穩定分布條件下的動態風險度量模型

武 東，李 瓊，劉愛國

（1.安徽農業大學 理學院，合肥 230036；2.安徽商職業學院 電子信息系，合肥 230022）

0 引言

金融時間序列主要研究資產價值隨時間變化的理論與實踐。最為常見的金融時間序列是股票序列，其主要特征有收益率序列非平穩性、弱相關性、波動性聚類、厚尾性和杠桿效應等諸多特征。為了刻畫金融時間序列的這些特征，常采用GARCH族模型[1]進行擬合。1982年，Engle首創了自回歸條件異方差模型[2](簡稱ARCH模型)，該條件方差模型是過去新息平方的函數，它運用ARCH模型并結合AR模型成功預測了英國通貨膨脹問題。1986年，Bollerslev推廣了ARCH模型，將過去的條件方差引入條件方差模型得到GARCH模型[3]，該模型能較好地計算股票收益率序列的波動率。然而，ARCH模型和GARCH模型的條件方差均為過去新息平方的函數,因此價格的升降變化對條件方差的影響是對稱的。但實踐中，人們發現當好消息出現時，證券市場波動變化不大，而壞消息出現時，證券市場波動變化增大。通常，EGARCH模型和GJR-GARC H模型等非對稱GARCH模型均能刻畫新息的不對稱影響。

近來，文獻[4]推廣了GARCH模型和EGARCH模型得到了基于穩定分布的PARCH模型和EPGARCH模型，并對滬深股票市場進行了實證研究。EPGARCH-S模型能刻畫金融時間序列的厚尾性、波動聚類性和杠桿效應等特征。在證券市場的實證分析中，首先對滬深港美股票指數的對數收益率序列進行了描述性分析，得出它們均具有高峰厚尾特性和GARCH效應。然后，利用EPGARCH-S模型和EGARCH-t模型對滬深指數的對數收益率序列計算了風險值(VaR[5])。統計表明，基于EPGARCH-S模型的VaR能較好地評價金融風險。

1 模型

Mandelbrot(1963)[6]和Fama(1965)[7]指出股票價格的對數收益率序列呈非正態性，建議使用穩定分布擬合股票價格的對數收益率。眾所周知，穩定分布族是正態分布的一種推廣，但穩定分布沒有解析的密度函數形式只能用它的特征函數進行描述。下面給出一種較為常用的穩定分布的特征函數的定義[8]。

定義1若隨機變量X的特征函數可表示為

則稱隨機變量X服從穩定分布，記為S(α，β，γ，δ)，如果參數γ=1，δ=0，則稱為標準穩定分布,并簡記為S(α，β)。這里α表示尾部特征參數，主要反映分布尾部的厚薄程度；而β表示偏性參數，β＞0表示分布密度曲線是左偏的，β＜0表示分布密度曲線是右偏的，當β=0時,這時分布是對稱的。

假設證券價格的日收益率的條件均值方程為

其中新息zt的分布是零均值單位方差的標準化分布，由于EGARCH模型能較好地捕獲金融時間序列的高峰厚尾特性和杠桿效應等，文獻[4]進一步推廣了EGARC H模型得到了EPGARCH模型，本文的條件方差函數采用EPGARCH模型，其表述形式為

若條件方差模型中的新息分布為穩定分布，從而得到基于穩定分布的EPGARCH模型，記為EPGARCH-S模型。當d=2時，則退化為EGARCH模型，若取新息分布為t分布，則能得到基于t分布的EGARCH模型，簡記為EGARCH-t模型。下面利用這兩個模型對滬深證券市場的收益率序列進行統計建模并考查二者在VaR計算方面的有效性。

2 證券市場的實證分析

2.1 證券市場的特征分析

現在將上證綜合指數(000001)、深證成指(399001)、創業板指(399006)和創業300(399012)的日收盤價格作為研究對象。時間區間為2010年6月1日到2014年4月30日。這是因為2008～2009年是全球金融風暴，故選擇的時間起點為2010年，這樣可以減少在此之前股票價格大幅度波動對數據質量的影響。收益率選取日收盤價格的對數收益率，即pt為第t天的收盤價格，則第t天的收益率的公式為rt=100(lnpt-lnpt-1)。

表1 滬深指數日對數收益率的描述統計

表1列舉了滬深港美股指收益率序列的描述性統計指標。四只股票指數的日對數收益率的峰度均大于3，說明其具有高峰厚尾特性。下面利用EGARCH類模型對上述股票指數的收益率序列進行建模，表2列舉了股票指數的EGARCH類模型的參數估計結果。在EGARCH-t模型的參數估計中，α表示t分布的自由度，模型參數估計的方法采用了約束條件下的非線性優化算法[4]。從表2中的α值可以看出,股票的收益率序列都具有高峰厚尾特性,因為EPGARCH-S模型中的參數α是刻畫尾部特征的，β是偏性參數。說明EPGARCH-S模型可以刻畫股票市場的非對稱性(杠桿效應)。

表2 滬深指數日對數收益率的EGARCH類模型的參數估計

2.2 風險度量的計算原理

定義2設隨機變量Z表示投資一定數額的資產W后，在未來某一持有期T內的損益，則稱滿足P{Z＜-VaR}=α的正數VaR為該投資組合在未來持有期T內置信水平為1-α的風險值。

假設該投資組合在[0 ，T]時期內的收益率X=Z/W的分布函數為F(x)，且該投資組合的收益率分布的下側α分位數為xα=sup{x|P{X≤x} ≤α} ，則VaR(Z)=-xαW， 對于收益率序列{rt},可以得到VaR(rt)的計算公式為

2.3 EGARCH類模型在風險值計算中的比較分析

表3和表4給出利用EGARCH類模型計算得到股票收益率的風險值模型結果。下面利用Kupiec提出的似然比檢驗法[9]驗證EGARCH類模型的有效性。在Kupiec假設檢驗中，若N為檢驗樣本中損失高于VaR值的次數，n為樣本量。假設損失超出VaR值的次數服從二項分布，即N～B(n，1-α)，其中α為所用模型采用的置信水平，因此失效率f=N/T應等于p。Kupiec假設檢驗的原假設為H0:f=p，相應的似然比統計量為

由表3和表4可以得到如下結論：第一，從Kupiec檢驗的P值可見，在顯著性水平0.05，0.01下，EPGARCH-S模型基本上都是有效的，只有當顯著性水平為0.05時，創業板指的VaR模型失效，因為其P值小于給定顯著性水平，而基于EGARCH-t模型的VaR模型都是失效的，因為所有P值均很小，說明EPGARCH-S模型能較好地刻畫風險，而EGARCH-t模型擬合效果欠佳；第二，從失效天數、失效比率可以發現，基于EEPGARCH-S模型計算得到的失效比率接近于顯著性水平，而基于GARCH-t模型計算的失效比率偏離顯著性水平較大；第三，從VaR均值比較可見，基于EPGARCH-S模型的VaR均值要略低于基于EGARCH-t模型的VaR均值，說明基于EGARCH-t模型的VaR值過于保守且不夠準確；第四，由VaR均值可以得到結論：在一定顯著性水平下，創業板指(399006)和創業300(399012)兩只創業股的風險值要大于兩只綜合指數股，說明其風險更高，投資時須謹慎。

表3 基于EGARCH類模型的VaR計算(α=0.05)

表4 基于EGARCH類模型的VaR計算(α=0.01)

通過上面的比較分析,可以得出結論：一方面，由于穩定分布相對于t分布更具有靈活多變的特征，而穩定分布能較為準確地刻畫金融時間序列的尾部特征；另一方面，EPGARCH模型比EGARCH模型增加了一個未知參數，形式更加靈活，對收益序列的波動率的捕獲能力更強。綜上所言，EPGARCH-S模型對我國股票市場的對數收益率波動率的擬合準確度較高,能較好地描述證券市場的對數收益率的“易變性聚類”現象和“高峰厚尾”特性。

3 結論

EPGARCH-S模型融合了穩定分布和EPGARCH模型二者的優點，從而能很好地刻畫證券市場對數收益率序列的諸多特征,如高峰厚尾,波動聚集性,非對稱性等。故本文采用了EPGARCH-S模型對我國證券市場的對數收益率序列進行了風險值計算，從Kupiec檢驗結果來看，其精度高于傳統的EGARCH-t模型。統計表明，EPGARCH-S模型能很好地計算和評估股票市場的風險價值。

[1]張世英,樊智,協整理論與波動模型:金融時間序列分析及應用[M],北京:清華大學出版社，2004.

[2]Engle R F.Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimation of The Variance of United Kingdom Inflation[J].Econometrica,1982,(50).

[3]Bollerslev T.Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity[J].Journal of Econometrics,1986,(31).

[4]武東,湯銀才,基于穩定分布的EPGARCH模型[J].工程數學學報，2008,25(1).

[5]Jorison P.Value at Risk:The New Benchmark for Controlling Market Risk[M].New York:McGraw-Hill Companies,1997.

[6]Mandelbrot,B.The Variation of Certain Speculation Prices[J].Journal of Business,1963,(26).

[7]Fama E F.The Behavier of Stock Prices[J].Journal of The Business,1965,(38).

[8]武東,湯銀才.穩定分布及其在金融中的應用[J].應用概率統計，2007,23(4).

[9]Kupiec P.Techniques for Verifying The Accuracy of Risk Measurement Models[J].Journal of Derivatives,1995,(2).