低應力水平下時間效應對巖石蠕變模型參數的影響

李成波

(安陽工學院 數理學院，河南 安陽 455000)

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低應力水平下時間效應對巖石蠕變模型參數的影響

李成波

(安陽工學院 數理學院，河南 安陽 455000)

[摘要]在巖石蠕變實驗數據基礎上，通過擬合分析，得到了蠕變模型的相關參數。通過對比理論計算數據與實驗數據，結果發現：不考慮參數受時間尺度的影響將引起較大的誤差，對于蠕變模型來說，其參數不是常數，而是隨時間變化的量，時間尺度對模型參數影響較為明顯；如考慮參數的時間相關性，建立非定常參數的蠕變模型方程，將比定常蠕變模型更能準確地反映巖石的蠕變變形特征。

[關鍵詞]蠕變實驗； 蠕變模型；標準線性體；伯格斯；時間效應

1引言

為了預測巖石在應力長期作用下的變形規律，往往需要進行一系列蠕變實驗，確定巖石的蠕變模型。一條完整的蠕變曲線通常分為：瞬態蠕變、穩態蠕變和加速蠕變等三個階段[1]。在實驗室中，對于低強度的巖石樣品，穩態蠕變可以在中等應力水平下很快出現，而第三期蠕變很難出現，只有在高應力水平(大于80%時)下才有可能能夠出現。所以在這里主要是針對前兩階段蠕變的研究，即低應力水平下的蠕變現象。

本文在蠕變實驗結果的基礎上，主要針對標準線性體模型和伯格斯模型之間的討論比較，以及蠕變模型參數隨時間效應的變化關系。通常的擬合計算中，所采用的蠕變模型參數大多認為是與時間無關的，稱為定常參數模型。而實驗表明，如果忽略時間效應的影響，兩種模型都能很好地擬合數據。如果把實驗數據分成不同的時間階段，發現這些模型的參數都是與時間相關的，直接用這些固定參數來“預測”將來的蠕變趨勢和蠕變值將存在較大偏差。而事實上，巖石在水和風化等因素作用下，其某些力學參數隨時間的變化是明顯的，比如巖體彈性模量和強度等參數隨時間的增長而降低[2]等。

2蠕變實驗

實驗用的樣品為采自郯廬斷裂帶附近的花崗巖、大理巖和砂巖3類巖石，加工成50×50×50 mm3大小。實驗裝置為全自動伺服液壓試驗機(YAW4605)系統，加有水冷設施，可保證壓機系統連續穩定工作兩個月。在樣品表面對稱貼有兩組電阻應變片，與數字式應變儀(WS-3811)聯接，采樣頻率為1Hz。用鋼塊對實驗裝置進行了的穩定性測試，應力和應變測量值是二條基本平行的直線，分別有±0.2MPa和±3微應變的波動。每次實驗開始時，首先對樣品迅速加壓，讓應力在幾分鐘內到達設定值，然后保持，應力可看成是階躍函數。分別對不同類巖石在35、50和70MPa的應力下進行了蠕變實驗，整個實驗過程中，基本保持室溫在±1℃的波動范圍。圖1中的實線為砂巖的蠕變實驗曲線，該實驗持續時間為20天。應變隨應力達到設定值后上升到4830微應變，這一部分為彈性階段。接下來讓應力保持不變，而應變隨時間繼續緩慢增加，但其應變增長速率卻在不斷地減小。為了能夠更好地突出蠕變變形部分，圖中已經把彈性階段的變形部分截去。圖1僅為砂巖的蠕變曲線，其它種類巖石(大理巖、花崗巖)在不同應力下的蠕變曲線大致相近，限于篇幅沒有一一列出。

Fig. 1The creep experiment curves of sandstone at 35MPa

3蠕變模型的比較與分析

在這里，僅將常用的標準線性體和伯格斯(Burgers)模型進行對比。

3.1　標準線性體模型

如圖2(a)所示為標準線性固體模型，圖中E1代表彈性元件的彈性系數，產生瞬時彈性應變。E2和η分別代表并聯彈性元件的彈性系數和粘性元件(阻尼盤)的粘性系數，產生隨時間變化的蠕變變形，該模型的本構方程[3]為：

(1)

式中ε為軸向應變，σ0為軸向應力，τ=η/E2為弛豫時間，t為實驗持續時間，漸近模量Ef=E1·E2/(E1+E2)。從圖1中可看出式(1)能夠很好地模擬巖石在恒定應力作用下的蠕變特性，實測曲線和反演曲線的相關系數可達到0.99。式(1)也可以寫成如下形式：

ε(t)=εf-εcexp(-t/τ)

(2)

式中，εf為漸進應變，εc為整個蠕變量。

當t=0 時，有初始的彈性應變ε0和模型的初始模量E0，由彈性模量E1決定，且E0=E1。當t趨于無窮時有漸近應變εf和蠕變量εc=εf-ε0，模型的漸近模量Ef=(E1·E2)/(E1+E2)，且可推導得出E1/E2=εc/ε0，定義模量比值為：C=E2/E1。

Fig. 2 (a)standard linear model and (b) Burgers model

3.2　伯格斯模型(Burgers)

Burgers模型是Kelvin模型和Maxwell模型的串聯體，如圖2(b)所示。模型的四個參數： GK和GM，ηK和ηM分別為Kelvin和Maxwell模型的彈性模量和粘滯系數。蠕變方程為[4]：

(3)

式中ε為軸向應變，t為時間，K為體積模量，σ0為恒定應力。

由于在軸向應力條件下，σ2=σ3=0，所以偏向應力σ1,dev=2σ1/3，偏向應變ε1,dev=ε1-εm，這里的εm為平均應變值。假設泊松比=0.25，有σm=3Kεm，ε1=σ1,devG /2+σmK /3，σm為平均應力值。

標準線性體模型主要是描述暫態蠕變的。標準線性體表現為固體，其中的阻尼器單元是固體的滯彈性，該阻尼器單元與并聯彈簧單元一起，表征了弛豫時間的長短。而伯格斯模型包含了穩態蠕變階段，能夠求出穩態變形時的粘滯系數。如果實驗時間不是太長，有可能只觀測到暫態蠕變部分；如果實驗時間足夠長，往往也能夠觀測到穩態蠕變部分，所以選擇這兩個代表性的蠕變模型作為理論依據。

4非定常蠕變模型

4.1　時間尺度對模型參數的影響

為了進一步尋找蠕變模型參數受時間尺度的影響規律，做如下分析。對實驗所得數據進行了分段處理，即假定實驗分別在5天、10天、15天和20天的時間結束。假定蠕變實驗在5天時結束，所得模型的參數分別代入蠕變方程(1)和(3)，然后再將時間外延到20天，就得到每個模型對應的預測應變曲線，如圖1虛線所示。圖1箭頭所示的右半部分， 是模型在5天～20天預測曲線，與實驗曲線比較有明顯的偏離。伯格斯模型預測值偏大，而標準線性體模型預測值偏低。分段的實驗數據都用兩種模型來反演，所得的各參數值見表1。表1中所有參數計算的理論值與實測數據的相關系數都在0.99以上，說明無論實驗時間多長，這兩個模型都可以很好地擬合實驗數據，但對后面的“預測”這一標準而言，模型都不是合適的模型，即模型的預測曲線，與實測曲線都有明顯偏離。如果假定實驗在10天時結束，也得到相似的結果。

表1　對實測數據分段反演蠕變模型所得的參數(應力水平為0.21)

為了更進一步了解時間尺度對蠕變模型的影響，選用更為大的時間尺度進行分析。引用文獻[5]中的數據，該數據所測試樣為邊長5cm的立方體，巖性為具有一定膠結的斷層巖(大理巖區)，巖石強度為2MPa，結構比較均勻，實驗在軸向應力條件下持續了近80天，應力水平為0.14，也進行了類似的反演計算，計算結果見表2。

對實驗數據分幾個不同時間尺度來反演并繪出理論曲線，再和實測曲線作比較，目的是為了說明各個模型在不同時間尺度上和實際情況的吻合程度。每個模型都可用于巖石蠕變數據的模擬，擬合用到數據的時間范圍越長模擬的結果越和實際相吻合，參數也接近實際情況。從表1和表2可以看出，在兩個模型中，除彈性元件參數E1、K和GM外，其他參數都隨實驗時間變化而變化，三個模型的參數都是和時間相關的。不管應力水平為多少，或者實驗持續時間的長短，同樣存在著模型參數隨時間有規律地變化，對于標準線性體來說，模型的參數呈現明顯的規律，馳豫時間越來越長，C值越來越小。

4.2　非定常蠕變模型

由實驗數據可以擬合計算出全部模型參數，如彈性模量E1和E2，漸近模量Ef和漸近應變εf，最大蠕變量εc等，所得參數都是固定的。而從表1和表2的結果可見，不同時間尺度的實驗計算出的參數不盡相同，并且它們都是和時間相關的。如在標準線性體模型的計算中，時間越長，則弛豫時間也變長，漸近應變εf不斷增加，相應的蠕變量εc也逐漸變大，但彈性模量E2卻變小，稱為模量虧損。針對實驗數據的擬合計算具有模型和參數的不唯一性特點。

為了取得較好的計算模擬效果，提出了變參數的標準線性體模型，即非定常蠕變模型。假設模量比和粘滯系數都是隨時間變化的，可表示為C(t)=E2/E1和η(t)，根據不同實驗時間分段計算，得其規律性：C(t)=6.389+13.57×exp(-t/528219)和η(t)=4.289+1.205×10-6t (1016Pa·s)，代入式(1)中，修正前后的理論曲線見圖3和圖4。圖中Ⅰ區為用于反演計算的實測數據段，Ⅱ區為用于將理論預測曲線和實測曲線比較的數據段。可以看出修正后的標準線性體模型比原來未修正之前的預測能力有了很大提高。對于80天的斷層巖實驗，也能用相同的方法進行處理提高標準線性體的預測能力，圖4所示，它在第Ⅰ和第Ⅱ階段與實驗曲線符合較好，滿足模型判斷標準。

5結論

各種巖石的蠕變特征，主要由巖石蠕變曲線來體現。對實驗數據分不同時間尺度來反演并繪出理論曲線，再和實測曲線作比較，目的是為了說明各個模型在不同時間尺度上和實際情況的吻合程度。結果表明，兩種模型都可用于巖石蠕變數據的模擬，擬合用到數據的時間范圍越長模擬的結果越和實際相吻合，參數也接近實際情況。但把實驗數據分成不同的階段時，蠕變模型的參數都在隨時間變化。不考慮參數的時間相關性，其計算值與實測值相差較大，尤其是應力水平較大時，這種誤差更大。

由于實驗室中的蠕變實驗的持續時間遠比實際環境下巖體的蠕變時間尺度小很多，直接從實驗結果外推的話勢必將導致一系列偏差。如果在蠕變模型中引入非定常參數，可以減小理論計算值與實測值的差異，吻合較好。這種將巖石蠕變力學參數看作是非定常的，將會更加直接而客觀地反映巖石的非線性黏性時效特征。采用非定常的非線性蠕變模型代替傳統上定常的線性蠕變模型將能以更加準確地預測巖石的時效非線性變形特征，它將是下一步深化研究的一個努力方向[6]。這種變化一直持續到更大時間尺度上，如地震后的形變和冰后期的地面回升。如果時間效應機制能夠明確或是有規律變化被發現，對蠕變速率和軟流層粘滯系數的估計將會很大程度的提高。目前，從可用的數據來總結，這一機制還沒有很清楚的認識，還有待進一步研究。

[參考文獻]

[1]Boukharov G.N., Chanda M.W., Boukharov N.G.. The three processes of brittle crystalline rock creep[J]. International journal of rock mechanics and mining sciences, 1995, 32(4):325-335.

[2]呂愛鐘, 丁志坤, 焦春茂, 等. 巖石非定常蠕變模型辨識[J]. 巖石力學與工程學報, 2008, 27(1):16-21.

[3]尹祥礎. 固體力學[M]. 北京: 地震出版社. 1985.

[4]沈振中, 徐志英. 三峽大壩地基花崗巖蠕變實驗研究[J]. 河海大學學報, 1997, 25(2):1-7.

[5]鄧榮貴, 周德培, 張倬元, 等. 一種新的巖石流變模型[J]. 巖石力學與工程學報, 2001, 20(6):780-784.

[6]孫鈞. 巖石流變力學及其工程應用研究的若干進展[J]. 巖石力學與工程學報, 2007, 26(6):1081-1106.

[責任編輯：D]

[中圖分類號]TU 45

[文獻標識碼]A

[文章編號]1671-5330(2015)02-0010-04

[作者簡介]李成波(1980—)，男，安陽人，講師，博士，主要從事巖石物理實驗方面的研究。

[收稿日期]2015-02-20