基于Choquet 積分的電力網絡規劃方案評估

章 侃，文福拴，2，胡列翔，徐 謙，蘭 洲，曾平良

(1． 浙江大學電氣工程學院，杭州市310027;2． 文萊科技大學電機與電子工程系，斯里巴加灣市BE1410;3． 國網浙江省電力公司，杭州市310007;4． 國網浙江省電力公司經濟技術研究院，杭州市310008;5． 中國電力科學研究院，北京市100192)

0 引 言

電力網絡規劃從總體上可分為規劃方案形成和規劃方案優選2個階段。在方案優選階段，采用相應的評價指標體系對各待選規劃方案進行評價得到綜合評價結果，然后排序選出綜合最優的電力網絡規劃方案。

針對電力網絡規劃方案綜合評價問題，國內外已經做了一些研究工作。文獻［1］采用層次分析法(analytic hierarchy process，AHP)對分布式電源規劃進行方案優選;文獻［2］采用熵權法和灰色關聯分析法對輸電系統規劃方案進行評價和優選;文獻［3-4］分別采用模糊決策方法和區間熵方法對輸電系統規劃方案進行評價。上述文獻所采用的評價指標體系中，所包含的評價指標具有關聯性，但所采用的綜合評價方法并沒有對這種關聯性進行適當處理。文獻［5］采用多屬性網絡層次組合方法，對智能電網進行綜合評價;文獻［6］采用網絡分析法，對含高滲透率間歇性電源的電力系統網絡規劃方案，進行評價和優選。文獻［5-6］均采用了網絡分析法來構建指標權重矩陣，雖然考慮了指標間的關聯性，但在構建指標網絡結構的過程中需全面考慮指標間的關聯反饋關系，這對于指標數量較多的問題，計算負擔很重，且所有關聯指標之間的相對權重也不易確定。

目前比較常用的規劃方案綜合評價方法以期望效用理論為基礎，對指標采用線性加權求和的方式得到綜合評價結果。然而，具有關聯性的指標未必符合線性關系，亦即未必可加，此時綜合評價問題原理上就屬于非線性期望問題。在此背景下，本文提出一種基于Choquet 容度積分的綜合評價方法。利用Choquet 容度對不可加的關聯指標進行測度，然后采用Choquet 非線性積分求取綜合評價結果。

在衡量規劃方案收益的不確定性方面，目前的研究成果主要集中在客觀風險領域。已經提出了一些風險評估指標，如尾部條件期望(tail conditional expectation)、風險價值(value at risk，VaR)、條件風險價值(conditional value at risk，CVAR)等［7］。在對規劃方案進行評價時，現有方法一般不考慮決策者的主觀風險偏好，而這可對決策結果產生明顯影響。在此背景下，本文采用合適的效用函數刻畫決策者的風險偏好，利用基于Choquet 積分的風險溢價度量決策者為消除風險愿意減少的回報量，然后求取考慮了決策者風險偏好的主觀預期綜合收益作為經濟性指標的綜合評價結果。然后，把經濟性指標和可靠性指標評價結果綜合考慮，建立決策參考表。最后，用算例對所提出的方法進行說明。

1 傳統期望效用理論

對于某一投資組合{S1，S2，…，Si，…，Sk}(i=1，2，3，…，k)，k 為該投資組合中的投資項目數。用pi表示投資組合內第i個項目能夠獲得收益yi的概率(i=1，2，3，…，k);u(yi)表示在收益yi下，該項目所能獲得的效用。這樣，該投資組合的期望效用可以表示為

式中:Y =［y1，y2，…，yi，…，yk］;u(Y)為效用函數。

當有多種不同的投資組合時，決策者一般選擇使E［u(Y)］最大的投資組合。由式(1)可知，期望效用是各分項效用以概率加權后的線性求和，其適用的前提是各分項項目之間完全獨立，亦即其中任一項目收益不受其他項目收益的變化而變化。然而，對于實際投資問題，各分項項目未必完全獨立，因此在期望效用理論的應用實踐中出現了著名的Allais 悖論和Ellsberg 悖論［8］。這2個悖論均表明在決策過程中需要注意非可加的不確定性問題。現有的電力網絡規劃方案評估方法一般是以傳統期望效用理論為基礎的，沒有考慮指標之間存在的關聯性。

基于期望效用理論的決策機制還存在以下問題:(1)決策過程是靜態的，即決策者主要依賴最終的效用值，而沒有考慮目標的變化量;(2)沒有考慮決策者的風險偏好差異。前一個問題即為引言中所述的客觀風險問題，已經有了些研究報道并提出了一些方法，但現有方法主要基于統計分析且對決策對象的概率分布有較高要求;當決策對象不滿足特定的概率分布時，就會導致誤差，本文不對此展開討論。后一個問題即為引言中所提到的主觀風險偏好問題，系本文的研究重點。

2 Choquet 積分和風險溢價

對于 Allais 悖論和 Ellsberg 悖論，可以由Choquet 提出的非可加測度即容度(capacity)概念來解釋［8-9］。在提出容度概念之后，Choquet 進一步提出了有界隨機變量關于容度的積分，即Choquet 積分［10-13］。Choquet 積分是非線性的，在經濟、金融、決策理論等領域逐步得到廣泛應用，也適用于解決電力網絡規劃方案評價中的指標關聯性問題。

2.1 容度

給定狀態空間Ω，其冪子集為2Ω，集類F?2Ω，稱集函數μ:F→［0，1］為容度，如果滿足:(1)μ(φ)=0，μ(Ω)=1;(2)μ(A)≤μ(B)，?A，B∈F，且A?B。則稱三元組合(Ω，F，μ)為一容度空間。

2.2 Choquet 積分

Choquet 給出了有界隨機變量關于容度的積分［10-13］。給定隨機變量f :(Ω，F)→［R，B(R)］，其中B(R)是R 的Borel σ-域。所有有界隨機變量的全體記作L∞。假設f∈L∞，f 在A∈F 上關于容度μ的Choquet 積分記為

式中:(C)表示該積分為Choquet 積分。

2.3 效用函數與風險溢價

不同決策者對風險的態度一般也不同，總體上可分為3 類，即風險厭惡、風險中性或者風險喜好。決策者會根據自己的風險偏好進行決策。電網投資規模巨大，且工程建成后期望的使用年限可達幾十年。因此，決策要非常慎重，期望的投資收益要比較穩定。這樣，可以把電力網絡規劃決策者描述為風險厭惡類，采用凹的、增的效用函數u 來刻畫。

行為金融學主要研究投資者的風險偏好，通常采用效用函數，包括引入財富偏好的效用函數［13］和引入習慣的效用函數［14］。財富偏好是指投資者通過占有財富來獲得效用，而習慣偏好則關注決策者過去的投資經驗。電力網絡規劃決策者的偏好往往依賴于其過往的工作經驗，因此可采用引入習慣偏好的效用函數來刻畫決策者的風險偏好。

效用函數可用下式來描述:

式中:ct表示最終財富值;ht為習慣參數，若γ 為0，則ht恒為1，γ 的取值由決策者根據歷史經驗確定;α 為風險厭惡系數，α ∈(0，1)，α 越大則表示決策者越厭惡風險，其值可根據決策者的風險厭惡程度確定。

在上述工作的基礎上，進一步采用風險溢價來度量決策者風險偏好在收益上的反映。風險溢價是衡量為得到確定回報而情愿減少的期望回報量，Pratt 和Arrow 對風險溢價方面的研究做了基礎工作，下面給出基于Choquet 積分的風險溢價計算方法［8］。

令μ 是(Ω，F)上的容度，如果收益組合X :Ω→R 是有界隨機變量，則X 的Choquet 期望值定義為

如果效用函數u 是嚴格增函數，則有

式中:u－1為u 的反函數。

3 基于Choquet 積分的規劃指標評估

一般采取經濟性與可靠性相結合的指標評價體系來評估電力網絡規劃方案［15-17］。經濟性指標主要用來衡量電力網絡投資的預期收益，隨著社會及企業自身對其在環境保護和社會貢獻方面的重視，決策者在考慮預期收益時也會適當考慮外部收益，故可將電力網絡投資的預期收益分為內部收益和外部收益。內部收益指企業獲得的貨幣收益，外部收益包括社會收益和環境收益。可靠性指標主要用來衡量所規劃的電力網絡的運行可靠性，包括失負荷概率、電量不足期望、失負荷平均持續時間和電壓水平。在文獻［15-17］的基礎上，可建立圖1 所示的規劃方案評價體系。

圖1 電力網絡規劃評價指標體系Fig.1 Evaluation index system of power network planning

貨幣收益表示實施該規劃方案可獲得的凈收益，采用凈現值來度量;社會收益表示實施該規劃方案對社會的貢獻，采用納稅額來度量;環境收益表示規劃方案的環境友好程度，可由污染物減排效益來度量。可靠性指標則采用可靠性分析軟件求取。

離散形式的Choquet 積分計算式為

式中:Ti表示指標(i =1，2，3，…，l;l 為指標總數);x(Ti)表示對應的指標值，x(T0)=0;μ({Ti，…，Tl})表示{Ti，…，Tl}的容度;指標全集的容度μ({Ti，…，Tl})= 1 。

令{P1，P2，P3}表示經濟性指標集合，P1、P2和P3分別表示貨幣收益、社會收益和環境收益;令{Q1，Q2，Q3，Q4}表示可靠性指標集合，Q1、Q2、Q3和Q4分別表示失負荷概率、電量不足期望、失負荷平均持續時間和電壓水平。同類指標的容度，在這里表現為指標子集的權重。由Choquet 積分的離散公式可知，計算Choquet 積分時只需知道部分指標子集的容度，而專家以往的決策和工程經驗為確定容度積累了一定的經驗，因此在本文中經濟性和可靠性指標的容度可由專家根據領域知識和經驗確定。然后，根據經濟性指標{P1，P2，P3}、可靠性指標{Q1，Q2，Q3，Q4}及相應容度，求取未考慮風險偏好的經濟性綜合評價結果CE以及可靠性綜合評價結果CR。

4 基于風險溢價的電力網絡規劃方案決策

決策者對貨幣收益一般具有風險偏好。外部收益作為企業的社會責任，在相當程度上具有客觀性，故假設決策者對社會收益和環境收益不具有風險偏好。首先采用式(3)可得到某給定規劃方案的貨幣收益效用，之后利用風險溢價公式求得該方案下的風險溢價。則消除了風險溢價后的主觀預期綜合收益可表示為

主觀預期綜合收益即為規劃方案最終的經濟性指標綜合評價結果，其中容納了決策者的風險偏好。不同的決策者的風險厭惡系數一般不同，風險溢價和主觀預期綜合收益也就不同。針對一系列電力網絡規劃方案，求得不同決策者的主觀預期綜合收益，那么m個決策者在n個方案下的主觀預期綜合收益可用矩陣CS表示:

以D1，D2，…，Dm表示這m個決策者，那么對決策者Dj(j =1，2，…，m)而言，其對方案的最優選擇結果應為式(9)中第j 行的最大值所對應的規劃方案。

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在實際決策時，還需要考慮可靠性指標的綜合評價結果:

則根據式(9)和式(10)，建立供決策者參考的決策表，如表1 所示。

根據表1，具有不同風險偏好的決策者，對不同規劃方案間的主觀預期綜合收益和可靠性指標綜合評價結果，進行綜合考量后最終決策。

表1 決策參考表Table 1 Decision-making reference table

5 算例分析

采用文獻［18］中針對巴西南部46 節點電力系統的2個電力網絡規劃方案，來說明所提出的基于Choquet 積分的電力網絡規劃方案綜合評價與決策方法。所采用的規劃評價原始數據參見附錄。對備選規劃方案的初步評價結果如表2 所示。

表2 2個備選規劃方案的評價結果Table 2 Evaluation results of two alternative planning schemes

從表2 中可以看出，方案I 和方案Ⅱ的經濟性和可靠性指標均有差異;方案I 的貨幣收益低于方案Ⅱ，社會收益和環境收益優于方案Ⅱ;方案I 的各項可靠性指標除失負荷概率外，均優于方案Ⅱ。

經濟性指標全集的容度為1，即μ({P1，P2，P3})=1。根據Choquet 積分的離散公式，可知求取Choquet 積分只需知道部分指標子集的容度。專家根據領域知識和經驗確定的容度為:μ({P2，P3})=0.32，μ(P3)=0.17。

給定D1、D2和D3這3個決策者的風險厭惡系數α 分別為0.45、0.50 和0.62。在本算例中主要考慮了風險厭惡系數，給定習慣系數均為1。

將表2 中的數據以及上述數據代入式(3)、(6)和(7)，計算得到的風險溢價如表3 所示。

然后，將可靠性指標進行歸一化處理。可靠性指標全集的容度為1，即μ({Q1，Q2，Q3，Q4})=1。專家根據領域知識和經驗確定的可靠性指標的容度為:μ({Q2，Q3，Q4})=0.79，μ({Q3，Q4})=0.46，μ(Q4)=0.12。

表3 風險溢價Table 3 Risk premiums 億元

采用Choquet 容度積分計算得到方案I 和方案Ⅱ的可靠性指標綜合評價結果分別為0.989 1和0.922 0。

基于上述結果，可建立表4 所示的決策參考表。

表4 決策參考表Table 4 Decision-making reference table 億元

由文獻［18］可知，方案I 和方案Ⅱ的總投資以人民幣計價分別為28.701 0 億元和25.706 8 億元，方案I 的總投資比方案Ⅱ高，但其可靠性也高于方案Ⅱ。根據決策參考表，在未考慮風險偏好的情況下，方案I 的經濟性指標要比方案Ⅱ差;方案I的可靠性指標要優于方案Ⅱ，這與文獻［18］的結論一致。

根據決策參考表，對于無風險偏好的決策者，雖然方案Ⅱ的可靠性指標比方案I 低，但從經濟性指標看，方案Ⅱ的主觀預期綜合收益要明顯高于方案I，決策者傾向于選擇方案Ⅱ。決策者D1、D2、D3的風險厭惡系數排序為α1＜α2＜α3，隨著風險厭惡程度的加大，決策者對于這兩個方案的主觀預期綜合收益也越來越接近。對于決策者D1，方案Ⅱ的主觀預期綜合收益只比方案I 高0.177 3 億元，考慮到方案I 的可靠性更高，D1傾向于選擇方案I。對于決策者D2，方案Ⅱ的主觀預期綜合收益僅比方案I高出0.117 9 億元，故D2更傾向于選擇方案I。對于決策者D3，方案I 的主觀預期綜合收益高于方案Ⅱ，故其最優決策是方案I。

文獻［18］得到的結論為:決策者考慮到雖然方案I 的投資額更大，但方案I 的可靠性指標要優于方案Ⅱ，故選擇方案I，這其實已經考慮了決策者對預期收益的風險厭惡態度。本文得到的結論與文獻［18］的結論一致。

6 結 語

本文所提出的電力網絡綜合評價方法將容度理論應用于消除測度非可加的指標之間存在的關聯性，然后采用Choquet 非線性積分計算指標的綜合評價結果，消除了指標間關聯性對綜合評價的影響;將基于Choquet 的風險溢價應用于經濟性綜合評價，考慮了不同決策者在面對方案收益不確定性時所具有的風險偏好。算例結果表明，所提出的綜合評價方法和建立的決策表有助于對電力網絡規劃方案進行合理評價和優選。

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