基于有限元的過(guò)盈配合平均接觸壓力求解

沈健， 朱亞軍， 周丹， 劉光復(fù)， 杜曉東

（合肥工業(yè)大學(xué)，合肥230009）

0 引言

過(guò)盈配合是一種常見(jiàn)的連接方式，具有結(jié)構(gòu)緊湊、對(duì)中性好、承載能力大、耐沖擊性好等優(yōu)點(diǎn)。工程中通常按照彈性力學(xué)厚壁圓筒理論進(jìn)行設(shè)計(jì)計(jì)算，理論計(jì)算時(shí)忽略了軸向應(yīng)力，只考慮法向應(yīng)力和周向應(yīng)力，法向應(yīng)力即接觸壓力。

過(guò)盈配合構(gòu)件工作時(shí)，依靠過(guò)盈量產(chǎn)生的接觸壓力傳遞扭矩和軸向力，傳遞扭矩很大時(shí)設(shè)計(jì)的過(guò)盈量就需要很大，接觸壓力也相應(yīng)很大。由于一些場(chǎng)合下過(guò)盈配合需要拆解，在應(yīng)用上認(rèn)為拆解時(shí)所需的拆解力是由于接觸壓力和摩擦因數(shù)導(dǎo)致的，且是線性關(guān)系，因此得到平均接觸壓力就可以得到宏觀拆解力。有限單元法能很好地解決過(guò)盈配合接觸的計(jì)算問(wèn)題，并可以求解各種耦合問(wèn)題，為實(shí)際問(wèn)題的求解提供了有效的方法。

1 采用有限單元法計(jì)算過(guò)盈配合平均接觸壓力

1.1 過(guò)盈配合接觸問(wèn)題的有限元求解方法

過(guò)盈配合是一種典型的非線性接觸行為，接觸問(wèn)題的算法有罰函數(shù)法、拉格朗日法、增強(qiáng)拉格朗日法。罰函數(shù)法是計(jì)算每一載荷子步時(shí),先檢查接觸面和目標(biāo)面是否有穿透，若有穿透則在接觸面間引入法向接觸應(yīng)力，其值大小與接觸剛度和穿透深度成正比。拉格朗日法是把接觸力作為一個(gè)獨(dú)立的自由度，可以實(shí)現(xiàn)穿透為零的真實(shí)接觸條件。但由于自由度增加會(huì)降低計(jì)算效率，增強(qiáng)拉格朗日法是不斷更新接觸剛度的罰函數(shù)，直到計(jì)算的穿透值小于允許值為止，該算法總體剛度矩陣較少出現(xiàn)病態(tài)，接觸單元接觸剛度取值更合理。本文采用增強(qiáng)拉格朗日法進(jìn)行求解。

1.2 有限單元法的設(shè)置和求解

根據(jù)以上接觸問(wèn)題計(jì)算方法的原理，建立三維模型導(dǎo)入有限元軟件Workbench中，仿真計(jì)算基于靜力模塊進(jìn)行，設(shè)置接觸為摩擦接觸，添加摩擦因數(shù)，有限元模型的過(guò)盈量通過(guò)接觸單元實(shí)常數(shù)過(guò)盈的方法進(jìn)行設(shè)置，以輸入offset（偏移量）的值來(lái)實(shí)現(xiàn)，設(shè)置固定約束面。設(shè)置時(shí)為了方便單元應(yīng)力的提取，手動(dòng)設(shè)置內(nèi)孔面為接觸面（contact174），軸表面為目標(biāo)面。

經(jīng)過(guò)有限元計(jì)算可以得到各單元受力情況和受力單元數(shù)目，當(dāng)接觸單元都受力時(shí)，平均接觸壓力是所有接觸單元的接觸壓力值的平均值。當(dāng)受力單元數(shù)小于接觸面單元數(shù)時(shí)，采用將各受力單元面積乘以各單元接觸壓力再求和得到總接觸力，總接觸力除以接觸面的總面積得到平均接觸壓力。以下用實(shí)例來(lái)說(shuō)明該計(jì)算過(guò)程。

表1 軸和套筒的參數(shù)

2 計(jì)算實(shí)例

2.1 軸和套筒過(guò)盈配合平均接觸壓力的計(jì)算

給定軸和套筒的過(guò)盈配合模型如圖1所示，其各項(xiàng)參數(shù)如表1所示，設(shè)摩擦因數(shù)為0.1，過(guò)盈量為0.5 mm，添加圖1所示固定約束，對(duì)軸和葉輪裝配體進(jìn)行自由網(wǎng)格劃分，設(shè)置軸和葉輪網(wǎng)格尺寸為15 mm，接觸面單元的網(wǎng)格大小為5 mm，設(shè)置內(nèi)孔面為接觸面（contact174）。對(duì)模型求解，得到896個(gè)接觸單元都受法向應(yīng)力，直接對(duì)各接觸單元的法向應(yīng)力求平均值即可得到平均接觸壓力，為132.2 MPa。

圖1 軸和套筒約束模型

計(jì)算過(guò)盈配合接觸壓力的理論公式［4］為

式中：C1為軸的剛性系數(shù)為套筒的剛性系數(shù)為平均過(guò)盈量，μm，d 為軸孔的公稱直徑mm；d1為空心軸內(nèi)孔徑，實(shí)心軸為0。

該公式以理想狀態(tài)的軸和套筒配合為基礎(chǔ)。將表1中的參數(shù)帶入式（1）可以求得接觸面間的接觸壓力為135 MPa。比較有限元計(jì)算結(jié)果和式（1）的計(jì)算結(jié)果，相對(duì)誤差為2.2%，因此上述有限單元法求解的平均接觸壓力與理論計(jì)算結(jié)果相吻合。由此可見(jiàn)，有限單元法能很好地解決過(guò)盈配合的計(jì)算問(wèn)題。

對(duì)于工程中大量復(fù)雜結(jié)構(gòu)的過(guò)盈配合問(wèn)題（如軸和葉輪），已沒(méi)有相應(yīng)的理論計(jì)算公式，但采用上述的有限元方法的計(jì)算結(jié)果是可信的。

2.2 存在形狀誤差的軸和葉輪過(guò)盈配合平均接觸壓力的計(jì)算

2.2.1 軸的彎曲幾何模型建立

大型離心壓縮機(jī)的軸和葉輪通過(guò)大過(guò)盈配合（如φ225H7/y6）來(lái)傳遞扭矩，葉輪結(jié)構(gòu)復(fù)雜，其基本參數(shù)如表2所示。

表2 葉輪的基本參數(shù)

軸在整個(gè)生產(chǎn)、服役周期內(nèi)，容易產(chǎn)生彎曲，在葉輪需要修復(fù)時(shí)，要對(duì)葉輪進(jìn)行加熱拆解處理，因此需要對(duì)拆解過(guò)程的接觸情況進(jìn)行分析。為研究方便，將軸存在彎曲時(shí)配合模型簡(jiǎn)化成如圖2所示，將配合面中部的彎曲量設(shè)為最大，用軸線的直線度來(lái)反映其彎曲程度，設(shè)直線度誤差為0.05 mm。

圖2 軸彎曲時(shí)的配合模型

2.2.2 有限單元法求解的設(shè)置

計(jì)算接觸壓力時(shí)的相關(guān)材料屬性、接觸和網(wǎng)格劃分的設(shè)置與上述軸和套筒的模型相同，將圖3中X軸負(fù)方向的端面添加面固定約束，得到接觸面（contact174）單元個(gè)數(shù)約為7700個(gè)。兩個(gè)配合面之間的接觸壓力來(lái)源于設(shè)置的過(guò)盈量和軸的直線度誤差形成的實(shí)際過(guò)盈量。

圖3 軸和葉輪有限元網(wǎng)格劃分

模擬加熱拆解過(guò)程，采用瞬態(tài)熱-結(jié)構(gòu)耦合進(jìn)行計(jì)算，添加材料的熱力學(xué)性能參數(shù)（見(jiàn)表3），實(shí)際加熱方式為流道面加熱，溫度載荷350℃，加熱時(shí)間為1 000 s。

2.2.3 有限單元法計(jì)算結(jié)果分析

通過(guò)有限元計(jì)算得到以下情況的接觸壓力分布云圖，如圖4～圖7所示。

表3 軸和葉輪的熱力學(xué)性能參數(shù)

圖4 不受熱、軸無(wú)直線度誤差時(shí)的接觸壓力云圖

圖5 不受熱、軸的直線度誤差為0.05 mm時(shí)的接觸壓力云圖

圖6 受熱、軸無(wú)直線度誤差時(shí)接觸壓力云圖

圖7 受熱、軸的直線度誤差為0.05 mm時(shí)的接觸壓力云圖

對(duì)比圖4和圖5，可以得到接觸壓力直觀的分布情況，接觸壓力最大的區(qū)域?yàn)橹虚g部位，這是由于中間區(qū)域葉輪剛度最大導(dǎo)致的；當(dāng)軸的直線度誤差為0.05 mm時(shí)，會(huì)嚴(yán)重影響葉輪上的接觸壓力分布狀況，接觸壓力最大的區(qū)域會(huì)向?qū)嶋H過(guò)盈量最大的部位移動(dòng)；軸的直線度誤差為0.05 mm時(shí)的最大接觸壓力大于無(wú)直線度誤差狀態(tài)下的最大接觸壓力。

對(duì)比圖4和圖6，受熱時(shí)接觸壓力的分布相對(duì)于不受熱時(shí)變化很大，配合面靠葉輪進(jìn)氣口處（配合面最右端）的接觸壓力最大。圖6、圖7所示中心區(qū)域接觸壓力很小，圖7中部分接觸區(qū)域接觸壓力幾乎為0。

針對(duì)得到的計(jì)算結(jié)果圖4和圖5，采用ANSYS后處理技術(shù)，提取接觸單元的接觸壓力，應(yīng)用MATLAB編程連成曲面，建立表面接觸壓力分布曲面如圖8和圖9所示。設(shè)定該曲面的3個(gè)坐標(biāo)分別為配合面軸向尺寸、圓周方向偏轉(zhuǎn)角度、接觸壓力的數(shù)值。

由圖8、圖9可知：1）軸無(wú)直線度誤差時(shí)，過(guò)盈配合接觸壓力的分布隨著軸向尺寸的變化而變化，接觸壓力的最大值出現(xiàn)在圖4所示葉輪距離左端面42 mm處，接觸壓力沿圓周方向的變化不大；2）軸的直線度誤差為0.05mm時(shí)，應(yīng)力分布發(fā)生變化，應(yīng)力隨軸向位置和偏轉(zhuǎn)角度的不同變化較大。最大接觸壓力出現(xiàn)在圖5所示葉輪距離左端面42 mm處，周向偏轉(zhuǎn)角度為0°。

圖8 軸無(wú)直線度誤差的接觸壓力曲面

圖9 軸的直線度誤差為0.05 mm時(shí)的接觸壓力曲面

分別建立存在不同的直線度誤差的軸和葉輪裝配的有限元模型，經(jīng)求解得到軸和葉輪裝配體的最大接觸壓力和平均接觸壓力的變化情況。

由圖10可知，最大接觸壓力隨軸彎曲程度的增大而增大，加熱時(shí)最大接觸壓力會(huì)減小，這是由于加熱降低了實(shí)際過(guò)盈量。

圖10 軸直線度誤差與最大接觸壓力的關(guān)系

由圖11可知，兩表面之間的平均接觸壓力隨軸的直線度誤差的增大變化很小。這是由于軸雖然存在直線度誤差，導(dǎo)致各處的接觸壓力分布發(fā)生變化，造成局部接觸壓力增大，但其他區(qū)域的接觸壓力會(huì)減小，而總的接觸壓力不會(huì)有較大的變化，因此使平均接觸壓力和拆解力不會(huì)隨誤差增大發(fā)生較大變化。這里也有可能研究的直線度誤差過(guò)小，且網(wǎng)格尺寸較大，導(dǎo)致平均接觸壓力變化不明顯。通過(guò)計(jì)算，得到軸和葉輪配合未加熱時(shí)，平均接觸壓力為115 MPa左右。加熱時(shí)降低到55 MPa左右。加熱時(shí)平均接觸壓力降低了約52%，因此拆解力也有相同的降幅。

圖11 軸直線度誤差與平均接觸壓力的關(guān)系

3 結(jié)論

1）使用有限單元法求得了過(guò)盈配合的平均接觸壓力。

2）軸存在直線度誤差時(shí)，對(duì)過(guò)盈配合件的兩接觸表面的接觸壓力分布會(huì)有較大的影響。最大接觸壓力隨著軸直線度誤差增大而增大，平均接觸壓力和拆解力變化不大。

3）對(duì)葉輪加熱時(shí)，過(guò)盈配合的平均接觸壓力會(huì)有大幅度的降低，采用有限元方法求得變化規(guī)律。

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