求解MArP風險過程破產時間的新方法

張超權，劉曉輝

（桂林航天工業學院 理學部，廣西 桂林 541004）

0 引言

本文考慮隨機環境下索賠服從PH分布的MArP風險過程:

其中，常數u≥0是初始盈余，設ζ={ζ(t)，t≥0} 是狀態空間為Eζ={1 ，2，…，m}，m＜∞ ，初始分布為αζ，轉移矩陣為Q的齊次不可約Markov過程，稱ζ為環境過程。本文假設風險過程受外界隨機因素ζ影響，在時刻t,當ζ(t)=i時,則對應保費率為ui,從而即為 (0，t]內收取的保費總額。N(t)表示(0，t]內發生的索賠次數，Ki表示第i次的索賠大小，{(ζ(t)，Nt)，t≥0} 構成Markov到達過程(Markov Arrival Process，MArP)。在狀態空間Eζ×N上，存在矩陣,滿 足Q=Q(0)+Q(1)，對所有i∈Eζ，有,令,對j≠i∈Eζ,有表示ζ由i轉移至j時，沒有索賠發生的轉移速率；對所有i，j∈Eζ,有表示ζ由i轉移至j時，有索賠發生的轉移速率。

基于以上的假定，我們稱風險過程(1)為隨機環境下的MArP風險過程。本文同時假定索賠具有PH分布，由于PH分布對有限混合具有封密性，同時對于一切具有正支撐分布類稠密，因而這類索賠假設更具一般性及概括性。不失一般性，設ζ由i轉移至j時發生的索賠額的分布為PH(βij，Bij),i，j∈Eζ,顯然，記PH分布潛在Markov過程的瞬間狀態空間為EP={1 ，2，…，n} 。

本文總是假定風險過程⑴滿足正的安全負荷條件:

對i，j∈Eζ，μij是分布PH(βij，Bij)的數學期望，即μij=-βij(Bij)-1e，e是維數適當的單位列向量，設π是ζ的平穩分布，即 πQ=0，πe=1。其中,π=(π1，π2，...，πm)。

本文提出并建立了外界隨機因素影響下具有不確定收入且索賠服從PH分布的MArP風險過程，即引入兩個隨機境過程，它們分別對過程的保費收入以及索賠次數和大小產生影響，選擇合適的Q(k)，k=0，1及PH分布形式，減弱某些相關程度條件，風險過程(1)可簡化為經典風險模型，及其它風險模型的各種形式。

風險過程的一般的分析方法是通過過程的更新特點獲得相關的微分-積分方程，通過求解微分方程求得破產相關量，在求解中，特征方程的特征根求解十分重要，但特征根的求解具有不穩定性，它對整個運算結果影響很大。隨機流體模型（Stochastic Fluid Model,SFM）是目前研究十分活躍的領域，它已被成功應用網絡通訊、柔性制造、供應鏈、火災防控、風險理論等領域。Asmussen[1]于1995年首次采用SFM來分析風險過程，同時，SFM的求解也存在著穩定及收斂速度快的算法[2,3]。Badescu[4,5]、Ramaswami[6]等將這一方法推廣應用于各種風險過程。采用SFM理論來求解風險過程，回避了特征方程的求解問題，通過SFM與QBD的相似性，可直觀地分析求解出相應的性能指標量。Badescu和Ramaswami等的方法主要處理保費收入恒定為γ的風險過程，將風險過程轉化為SFM。即將每次的賠付Ki假定為不是一次瞬間付清,而是以速率γ連續支付Kiγ個時間單位長度。從而風險過程轉化為對應的SFM，根據轉化方法，SFM的樣本路徑中上升階段與下降階段存在一定的比例關系，從而根據這一比例關系求解破產時間，但是這一方法存在一個缺陷，即當保費收入不以線性收取，或逐段不同斜率的線性收取時，此時，整個隨機流體的上升階段與下降階段就不存在對應的比例關系，因此，針對本文提出的保費不確定風險過程，利用上述轉化為SFM以后，由于保費收入的隨機性，從而使得相應的的SFM中樣本路徑的上升階段與下降階段不再具有聯系，從而這種方法對(1)所定義的風險過程失效。

針對Asmussen等提出方法的缺陷，即受二維隨機流體模型(Stochastic 2-Dimensional Fluid Model,2D-SFM)[7]的啟發，本文提出一種新的破產時間的轉換方法，這一方法完全克服了上述方法的不足，這一思想簡單來說，即我們不依賴于SFM的上升與下降階段的比例關系求解破產時間，而是給SFM定義一個計時器，當過程處于上升階段時（即風險過程變化過程），此時讓計時器進行計時，當過程處于下降階段時（對應賠付），則讓計時器停止。從而當SFM水平達到零時計時器上所記錄的時間即對應為相應風險過程的破產時間。

1 模型

設 (J，Y)={(J(t)，Y(t))，t≥0}是隨機流體模型(SFM)，即J={J(t)，t≥0}是狀態空間為E={1，2，…N}，N＜∞,轉移率矩陣為T,平穩分布為 π=(π1，π2，…πN)的非周期不可約的Markov過程，稱J為背景過程，連續過程Y={Y(t)，t≥0}稱為水平過程，表示流體介質的容量，其中Y的變化受過程J的控制，在t時刻，J(t)=i，設，

其中，B為任意給定正數，稱為Y的上界，表示容器最大容量。

(J，Y)的具體演變過程如下：在t時刻，J(t)=i，若0＜Y(t)＜B，則當ci＞0時，則Y以速率ci增加，當ci＜0時，Y以速率-ci減少，當ci=0時，則Y不發生變化。在邊界上，當Y(t)=0時，表示容器容量為空，故當ci≤0時，Y保持不變直至J轉移到新的狀態j∈E，且cj＞0，Y才以速率cj增加；若Y(t)=B時，表示容器容量已經充滿，故當ci≥0時，Y保持不變直至J轉移到新的狀態j∈E，且cj＜0，Y才以速率 -cj減少，當B=∞ 時，稱 (J，Y)為無限容量的SFM。

引入另一過程 (J，X)={(J(t)，X(t))，t≥0} ，在t時刻，J(t)=i，設，從而，

不妨，設X(0)=0，顯然，X(t)∈(-∞，+∞)，稱X為Y的伴隨累積過程，可見，當給定J(t)=i時，X與Y是條件獨立的。于是稱 (J，X，Y)={(J(t)，X(t)，Y(t))，t≥0} 是二維隨機流體隊列模型(2D-SFM)。

2D-SFM由Nigel G.Bean等[7]2013年提出，它推廣了傳統的SFM，即系統中除了水平過程Y，又引入連續的性能測度過程X，其中X與當前背景過程J相關，也可與過程Y相關（本文不考慮這類情況），如可用X描述過程Y所對應的收益，效用等的累積過程等，2D-SFM延拓了傳統SFM的實際應用范圍，本文將利用這一模型來分析隨機保費下索賠服從PH分布的MArP風險過程的破產時間的LST變換表示式。

對狀態空間E作如下分類E1={i∈E，ci＞0}，E2={i∈E，ci＜0} ，E3={i∈E，ci=0}，對應于E=E1∪E2∪E3，將T作如下分解：,相應地，令C1=diag(ci，i∈E1) ，C2=diag(ci，i∈E2)，R1=diag(ri，i∈E1) ，R2=diag(ri，i∈E2) ，R3=diag(ri，i∈E3)，設符號A為矩陣，本文記Aij為A的分塊矩陣，記[A]ij為矩陣A的第i行j列元素。

本文主要研究累積過程X的LST，給出如下定義:

下面給出幾個常用的基本矩陣[7]，設：

對y＞0 的解析式，顯然成立如下結論,詳細證明讀者可參閱文獻[7]：即對y＞0，有如下等式成立：

從上式可見，φ(s)在2D-SFM指標量的計算中具有十分重要的地位，下一結論給出了φ(s)的計算方法[7]。即φ(s)滿足如下方程：

上述方程稱為Riccati方程，文獻[7]給出了此方程的高效算法。

2 風險過程轉換2D-SFM

下面將風險過程(1)轉化為2D-SFM(J，X，Y)，在發生索賠時，每次的賠付Ki假定為不是一次瞬間付清,而是以速率1連續支付Ki個時間單位長度。于是風險過程轉換成SFM[1]，記為(J，Y)，其中環境過程J的狀態空間為：E=Eζ∪(Eζ×Eζ×EP)，J的初始分布為α=( )αζ，0 ，0 是適當維數的零向量，當J(t)=i∈Eζ時，Y對應的速率為ci=ui≥0 ，X對應的速率為ri=1；當J(t)=(i，j，l)∈Eζ×Eζ×EP時，Y對應的速率為ci=-1，X對應的速率為ri=0。定義過程計時器X，當J(t)=i∈Eζ時，X對應的速率為ri=1；當J(t)=(i，j，l)∈Eζ×Eζ×EP時，X對應的速率為ri=0。于是過程X對應于風險過程(1)的演變時間，于是，由此構造相應的2D-SFM(J，X，Y)。相應的SFM的狀態轉移率矩陣T如下構造[8]，對l，v∈Eij,i，j∈E有:

表1 隨機流體階段狀態轉移率

從而，風險過程(1)轉換成相應的2D-SFM(J，X，Y)，我們可以用2D-SFM理論來對風險過程(1)進行研究。

定義：θ=inf{t＞ 0，Ut=0|U0=u} 表為風險過程(1)的破產時刻。

記Γi(x，u)=P{θ≤x|U0=u，J(0)=i},i∈Eζ，從 而Γi(x，u)表示風險過程（1）初始狀態J(0)=i及初始盈余U0=u時破產時間的分布函數，設LST變換

于是我們得到破產時間的LST，我們有如下結論成立：

定理 對于風險過程（1），給定初始狀態J(0)∈Eζ及初始盈余U0=u時，破產時間的LST的表示式：

證明：由式(3)-(5)，上述結論顯然。

上結論給出了破產時間的LST，通過對LST取逆[9]，即可得到破產時間的概率密度函數。

3 數值實例

下面給出一數值實例：考慮風險過程，設背景過程Eζ={1，2}，即1表示高風險外界環境狀態，對應保費率為u1；2表示高風險外界環境狀態，對應保費率為u1，定義初始盈余為，狀態1轉移至狀態2時對應的索賠分布為PH(β12，B12)，其中，，狀態2轉移至狀態1時對應的索賠分布為均值為0.25的指數分布.于是：

根據定理，我們可以計算得到相應的破產概率密度函數。

如圖圖(a)-(d)揭示了在不同背景過程下的概率密度函數，其中(a)-(d)對應保費率(u1，u2)分別為(2,2),(5,5),(1,5)和(2,5)。從圖中可以看出，當保費率不發生變化時，如圖（a）,保費率均為2，此時，概率密度函數差別不大，說明環境過程對破產時間影響不顯著，但當將保費調至5時，如圖(b)，我們可以看出，此時概率密度函數差別明顯，在圖(c)和圖(d)中，在相同的環境過程狀態下，不同的保費率導致不同的破產時間分布，圖(a)-(d)說明，在進行風險管理時，考慮外界隨機環境的影響是必要的，對于不同的外界環境，我們考慮對應的不同的保費率機制以規避風險。

4 結論

本文提出并建立了保費受外界隨機因素影響下索賠服從PH分布的MArP風險過程，本文給出了一種破產時間計算的新方法，即將風險過程轉化為2D-SFM(J，Y，X)，同時設計一個與風險過程破產時間同步變化的計時過程X，使得X僅對我們感興趣的時間段進行計時，從而，得到了這一風險過程的破產時間的LST變換表示式，本文最后給出了破產時間的數值計算實例。本文的結論具有實際可操作性，這些結論對于保險公司分析外界隨機因素對保險業務的經營及管理的影響提供了理論基礎，對保險人規避風險，穩健經營具有重要指導意義。本文提出的這一方法還可推廣至其它風險過程，如可以考慮帶紅利分配，稅收等情況下的風險過程，同時，這一方法也可用于網絡通信，供應鏈、存儲論等相關領域。

[1]Asmussen S.Stationary Distributions Via First Passage Times[J].In Advances in Queueing:Theory,Methods,and Open Problems,ed.Dshalalow[M].CRC Press,Boca Raton,FL,1995.

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[3]Bean N G,O’Reilly M M,Taylor P G.Algorithms for The Laplace-Stieltjes Trans Forms of first Return Probabilities for Stochastic Fluid Flows[J].Methodology and Computing in Applied Probability 2008,10(3).

[4]Badescu A L,Breuer L.et al.Risk Processes Analyzed As Fluid Queues[J].Scand.Actuar,2005,15(1).

[5]Badescu A L,David L.Applications of Fluid Flow Matrix Analytic Methods in Ruin Theory A Review[J].Rev.R.Acad.Cerie A.Mat.2009,103(2).

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[7]Nigel G,Bean-Ma?gorzata M,O'Reilly.A Stochastic Two-Dimensional Fluid Model[J],Stochastic Models,2013,29(1).

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[9]Abate J,Whitt W.Numerical Inversion of Laplace Transforms of Probability Distributions[J].ORSA Journal on Numerical Merhods and Computer Applications,1995,7(1).