基于區間平滑的粒子概率假設密度濾波算法

童　騫，李鴻艷，毛少鋒，焦　玲，黃明軍

(空軍工程大學信息與導航學院，陜西 西安　710077)

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基于區間平滑的粒子概率假設密度濾波算法

童騫，李鴻艷，毛少鋒，焦玲，黃明軍

(空軍工程大學信息與導航學院，陜西 西安710077)

0引言

2003年，Mahler提出了概率假設密度(Probability Hypothesis Density， PHD)濾波器，該濾波器是一種基于隨機有限集(RFS)理論的次最優多目標貝葉斯濾波器[1-2]，它在貝葉斯框架下通過遞推形式傳遞目標的概率假設密度，以實現對目標狀態和目標數目的估計，其顯著特點是繞過數據關聯，有效降低計算量。

當前，PHD濾波的實現主要基于兩種方法：一是將概率假設密度的預測和遞推都表示為若干高斯分量的和，通過求解高斯分量的權值、均值和協方差陣來估計多個目標的狀態和目標數目，即GM-PHDF[3]；二是將一組加權的隨機樣本逼近概率假設密度分布，利用樣本均值運算代替多重積分運算，即P-PHDF[4-6]。前者建立在目標狀態的轉移密度和似然函數均服從高斯分布的假設條件下，只適用于高斯模型；后者不受系統模型約束，適用于非線性、非高斯情況，運用前景更加可觀。然而在P-PHDF算法中，由于使用經典的粒子濾波器實現，僅把系統狀態轉移概率密度作為重要性密度函數，忽略了觀測值的修正作用，使得重要性密度函數嚴重依賴模型，從而引起從重要性密度函數中采樣的樣本與真實的后驗概率假設密度(PHD)分布產生的樣本存在較大的偏差，導致該算法存在估計精度不高、粒子退化、濾波發散等問題。

針對以上問題，在深入分析P-PHDF的基礎上，引入區間平滑算法(Rauch Tung Striebel smoother)[7-10]，提出基于區間平滑的粒子概率假設密度濾波(RTSP-PHDF)算法。

1粒子PHD濾波

1.1運動模型建立

設目標運動模型如下所示：

(1)

式(1)中：xk∈Rm和zk∈Rm分別為狀態向量和量測向量，f(·)和h(·)分別表示狀態轉移方程和量測方程，wk-1、vk分別為系統過程噪聲和量測噪聲，服從均值為零，方差分別為Qk-1，Rk的高斯分布。

1.2PHD濾波描述

PHD濾波其本質是基于隨機集(RSF)理論在Bayes框架下的一種擴展應用，其主要的區別在于PHD濾波是在遞推運算概率假設密度，而Bayes濾波在遞推運算后驗概率密度。因此類比于Bayes濾波的預測方程以及更新方程：

PHD濾波預測方程：

Dk|k-1(xk|Zk-1)=γk(xk)+

∫[βk|k-1(xk|xk-1)+ek|k-1(xk-1)fk|k-1(xk|xk-1)]×

Dk-1|k-1(xk-1|Zk-1)dxk-1

(2)

PHD濾波更新方程：

(3)

式(2)、式(3)中：D(·)表示多目標概率假設密度，其在狀態域上的積分為目標的個數，γk(xk)是新生目標強度，βk|k-1(xk|xk-1)源自xk-1的衍生目標強度，fk|k-1(xk|xk-1)是單目標狀態轉移密度函數，ek|k-1(xk-1)是目標存活概率，gk|k(zk|xk)為目標似然函數，PD(xk)為目標檢測概率，Λk(z)=κk(z)+Ck(z)為量測z的強度，κk(z)是雜波強度，Ck(z)=∫pD(xk)gk|k(zk|xk)Dk|k-1(xk|Zk-1)dx表示似然函數的強度。

1.3P-PHDF濾波實現

初始化：PHD濾波預測方程(2)經采樣以后生成的粒子為：

(4)

權值更新：對于量測集中的每個量測z∈Zk，

(5)

重采樣：

對所有粒子權重求和得到目標個數：

(6)

將粒子集進行歸一化：

(7)

對歸一化粒子集進行重采樣得到新的粒子集：

(8)

2RTSP-PHDF算法

2.1RTSP-PHDF算法基本思想

本算法針對P-PHDF重要性密度函數中沒有包含量測提供的信息的問題，提出利用RTS引入k-T~T的所有量測值，對k-T時刻的粒子均值mk-T以及方差Pk-T進行修正，由此生成更加逼近系統真實PHD函數的重要性密度函數，以此來提高采樣的質量，改善濾波算法的性能。

2.2RTSP-PHDF算法實現流程

RTSP-PHDF算法實現流程包括以下幾個部分：狀態向量擴維、初始化、單個粒子進行RTS、優化粒子權值更新以及重采樣。

2.2.1狀態向量擴維

擴維后的狀態向量為：

(9)

(10)

(11)

狀態方程和量測方程變化為如下：

(12)

(13)

因此，可將平滑后的目標模型用下式表示：

(14)

(15)

通過以上擴維將濾波和平滑結合在一起。

2.2.2初始化

2.2.3單個粒子進行RTS

考慮到處理的往往是非線性濾波的問題，本文采用擴展卡爾曼(Extended Kalman Filter，EKF)對每一個粒子進行濾波。

狀態預測和預測協方差為：

(16)

(17)

通過式(14)、式( 16)和式(17)，可得：

(18)

(19)

(20)

其中：i=1,2,…,T。

卡爾曼增益為：

(i=0,1,2,…,T)

(21)

殘差和殘差協方差為：

(22)

(23)

輸出狀態和協方差為：

(24)

(25)

(i=1,2,…,T) (26)

2.2.4優化粒子權值更新

利用2.2.3中的得到的經優化的粒子：

(27)

通過式(5)更新權值。

2.2.5重采樣

綜上所述整個算法流程如下：

步驟二：初始化，選取重要性函數并進行抽樣。

步驟三：單個粒子進行RTS，獲得每個粒子優化估計后的狀態向量及其協方差。

步驟四：利用步驟三得到的優化粒子進行權值更新。

步驟五：重采樣后回到步驟三進行下一時刻的粒子濾波運算，如此循環直到計算結束。

3仿真實驗與對比分析

為了驗證算法的有效性，利用Matlab對P-PHDF算法以及RTSP-PHDF算法進行仿真比較實驗。實驗在二維直角坐標系下觀測區域為：[0,8 000]m×[-4 000,4 000]m，采樣周期t=1s，仿真時間為50 s，觀測雷達位于平面點[0,0]，平滑步長T=2，目標存活概率為1，檢驗概率為0.95，過程噪聲w(k)為高斯白噪聲，方差為5(m/s2)2，v(k)為量測噪聲，方位角誤差方差為0.05rad2，每個目標分配的粒子個數為1 000。

表1　目標初始位置和狀態

目標跟蹤模型如下：

X(k)=FX(k-1)+w(k)

(28)

式(28)為系統狀態方程，X(k)為目標狀態，F為狀態轉移矩陣，w(k)為過程噪聲。

(29)

式(29)為量測方程， 其中v(k)為量測噪聲，xst、yst為觀測點的橫縱坐標。

(30)

仿真結果如圖1-圖5所示。

圖1為目標實際運動軌跡和仿真環境。圖2為目標實際運動軌跡和P-PHDF估計值，可以明顯看到P-PHDF 算法估計值偏離實際運動軌跡較大。圖3為目標實際運動軌跡和RTSP-PHDF估計值，與圖2相比較，可以明顯看出RTSP-PHDF估計值更貼近于實際運動軌跡。圖4為P-PHDF和RTSP-PHDF目標數目估計，在此方面兩種算法都能準確估計目標數目。圖5為P-PHDF和RTSP-PHDF多目標OSPA誤差，從中可以看出P-PHDF多目標OSPA 誤差距離均在50 m之上，甚至達到200 m，同時非常不穩定，波動性比較大；而RTSP-PHDF算法多目標OSPA 誤差距離均在50 m以下，同時相比較而言比較平穩。表2為具體數值的比較，可以更清晰地看出RTSP-PHDF算法的平均OSPA誤差相比較于P-PHDF算法，有很大減小，雖然在運行時間上有所增加，也在可承受范圍內。綜上所述，從各方面仿真結果比較看出，本文提出的RTSP-PHDF算法在雜波環境中，就估計精度以及跟蹤系統穩定性兩個方面而言，具有巨大的優勢。

圖1　目標實際運動軌跡和觀測值Fig.1　True movement trajectoryand measurement value of target

圖2　目標實際運動軌跡和P-PHDF估計值Fig.2　True movement trajectory andP-PHDF estimating value of target

圖3　目標實際運動軌跡和RTSP-PHDF估計值Fig.3　True movement trajectory andRTSP-PHDF estimating value of target

圖4　P-PHDF和RTSP-PHDF目標數目估計Fig.4　Target number estimationof P-PHDF and RTSP-PHDF

圖5　P-PHDF和RTSP-PHDF多目標OSPA誤差Fig.5　Multi-target OSPA errorof P-PHDF and RTSP-PHDF

表2性能比照表

Tab.2　Performance comparation

4結論

本文提出了基于區間平滑的粒子概率假設密度濾波算法,在P-PHDF算法的基礎上，結合RTS算法，將量測引入以優化重要性密度函數，構建優化重要性密度函數，使采樣粒子分布更接近系統真實PHD分布，從而有效解決了P-PHDF算法僅僅在轉移概率密度函數中采樣引起的濾波精度低、濾波發散等一些問題。仿真實驗表明了RTSP-PHDF算法保持了良好的濾波性能，是一種估計精度高的跟蹤方法，具有較高的實用價值和廣泛的應用前景。

需要指出的一點是，本文結合的RTS算法，在帶來估計精度、穩定性的同時，也增加了計算強度，尤其在平滑步數增加的時候，計算強度增加更大，因此如何將RTS算法本身進行改進，在計算強度以及濾波精度之間尋找最佳的平衡點，是以后值得研究的問題。

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本 刊 聲 明

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本刊編輯部

摘要:針對雜波情況下，粒子概率假設密度濾波(P-PHDF)算法存在估計精度低、濾波發散以及粒子退化等問題，提出基于區間平滑的粒子概率假設密度濾波(RTSP-PHDF)算法。該算法利用區間平滑算法(RTS)引入觀測值優化重要性密度函數，使粒子分布更逼近多目標概率假設密度的分布，進而得到優化的采樣結果，改善濾波性能。仿真結果表明，與P-PHDF算法相比，該算法在有效提高估計精度同時，進一步提高了跟蹤系統穩定性。

關鍵詞:隨機有限集；區間平滑；粒子概率假設密度濾波

Particle Probability Hypothesis Density Filtering Algorithm Based on Interval SmoothingTONG Qian, LI Hongyan, MAO Shaofeng，JIAO Ling，HUANG MingJun

(Information and Navigation College, Air Force Engineering University, Xi’an 710077, China)

Abstract:In the presence of clutters, particle-probability hypothesis density filtering (P-PHDF) algorithm may cause low estimation precision, filter divergence and particle degeneracy, to solve these problems, a Rauch Tung Striebel smoother particle-probability hypothesis density filtering (RTSP-PHDF) algorithm was proposed. This algorithm exploited Rauch Tung Striebel smoother and introduced observation optimization importance density function, making particle distribution closer to multiple targets probability hypothesis density distribution and thus deducing optimized samples with improved filtering performance. The simulation revealed that, in comparison with P-PHDF algorithm, the proposed algorithm had increased estimation precision with further improved stability of tracking system.

Key words:random finite set; interval smoothing; particle-probability hypothesis density filtering

中圖分類號:TN953

文獻標志碼:A

文章編號:1008-1194(2015)06-0087-05

作者簡介:童騫(1991—)，男，湖南婁底人，碩士研究生，研究方向：目標跟蹤。E-mail：tongqian866@sohu.com。

基金項目:CEMEE國家重點實驗室開放基金項目資助(2014K0304B)；陜西省自然科學基金項目資助(2015JM6332)

*收稿日期:2015-06-03