三維尺寸鏈的偏差分析

張蕾

（合肥工業(yè)大學 機械與汽車工程學院，合肥 230009）

0 引 言

在實際生產(chǎn)制造過程中，很難制造出完美的零件，實際制造出來的零件往往與理想設(shè)計存在偏差，零件在裝配過程中也會產(chǎn)生定位偏差，這些偏差在裝配過程中不斷累積，最終累積成產(chǎn)品的尺寸偏差。過度的尺寸偏差會導(dǎo)致產(chǎn)品失效或達不到預(yù)期目標，給生產(chǎn)制造帶來損失。因此，如何及早地發(fā)現(xiàn)過大的尺寸偏差并提出優(yōu)化方案就成為目前機械制造領(lǐng)域研究的熱點。

目前，對尺寸偏差的分析大多建立在裝配尺寸鏈的基礎(chǔ)上。尺寸鏈是指在零件加工或總成裝配過程中，由相互聯(lián)系的尺寸按一定順序首尾相連排列而成的封閉尺寸組，組成尺寸鏈的各尺寸稱作尺寸鏈的環(huán)，有組成環(huán)和封閉環(huán)之分。通常把控制尺寸作為封閉環(huán)，已知尺寸作為組成環(huán)，然后通過已知尺寸的偏差計算出關(guān)鍵尺寸的偏差。這種方法在一維尺寸鏈上應(yīng)用廣泛，并取得了較多的研究成果［1-3］。但是目前對三維尺寸鏈的偏差分析大多為定性分析［5-7］，能給出明確的計算公式的文獻相對較少且計算公式較為復(fù)雜［8］。

本文在前人研究的基礎(chǔ)上，將每個零件尺寸看作三維空間中的有向矢量，利用空間矢量的矢量長度和空間姿態(tài)角來表示矢量，建立了三維尺寸鏈的計算公式，并得到了三維尺寸鏈的偏差傳遞公式。

1 三維尺寸鏈的偏差分析

1.1 三維尺寸鏈模型

在三維裝配中，可以根據(jù)零部件間的尺寸關(guān)系和位置關(guān)系，確定零部件之間的裝配點，然后將這些裝配點依次相連，形成一個封閉的矢量環(huán)，如圖1所示，這樣，每一個零件都被簡化成矢量環(huán)上的一個矢量。這個封閉的矢量環(huán)即為所需的尺寸鏈模型，需要控制的那個尺寸矢量即為封閉環(huán)矢量，其他的尺寸矢量即為組成環(huán)。

1.2 三維尺寸鏈計算公式

三維尺寸鏈可以看作是由三維空間中一個個的矢量前后連接而成，每一個矢量都可以用空間向量來表示。圖2所示為簡單的三維尺寸鏈，l→1和l→2為組成環(huán)向量，l→3為封閉環(huán)向量。該尺寸鏈的向量表示形式為：l→3=l→1+l→2。

在三維空間中，每一個向量都可以用三維坐標來表示。對于尺寸鏈各組成環(huán)來說，決定其空間向量坐標的有3個值，組成環(huán)的長度l、姿態(tài)角α、姿態(tài)角β，如圖3所示。由幾何關(guān)系可得：

該尺寸鏈模型不僅適用于三維空間，同樣適用于一維空間和二維空間。當β1=β2=0時，該公式則變?yōu)槎S尺寸鏈計算公式當 β1=β2=0 且 α1=α2=0時，該公式則變?yōu)橐痪S尺寸鏈的計算公式

1.3 三維尺寸鏈的偏差計算公式

三維空間中的組成環(huán)要比一維空間和和二維空間中的更復(fù)雜，它的偏差不僅包括尺寸鏈長度的變化Δl，還包括姿態(tài)角的變化Δα和Δβ，并且在尺寸鏈計算過程中還存在三角函數(shù)的運算，這使得三維空間中的偏差計算更為復(fù)雜。

假設(shè)圖1中的組成環(huán)l→1和l→2分別產(chǎn)生了偏差Δl1、Δα1、Δβ1和Δl2、Δα2、Δβ2，此時組成環(huán)變?yōu)闉閘→1′和l→2′，其坐標式為：

由于 Δl、Δα、Δβ 的值均比較小，所以可認為 cosΔα≈1，cosΔβ≈1，sinΔα≈Δα，sinΔβ≈Δβ， 且認為 ΔαΔβ≈0，ΔβΔl≈0，ΔαΔl≈0。

則 cos（ β+Δβ）cos（ α+Δα） ≈cosβcosα-cosβsinαΔαsinβcosαΔβ，cos（ β+Δβ）sin（ α+Δα）≈cosβsinα+cosβcosαΔαsinβsinαΔβ，sin（ β+Δβ）≈sinβ+cosβΔβ。

最后，計算得到的封閉環(huán)為

1.4 敏感度矩陣

對應(yīng)于偏差流理論［9］中的偏差傳遞公式 U=S·V，裝配偏差矩陣為U=l→3′-l→3，偏差源矩陣為裝配偏差對偏差源敏感度矩陣為S=

2 實例計算

下面以前大燈支撐側(cè)板總成為例進行實例分析。圖4所示為前大燈支撐側(cè)板總成，該總成由4個零件裝配而成，為了減少計算量，僅選取其中2個相連的零件進行分析。根據(jù)裝配關(guān)系我們可以把每個零件簡化成尺寸鏈上的一個組成環(huán)，圖中A、B、C 3點為零件之間的裝配點，因此可以用空間向量來表示這兩個零件。 在由這兩個零件組成的簡單尺寸鏈中，為組成環(huán)，為封閉環(huán)，。

在空間坐標系，測得A點坐標為（-636.7384，-432.3098，320.0523），B 點坐標為（ -494.7559，-762.1346，311.3680），C 點坐標為（ -281.3382，-735.7764，518.5242）。可得組成環(huán)=（141.9825，-329.8248，-8.6843），l1=359.1920，α1=1.164 294，β1=-0.024 180， 組成環(huán)=（ 213.4177，26.3582，207.1562），l2=298.5893，α2=0.122 883，β2=0.766 729。 則組成環(huán)=（355.4002，-303.4666，198.4719）。可求得該尺寸鏈的偏差傳遞公式為

由敏感度矩陣可以看出，不同的偏差對封閉環(huán)尺寸同一方向的影響不同，同一偏差對封閉環(huán)尺寸不同方向的影響也不同。敏感度反映了各偏差源在偏差傳遞過程中被放大的倍數(shù)。以封閉環(huán)在X軸方向的投影為例，它對Δα1的敏感度為329.8248，也就是說姿態(tài)角α1的極小偏差傳遞到封閉環(huán)X方向時，將會被放大300多倍。同時，根據(jù)敏感度矩陣中數(shù)值的正負，我們可以判斷出尺寸鏈上的增環(huán)和減環(huán)。敏感度矩陣直觀地反映了零件偏差對裝配偏差的影響，為后期進行公差優(yōu)化提供了參考。

3 結(jié) 語

本文采用空間向量來表示尺寸鏈的各組成環(huán)和封閉環(huán)，并根據(jù)三維尺寸鏈的矢量關(guān)系，建立了三維尺寸鏈的偏差傳遞公式，得到了封閉環(huán)偏差對各組成環(huán)偏差的敏感度矩陣。

在尺寸鏈分析過程中，我們可以將所有零件根據(jù)裝配關(guān)系簡化成尺寸鏈上的一個個矢量，每個矢量由矢量長度和空間姿態(tài)角來進行坐標表示。在零件裝配過程中，制造偏差和裝配偏差直接反映為矢量長度的偏差和姿態(tài)角的偏差，各零件的偏差通過尺寸鏈傳遞到封閉環(huán)。

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