考慮摩擦時梁斜碰撞的數值計算

蒲軍平，陳　軼

(1.浙江工業大學 建筑工程學院，浙江 杭州 310014；2.浙江省工程結構與防災減災技術研究重點實驗室，浙江 杭州 310014)

考慮摩擦時梁斜碰撞的數值計算

蒲軍平1,2，陳軼1

(1.浙江工業大學 建筑工程學院，浙江 杭州 310014；2.浙江省工程結構與防災減災技術研究重點實驗室，浙江 杭州 310014)

摘要：基于二維動接觸碰撞理論推導出細長梁斜碰撞的數值遞推表達式,討論了不同初始入射角度對斜碰撞的影響,采用Bochet根據鋼軌滑動的摩擦系數經驗公式,對其中的切向接觸模型中的摩擦力做了修正,將計算結果與采用庫倫摩擦理論的計算結果做了對比，結果表明：切向摩擦力對法向位移的影響與初始入射角度有關，采用兩種不同的摩擦力模型所得到的梁的動力響應結果有明顯的差異.

關鍵詞：梁；斜碰撞；摩擦；數值方法

中圖分類號：O328; TU311.3

文獻標志碼：A

文章編號：1006-4303(2015)01-0062-04

Numerical calculation for frictional collision between

an oblique beam and a simply supported beam

PU Junping1,2, CHEN Yi1

(1. College of Civil Engineering and Architecture, Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310014, China；

2. Zhejiang Key Laboratory of Civil Engineering Structures & Disaster Prevention and

Mitigation Technology of Zhejiang Province, Hangzhou 310014, China)

Abstract:The numerical recurrent expression for the collision between an oblique beam and a simply supported beam is presented based on the theory of two-dimensional dynamic contact in the paper. The different angle effects to the beam-beam collision is discussed, an empirical formula of the frictional coefficient, which was presented by Bochet, is accepted to improve the friction in the tangential contact model. Comparing the results between Coulomb friction theory and the improved collision theory, it is shown that the vertical displacement is related to the variable angle and the horizontal friction. Adopting two kinds of different friction models, the dynamic response of the beam is obviously different.

Keywords:beam； oblique collision； friction； numerical method

碰撞接觸問題在動力學中的表現為物體在極短時間內的相互作用，運動速度將發生急劇的改變.國內外學者一直嘗試給出各類接觸問題的解析解，然而這些解析解的求解只能限定于極少數簡單且規則的幾何體.從20世紀70—80年代初以來，國內外學者的研究成果主要集中在含碰撞的多剛體系統動力學上，Dubowsky針對由于間隙引起的連桿機構的碰撞問題進行了一系列的研究工作[1]，Yigit研究了做大范圍回轉運動的柔性梁與一剛體碰撞的動力學行為[2],到20世紀80—90年代，國內外學者在建模理論、數值算法等方面做了大量的工作，相繼解決了動力剛化、數值病態等方面問題.Wu SC等首次將動態子結構方法應用于柔性桿和梁的碰撞問題[3],Lim等采用有限元方法計算了圓柱體和固定表面的具有摩擦的斜碰撞問題，得到了切向變形和法向變形不協調同步的現象[4].近年來，劉才山，陳濱針對做大范圍回轉運動柔性梁與固定斜面發生的斜碰撞，利用模態法建立了重力場作用下的柔性梁一致線性動力學方程[5].H.H.Ruan等采用了不同的局部變形模型研究了圓柱體與梁橫向碰撞，得到局部變形對整體結構變形的影響[6].沈凌杰等采用絕對節點坐標法結合有限元方法建立了柔性梁的動力學方程，研究了梁點面斜碰撞的問題[7].顧金紅等提出了柔性體含摩擦斜碰撞問題的混合分析模型法[8].由上述文獻可知：梁作為工程中最基本的構件，對其碰撞問題的深入研究很有意義.筆者在采用二維動接觸方法的基礎上[9]，借鑒Bochet根據鋼軌滑動的摩擦系數經驗公式，對二維動接觸方法中的切向接觸模型中的摩擦力做了修正，探討了當梁的初始入射角度發生變化時對簡支梁的碰撞結果的影響，并進行了數值模擬計算.

1碰撞模型

在實際工程中，許多三維碰撞問題當在忽略平面應變和平面應力時并不顯著影響其結果，可以簡化為二維碰撞問題來處理.

1.1模型假定

1) 在整個碰撞接觸過程中，構件均處于彈性小變形階段，即忽略接觸區域的彈塑性變化對碰撞結果的影響.

2) 構件屬于細長桿件,即忽略A梁角點先接觸到B梁表面，故可采用梁中性軸碰撞來近似梁碰撞(圖1).

圖1　斜梁碰撞模型Fig.1　Collision model of an oblique beam with a simply supported beam

1.2動接觸公式推導

梁的動力響應方程為

(1)

其中：M,C和K分別為質量、阻尼和剛度矩陣；U為位移向量；F,R,τ分別為已知的外荷載向量和界面動接觸引起的接觸法向力和切向力向量.

對于斜向放置的梁在碰撞接觸過程中,由于A梁與x方向的夾角隨時間不斷變化,故協調質量陣與剛度陣等也將不斷變化,則將式(1)中的各矩陣向量進行轉置(圖2).

圖2　梁中各單元角度變化示意圖Fig.2　Angle change sketch map for each element in beam

根據文獻[9]針對梁的斜碰撞模型，可得p+1時刻A梁和B梁的位移、速度、碰撞力，其公式分別為

X=A，B

(2)

式中：HA=TM-1(I-(ΔtCM-1)/4)TT； T=diag[T1,T2,…,Ti,…,TN]；M=TMATT；C=TCATT；K=TKATT；F=TFA；τ=TτA；R=TRA；U=TUA.其中:MA, CA, KA, FA, τA,, RA分別為在時變局部坐標系下的物理量；N為A梁的單元數.

i=1,N

在斜碰撞過程中, A梁必將與B梁的j和j+1節點之間的某點發生點對面接觸，并記接觸點對為(i,i′)(圖3).若A梁與B梁的某一節點發生點對點碰撞，則屬于點對面碰撞的特殊情況，這里先討論點對面接觸這種一般的情況.

圖3　點對面的接觸模型Fig.3　Contact model for node to surface

將式(2)應用于A梁和B梁，有

(3)

(4)

式中的H陣和其他各項參數為

HA=

HB=

其中：NA，NB分別為A梁與B梁的總體自由度數目,ξ1=x2/le,ξ2=x1/le.將式(3，4)中接觸部分的各項展開，有

(5)

可得碰撞點i′處的切向位移和豎向位移，即

(6)

(7)

1.3關于摩擦系數的修正

當物體間發生斜碰撞時，摩擦對碰撞過程的影響顯著，由于接觸過程中可能存在粘滑現象，僅采用文獻[9]中庫倫摩擦理論來分析接觸問題顯然已經不能滿足工程實際的要求，文獻[10]也指出了在斜碰撞過程中，摩擦系數具有隨著入射角的增大而減小的趨勢.文獻[11]闡述了影響接觸表面摩擦系數的主要因素，給出了表面相對滑動速度是影響動摩擦系數的一個重要因素.筆者借鑒Bochet根據鋼軌滑動的摩擦系數經驗公式[12]，對其中的切向接觸模型中的摩擦力做了如下修正：

(8)

將式(8)回代到式(5)可得到碰撞力R，τ,進而得到某一時刻的位移和速度，然后利用式(2)遞推得到整個碰撞接觸過程中的位移、速度等物理量.

2算例分析

算例細長梁與一簡支梁發生斜向碰撞，如圖1所示，B梁表面靜摩擦系數取0.35，動摩擦系數取0.25.A梁中點至B梁上表面垂直間距為0.1m，A梁沿軸向以初速v0=5m/s，初始角度α與一簡支B梁發生斜向碰撞.A梁為正方形截面，長為2m，截面積為0.01m2，慣性矩為8.3×10-6m4，楊氏模量為E1=6MPa，B梁為矩形截面，截面積為0.02m2，截面慣性矩為，6.67×10-5m4,楊氏模量為E1=6MPa，泊松比為0.47.將A梁劃分為4個單元 ,B梁劃分為10個單元，時間步長取10-5m.

通過計算，得到不同初始入射角度的梁斜碰撞位移曲線，從圖4~6可以看出：A梁與B梁之間發生了多次的碰撞，碰撞節點i的最大法向位移有隨著初始入射角度逐漸增大而增大的趨勢.在初始角度為60度時, 分別采用變摩擦系數理論和庫倫摩擦理論所得到的碰撞節點的動位移曲線有明顯的不同，當初始入射角度逐步變化后，兩者的動位移差將有逐步減小的趨勢.

圖4　初始角度為45度Fig.4　The initial angle of 45 degrees

圖5　初始角度為60度Fig.5　The initial angle of 60 degrees

圖6　初始角度為80度Fig.6　The initial angle of 80 degrees

3結論

通過建立二維梁動接觸碰撞動力學方程，對簡化后的梁的斜碰撞模型進行了數值計算，研究結果表明切向摩擦對梁碰撞的運動過程有顯著的影響.隨著初始入射角度不斷增大，摩擦力對法向位移的影響也逐步增大.采用庫倫摩擦理論與變摩擦系數理論對梁碰撞的過程做了詳細的分析，模擬結果顯示采用兩種不同的摩擦力模型時，隨著初始入射角度的遞增，碰撞點處的動位移差有先增大后減小的趨勢.

參考文獻：

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(責任編輯：劉巖)

作者簡介：蒲軍平(1962—)，男，新疆烏魯木齊人，教授，博士，主要從事固體力學和結構工程研究，E-mail:pjp@zjut.edu.cn.

收稿日期：2014-10-08