基于混合高斯粒子濾波的OFDM頻偏估計算法

楊霄鵬，黃　洋，楊朝陽,姚　昆，焦　玲

(空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院，陜西 西安　710077)

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基于混合高斯粒子濾波的OFDM頻偏估計算法

楊霄鵬，黃洋，楊朝陽,姚昆，焦玲

(空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院，陜西 西安710077)

0引言

正交頻分復(fù)用(OFDM)系統(tǒng)由于其眾多優(yōu)點被廣泛應(yīng)用于多個無線標(biāo)準(zhǔn)，如IEEE802.11a/g、802.16、數(shù)字視頻廣播(Digital Video Broadcasting， DVB)、LTE、B3G等。然而OFDM系統(tǒng)需要子載波之間保持正交，尤其是在高速航空移動通信中，由于航空信道存在突出的時變特性和多普勒頻移[1]，會引起載波頻率偏移(CFO)，破壞子載波之間的正交性，產(chǎn)生嚴(yán)重的子載波間干擾(ICI)，使通信系統(tǒng)性能惡化。因此有必要采取措施來解決載波頻率偏移問題，而有效的OFDM頻偏估計算法成為解決這一問題的關(guān)鍵。

近年來已提出多種算法[1-6]，用于解決OFDM頻偏估計問題。文獻(xiàn)[2]提出的最大似然估計法(Maximum Likelihood Estimation, MLE)通過在頻域插入兩個連續(xù)的導(dǎo)頻符號，接收端根據(jù)相鄰符號的相位差估計頻偏，該算法估計精度較高，但在大頻偏、高階調(diào)制時性能較差。通過將OFDM頻偏估計問題建模為動態(tài)狀態(tài)空間模型，利用濾波類算法估計頻偏成為當(dāng)前的研究熱點。文獻(xiàn)[3]利用擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)算法估計頻偏，其在大頻偏和高階調(diào)制下性能優(yōu)于MLE算法，但由于是對頻偏估計的非線性方程進(jìn)行一階泰勒展開，線性化后利用KF遞推求得狀態(tài)估計，存在截斷誤差，從而必定會對估計精度產(chǎn)生影響，并且EKF算法存在易發(fā)散、不穩(wěn)定、對初值敏感的缺點。針對這些缺陷，文獻(xiàn)[4]研究了Sigma-Point卡爾曼濾波在OFDM頻偏估計中的應(yīng)用，其性能優(yōu)于EKF算法。這是因為無跡卡爾曼濾波(UKF)通過無跡變換實現(xiàn)了對非線性函數(shù)概率分布上的近似，而不是線性化近似非線性函數(shù)本身，其統(tǒng)計特性可以精確到三階[5]。但EKF、UKF頻偏估計算法需提前知道噪聲的統(tǒng)計信息。針對粒子濾波(Particle Filter，PF)算法無需已知噪聲的統(tǒng)計信息，且OFDM頻偏估計的觀測方程為指數(shù)形式的強(qiáng)非線性系統(tǒng)，文獻(xiàn)[6]研究了基于粒子濾波的頻偏估計算法，PF算法較UKF估計精度高、收斂速度快，然而其存在粒子退化問題。文獻(xiàn)[7]提出了基于高斯粒子濾波的OFDM頻偏估計算法，高斯粒子濾波避免了重采樣步驟，濾波精度高，但算法復(fù)雜度高，實時性較差。文獻(xiàn)[8]將卡爾曼濾波與粒子濾波結(jié)合提出了混合高斯粒子濾波算法并將其應(yīng)用于組合導(dǎo)航系統(tǒng)，混合算法能很好的適應(yīng)該系統(tǒng)狀態(tài)空間線性非線性混合的特點，從而提高濾波精度和實時性。

本文針對現(xiàn)有高斯粒子濾波OFDM頻偏估計算法復(fù)雜度高、實時性較差的不足，結(jié)合OFDM系統(tǒng)狀態(tài)空間線性非線性混合的特點，提出了一種新的基于混合高斯粒子濾波的OFDM頻偏估計算法。

1OFDM頻偏估計的非線性濾波模型

在OFDM系統(tǒng)中，假設(shè)其子載波數(shù)為N，經(jīng)過符號映射后的發(fā)送數(shù)據(jù)為X(k)，0≤k≤N-1，經(jīng)過離散逆傅里葉變換后得到的時域發(fā)射信號為：

(1)

添加長度不小于最大多徑時延的循環(huán)前綴，接收端去掉循環(huán)前綴后的接收信號y(n)可表示如下：

(2)

(3)

式(3)中,a表示中間狀態(tài)變量，z表示觀測量，g表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，f表示觀測方程，v、w分別表示過程噪聲和觀測噪聲。

通常情況下，頻偏的變化速率并不快，因此可假設(shè)在單個數(shù)據(jù)幀中頻偏為一常量。這種假設(shè)在包傳輸系統(tǒng)中是成立的，例如在無線局域網(wǎng)絡(luò)(Wireless Local Area Network, WLAN)系統(tǒng)中，數(shù)據(jù)包設(shè)計的較短，這足以假設(shè)在一個數(shù)據(jù)包持續(xù)時間內(nèi)載波頻偏為一常量[3]。假設(shè)X(k)為接收端已知的訓(xùn)練符號，對應(yīng)的時域信號x(n)為其傅里葉逆變換后的發(fā)射信號。為了分析推導(dǎo)方便，假設(shè)信道為高斯信道。至此，根據(jù)式(4)可以建立OFDM系統(tǒng)頻偏估計的動態(tài)狀態(tài)空間模型(Dynamic State-Space Model，DSSM)：

(4)

在通信終端高速運動環(huán)境下，例如航空移動通信。飛行器變速運動時，此時的頻偏為時變頻偏，此時頻偏估計DSSM模型需要更為精確的描述。可以采用一階自回歸(AR1)模型來模擬載波頻偏的變化[9]，時變頻偏下的狀態(tài)方程和觀測方程表示如下：

(5)

通過分析式(5)可以得到頻偏估計的動態(tài)狀態(tài)空間模型的觀測方程為指數(shù)函數(shù)形式的強(qiáng)非線性系統(tǒng)，如果采用擴(kuò)展卡爾曼濾波類方法，其本身存在的截斷效應(yīng)會導(dǎo)致較大的估計誤差，且存在濾波發(fā)散、穩(wěn)定性差、對初值敏感等缺陷，從而不能達(dá)到準(zhǔn)確估計載波頻偏的目的。基于此，本文采用粒子濾波的改進(jìn)算法，即高斯粒子濾波來估計頻偏，針對頻偏估計的狀態(tài)空間線性、非線性混合模型的特點，將線性卡爾曼濾波引入高斯粒子濾波，達(dá)到進(jìn)一步降低濾波復(fù)雜度，提高系統(tǒng)實時性的目的。

2粒子濾波算法

粒子濾波算法屬于貝葉斯框架下的蒙特卡羅方法。其基本思想是：首先根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)變量的經(jīng)驗條件分布，通過在狀態(tài)空間產(chǎn)生一組隨機(jī)樣本點(即粒子)及其每個粒子對應(yīng)的權(quán)值，并以均值代替積分運算，根據(jù)得到的觀測數(shù)據(jù)不停的調(diào)整粒子的權(quán)重和位置用來修正最初的條件分布。

考慮如式(4)的OFDM頻偏估計的非線性狀態(tài)空間模型。

假設(shè)n時刻的頻偏狀態(tài)變量的集合為ε0:n={ε0,ε1,…,εn}，觀測向量的數(shù)據(jù)集合為y0:n={y0,y1,…,yn}。根據(jù)貝葉斯估計的原理，狀態(tài)量n時刻的后驗概率密度可表示為如下：

(6)

(7)

式(7)中，δ(·)表示狄拉克函數(shù)。

(8)

(9)

以上為序貫蒙特卡羅粒子濾波算法的基本原理，在實際應(yīng)用中隨著迭代的進(jìn)行，除去一個粒子外，所有粒子都只具有微小的權(quán)重，重要性權(quán)值方差會隨著時間的增加而變大，這樣將會導(dǎo)致退化現(xiàn)象的發(fā)生。選擇重要性函數(shù)和重采樣方法是克服退化效應(yīng)最有效的手段[10]。但是在實際應(yīng)用中，一方面，大量粒子在處理非線性、非高斯問題時會存在計算復(fù)雜度高和大權(quán)值粒子反復(fù)被選擇引起的粒子貧化效應(yīng)問題。另一方面優(yōu)化的重要性密度函數(shù)的獲取與從目標(biāo)函數(shù)分布中抽取樣本的困難程度完全等同。為了解決這一問題，可以選擇高斯分布函數(shù)來構(gòu)造重要性密度函數(shù)，即采用高斯分布來產(chǎn)生下一個預(yù)測粒子。通過高斯密度函數(shù)來近似濾波概率分布，將最新的觀測數(shù)據(jù)融入到了系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程中，這樣產(chǎn)生的預(yù)測樣本非常接近于狀態(tài)真實后驗概率的樣本。高斯粒子濾波器適用于非線性、非高斯系統(tǒng)環(huán)境，具有較高的濾波精度，算法簡單穩(wěn)定性強(qiáng)，避免了重采樣步驟且不存在粒子退化現(xiàn)象，實時性好，易于超大規(guī)模集成電路實現(xiàn)[11]。

3快速采樣混合高斯粒子濾波的頻偏估計器

高斯粒子濾波的核心思想是假定被估計的狀態(tài)變量后驗概率密度函數(shù)近似服從高斯分布，然后利用粒子濾波算法求解高斯分布的相關(guān)參數(shù)以得到狀態(tài)的估計值。高斯粒子濾波的目的是通過一群粒子及其相應(yīng)的權(quán)值來得到系統(tǒng)的濾波密度函數(shù)p(ε|y1:n)。一般情況下服從高斯分布的隨機(jī)變量ε的概率密度函數(shù)可表示如下：

μ)Σ-1(ε-μ)/2])

(10)

式(10)中，μ表示m維向量ε的均值，Σ為ε的協(xié)方差陣。

高斯粒子濾波可以表述如下：

GPF測量更新過程：當(dāng)獲得k時刻的觀測值yk后，濾波密度函數(shù)可以表示如下：

式(11)中，Ck=(∫p(εk|y0:k-1)p(yk|εk)dεk)-1為歸一化因子。濾波概率密度可以近似為如下形式的高斯分布：

p(εk|y0:k)≈N(εk;μk,Σk)

(12)

GPF的時間更新過程：通過在k時刻從概率密度p(εk+1|εk)中采樣，則可得

(13)

把p(εk+1|y0:k)近似為如下所示的高斯分布：

(14)

高斯分布參數(shù)的獲取是通過對樣本及其權(quán)值計算得到的。本文所解決的問題中，OFDM的頻偏估計的狀態(tài)空間模型狀態(tài)方程為線性，觀測方程為非線性的混合模型。針對這種具體應(yīng)用環(huán)境，可以采用混合粒子濾波算法進(jìn)行求解。混合粒子濾波算法的核心思想是：對狀態(tài)方程的線性部分采用KF的線性遞推方式取代高斯粒子濾波中的更新方式，對非線性部分保留高斯粒子濾波遞推方式。

基于混合高斯粒子濾波的OFDM頻偏估計算法步驟如下：

1)初始化

通過選取合適的參數(shù)，使粒子服從參數(shù)為N(ε0,μ0,Σ0)的正態(tài)分布。

2)時間更新

(15)

3)量測更新

(16)

(17)

4)計算濾波結(jié)果和相關(guān)參數(shù)

根據(jù)之前的采樣粒子及其對應(yīng)的權(quán)值計算濾波結(jié)果和高斯分布參數(shù)，從而使得量測更新后的粒子服從N(εk,μk,Σk)正態(tài)分布，狀態(tài)頻偏的濾波值估計值μk及其對應(yīng)的方差Σk可由下式計算：

(18)

(19)

返回步驟2)，循環(huán)以上步驟。

以上為基于混合高斯粒子濾波算法的OFDM頻偏估計的算法步驟。通過對步驟2)時間更新過程的分析可以發(fā)現(xiàn)，改進(jìn)后的GPF算法只需更新高斯分布參數(shù)和方差，不需要對每個粒子逐個更新，因此改進(jìn)后的GPF算法計算量較低，并且對于線性系統(tǒng)而言，KF狀態(tài)更新過程為最優(yōu)估計，所以其在降低復(fù)雜度的同時保證了精度不會下降。

(20)

4仿真分析

為了驗證改進(jìn)的混合高斯粒子濾波的算法的性能，分別在如式(4)和式(5)所示的模型下進(jìn)行了仿真分析，并對比分析了UKF、GPF和本文所提頻偏估計算法的性能。OFDM系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置為：子載波數(shù)N=64，訓(xùn)練序列采用PN序列，長度為64，歸一化載波頻偏為ε=0.25，AR1模型初始頻偏ε0=0.25，采用16QAM高階調(diào)制，加性高斯白噪聲信道，頻偏初值不失一般性設(shè)置為0.01。

圖1為信噪比SNR=15 dB，GPF算法和本文算法中粒子數(shù)均取M=200，16QAM調(diào)制下，固定頻偏模型和和時變頻偏一階AR模型下的頻偏估計曲線。通過觀察收斂曲線(a)的變化趨勢可以發(fā)現(xiàn)，GPF和本文頻偏估計算法較UKF頻偏估計算法收斂速度更快，精度更高。GPF和本文算法大約在第10步左右即可收斂到真實頻偏，而UKF算法需要25步左右才可收斂到頻偏真實值附近。而通過圖1(b)可以進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)GPF和本文算法在對時變頻偏的跟蹤方面性能更優(yōu)，估計精度更高。

圖1　三種頻偏估計算法收斂曲線比較Fig.1　Comparison of three carrier frequency offsetestimation algorithms convergence curve

圖2為信噪比SNR=15 dB，16QAM調(diào)制下頻偏糾正前后的星座圖。對比收發(fā)前后的信號星座圖可以發(fā)現(xiàn)，由于頻偏的存在使得星座圖發(fā)生了嚴(yán)重的相位旋轉(zhuǎn)和畸變，導(dǎo)致解調(diào)出錯，通信性能惡化。經(jīng)過頻偏估計和補(bǔ)償后相位旋轉(zhuǎn)得到了糾正，星座圖緊湊清晰。

定義頻偏估計的均方誤差(Minimum, Square, Error, MSE)為：

(21)

式(21)中，P為蒙特卡羅仿真的次數(shù)，N為子載波個數(shù)，μk為頻偏估計估值，εk為頻偏真實值。

圖2　信號糾偏前后的星座圖Fig.2　Signal constellation with frequency offsetand frequency offset compensation results

圖3為16QAM調(diào)制，粒子數(shù)M=200，P取1 000時，三種算法的頻偏估計MSE隨信噪比(Signal Noise Ratio, SNR)性能曲線。表1為同一參數(shù)下，兩種算法在單次運行中的時間比較，以此來驗證本文算法的計算復(fù)雜度較低的優(yōu)點。從圖3可以看出基于確定性采樣的UKF頻偏估計算法的估計精度較基于隨機(jī)采樣的GPF和本文提出的快速采樣混合算法要低。本文提出的基于混合高斯粒子濾波的算法的頻偏估計精度和文獻(xiàn)[6]中基于GPF濾波的頻偏估計算法性能十分接近。而通過表1可以得到，本文算法較GPF濾波算法運行時間明顯減少，計算復(fù)雜度有所降低，這與前面理論分析一致。

圖3　頻偏估計的MSE曲線Fig.3　The MSE property of four kinds of algorithms

算法運行時間/sGPF頻偏估計0.1063本文算法0.0781

5結(jié)論

本文提出了基于混合高斯粒子濾波的OFDM頻偏估計算法。該算法根據(jù)OFDM系統(tǒng)頻偏估計線性、非線性混和模型的特點，其中狀態(tài)更新過程采用KF濾波更新方式，直接更新高斯分布參數(shù)而非逐個粒子進(jìn)行更新，有效地降低了濾波復(fù)雜度。在量測更新階段通過線性變換法生成需要服從特定參數(shù)的高斯分布粒子群，相比于傳統(tǒng)采樣算法，計算復(fù)雜度降低。仿真實驗和分析表明，該算法在保證濾波精度、快速收斂的同時有效地減少了算法運行時間，提高了系統(tǒng)的實時性。

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摘要:針對現(xiàn)有正交頻分復(fù)用(OFDM)系統(tǒng)高斯粒子濾波頻偏估計算法復(fù)雜度高、實時性較差的不足，結(jié)合OFDM系統(tǒng)狀態(tài)空間線性非線性混合的特點，提出了一種新的基于混合高斯粒子濾波的OFDM頻偏估計算法。該算法采用狀態(tài)空間模型對其進(jìn)行了建模分析，通過將卡爾曼濾波與高斯粒子濾波相結(jié)合，在時間更新階段直接更新高斯分布參數(shù)代替逐個粒子更新，在量測更新階段采用線性變換法生成采樣粒子群代替?zhèn)鹘y(tǒng)高斯采樣過程，降低了濾波復(fù)雜度，避免了粒子退化和貧化問題。仿真實驗和分析表明，該算法在保證濾波精度、快速收斂的同時有效地減少了算法運行時間，提高了系統(tǒng)實時性。

關(guān)鍵詞:正交頻分復(fù)用；多普勒效應(yīng)；頻偏估計；高斯粒子濾波；快速采樣

Carrier Frequency Offset Algorithm in OFDM Systems Based on Hybrid Gaussian Particle FilteringYANG Xiaopeng, HUANG Yang, YANG Chaoyang，YAO Kun, JIAO Ling

(School of Information and Navigation, Air Force Engineering University, Xi’an 710077, China)

Abstract:To solve the problems of high complexity, poor real-time of the Gauss particle filter carrier frequency offset estimation algorithm, for the property of OFDM system state-space model linearity and nonlinearity, a new fast sampling hybrid Gaussian particle filtering algorithm was proposed. Kalman filtering was combined with Gaussian particle filtering. During the time updating process, the parameters of Gaussian distribution was updated by instead of the each particle updating. During the measurement updating process, the linear transformation method was adopted to produce particles instead of traditional Gaussian sampling particle method. The complexity was decreased effectively and the particle impoverishment and dilution effect were avoided. The simulation results demonstrate the proposed algorithm while ensuring the accuracy and convergence speed, and could reduce the complexity and improve the real-time property.

Key words:orthogonal frequency-division multiplexing; Doppler effect; frequency offset estimation; Gaussian particle filtering; fast sampling

中圖分類號:TN911.7

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號：1008-1194(2015)06-0071-06

作者簡介:楊霄鵬(1973—)，男，甘肅天水人，博士，副教授，研究方向：寬帶無線通信，信號處理。E-mail:hyznhhy@qq.com。

基金項目:國家自然科學(xué)基金資助項目(61202490)；航空科學(xué)基金(2013ZC15008)

*收稿日期:2015-07-12