等差數列前n 項和的性質

趙偉波

（山西省芮城縣第一職業學校）

等差數列這節內容是對口升學考試的一個重點。若能巧用性質解決問題，便可提高解題的速度和準確度。下面，我著重介紹等差數列前n 項和的幾個性質：

一、根據數列的前n 項和公式，求通項公式

例：已知數列{an}前n 項和Sn=3n2+n，求an。

解：當n=1 時，a1=S1=3+1=4

當n≥2 時，an=Sn-Sn-1=3n2+n-［3（n-1）2+（n-1）］=6n-2

∵n=1 時，a1=6×1-2=4 也適合此式

∴an=6n-2

點評：已知Sn，求an的過程：當n=1 時，a1=S1，當n≥2 時，an=Sn-Sn-1

二、已知等差數列前n 項和Sn，則Sk，S2k-Sk，S3k-S2k為等差數列

例：已知等差數列前n 項和Sn，且S10=70，S20=60，求S30

解：∵S10，S20-S10，S30-S20成等差數列

∴2（S20-S10）=S10+（S30-S20）

2×（60-70）=70+S30-60

∴S30=-30

三、若｛an｝｛bn｝為等差數列，其前n 項和分別為Sn，Tn，則

例1.已知等差數列｛an｝｛bn｝ 的前n 項和為Sn，Tn，且

②由等差數列性質解題：若m、n、p、q∈N*，m+n=p+q，則am+an=ap+aq

四、當項數為偶數項2n 項時：S偶-S奇=nd，

當項數為奇數項2n+1 時：S奇-S偶=an+1=a中，

例2.已知某等差數列共有2n+1 項，S奇=132，S偶=120，則n=_______

例3.已知某等差數列共有10 項，其奇數項之和為15，偶數項之和為30，求d。

解：∵項數為2n=10 即n=5，S偶-S奇=nd

∴30-15=5d，d=3

例4.在等差數列{an}中，d=，S100=45，則a1+a3+……a99=？

解：由題知，此數列共有2n=100 項，n=50

五、等差數列前n 項和的最值問題

例5.在數列｛53-3n｝中，前n 項和Sn取得最大值的項數n 為第幾項？

例6.已知數列｛an｝中，a1=-11，an+1=an+2，求

（1）數列｛an｝前n 項和Sn

（2）Sn的最小值

解：（1）∵an+1=an+2∴an+1-an=2 ∴｛an｝是公差為2 的等差數列

（2）∵Sn=n2-12n=（n-6）2=36

∴當n=6 時，Sn的最小值是-36.