上升統一;與圖像下降統一。

問題4：你能結合屏幕上所呈現的對數函數圖像，觀察它們的圖像特征，并總結其性質嗎？

各組學生從圖像位置、特殊點、圖像變化趨勢等方面總結圖像特征，概括性質如表1。

設計意圖：學生通過觀察具體對數函數圖像，應用數形結合思想，歸納概括性質。

問題5：函數與（且）的圖像之間有什么關系？

有的小組作出和的圖像，觀察、猜想兩個函數圖像關于軸對稱;有的小組作出3對對數函數圖像（如圖2），觀察猜想圖像關于軸對稱，進而猜想與（且）關于軸對稱。

對于學生猜想和的圖像關于軸對稱，教師引導學生從坐標角度理解，并用幾何畫板進行驗證。在函數圖像和函數的圖像上，分別取橫坐標相同的兩個點，點和隨之運動，觀察縱坐標關系，發現縱坐標相反，點和關于軸對稱，所以和的圖像關于軸對稱。繼而，教師操作課件驗證：當取定義范圍內的任意值時，圖像間的對稱關系（如圖3）。

設計意圖：通過具體底數的兩個對數函數圖像間的關系，觀察、歸納、概括一般的兩個對數函數與（，且）圖像間關系，體會由特殊到一般思想的應用。

各小組總結圖像特征，概括函數性質之后，教師總結呈現整理結果。

問題6：我們由具體對數函數分析出它們的圖像特征和所具備的性質，所有的對數函數都具備這樣的性質嗎？

教師操作幾何畫板軟件，通過拖動點，改變底數的大小，得到（且）的對數函數的圖像，驗證底數取定義范圍內所有值時，對數函數的性質。

在幾何畫板課件“動手實踐2”中，學生自己拖動點“”，親身體驗圖像隨底數的變化情況，進而歸納性質（如圖4）。

設計意圖：通過幾何畫板課件的動態演示，學生更直觀地觀察到對數函數圖像隨底數的變化情況，以及為什么要把底數分為和兩類，有利于學生由圖像歸納性質，從而突破本節課的難點。

（3）歸納性質

學生觀察圖像，討論總結性質，如下頁表2。

設計意圖：學生總結性質，培養學生歸納概括能力。

師生共同對學習內容進行總結：①研究函數的一般過程是：定義→圖像→性質→應用。②借助圖像研究性質，應用了數形結合思想;由具體對數函數入手，到一般對數函數總結性質，應用由特殊到一般思想方法;對數函數對底數分類進行研究性質，應用了分類討論思想，類比指數函數研究對數函數，應用了類比思想。

3.例題講解

師：剛才我們共同探究得出性質，下邊看性質應用。

例1：比較下列各組中兩個值的大小：①;②;③。

設計意圖：通過例題使學生體會對數函數單調性應用，設計三題，使學生體會分類討論思想。

第一題教師引導講解，示范解答過程，第二題、第三題學生正投講解。

設計意圖：通過學生正投講解題目做法，培養學生學習數學的信心和勇氣，同時，對于出現的錯誤及時糾錯，起到示范作用。

4.歸納總結

◇這節課你學到哪些知識？

◇這節課你體會到哪些數學思想方法？

5.分層作業

◇必做題：P73，2、3;

◇選作題：函數和的圖像間有何關系？

● 教學反思

1.設計問題系列，驅動教學

問題是數學的心臟，本節課以6個問題為主線貫穿始終，以問題解決為教學線索，在教師的主導與計算機的輔助下，學生思維由問題開始，由問題深化。

2.借助信息技術突出重點、突破難點

本節課的學習重點是對數函數的概念、圖像和性質;學習難點是用數形結合方法從具體到一般地探索概括對數函數性質，為突出重點、突破難點，使用了以下信息技術：

◇探究對數函數概念：課上播放“細胞分裂”、“剪繩動畫”、“截紙動畫”三個PPT課件，學生總結三個“觀察事例”中函數解析式的共同特征，概括到的形式，從而形成概念，突出學習重點。

◇繪制對數函數圖像：作圖1，學生動手畫圖，初步感知對數函數圖像，教師個別輔導，正投展示，對比分析作圖結果，糾正作圖錯誤，總結作圖要點，培養學生作圖基本功;作圖2，設計課件，全體學生參與，自選底數繪制對數函數圖像，從而加深了學生對定義的認識，增強了對圖像的直觀感知，突出學習重點。

◇探究對數函數性質：對數函數性質的獲得，需要借助對數函數圖像。設計“動手實踐2”，教師運用幾何畫板的動態演示功能，驗證底數取定義范圍內所有值時，對數函數的性質，學生操作課件“動手實踐2”，通過拖動點“”，改變底數的值，觀察對數函數圖像隨底數的變化情況，學生的親身體驗，提高了對研究過程的參與程度，有效突破學習難點。

◇運用學霸機房管理系統，其“廣播教學”“文件分發”“學生演示”功能，使得大量圖像共享成為可能，使得學生小組代表發言活動得以實施。學霸機房管理系統的使用，提高了學生對研究過程的參與程度，使得學習效率明顯提高，更為有效地突破學習難點。