非線性濕氣遷移方程的非協(xié)調(diào)元的超收斂分析

樊明智, 王芬玲

(許昌學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 許昌 461000)

樊明智, 王芬玲

(許昌學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 許昌 461000)

摘要：在半離散格式下研究了非線性濕氣遷移方程的非協(xié)調(diào)有限元逼近問題.利用該有限元的相容誤差在能量模意義下可以達(dá)到O(h2)比其插值誤差高一階的特殊性質(zhì), 再結(jié)合高精度分析和平均值技巧導(dǎo)出了O(h2)階的超逼近性，進(jìn)而運(yùn)用插值后處理技術(shù)得到了超收斂結(jié)果.

關(guān)鍵詞：非線性濕氣遷移方程；非協(xié)調(diào)元；超逼近；超收斂

0引言

考慮如下的非線性濕氣遷移方程[1]

(1)

(i) 存在正常數(shù)a0、a1、b0、b1、f0、f1、e1使得X∈Ω、t∈(0,T]滿足

(ii)g(u,X)關(guān)于u滿足Lipschitz條件.

設(shè)Th為Ω上的一族均勻矩形剖分, 定義單元K的中心為(xk,yk), 其邊長(zhǎng)分別為2hx,2hy,h為K的最大直徑,單元K的頂點(diǎn)為

a1(xK-hx,yk-hy)、a2(xK+hx,yk-hy)、a3(xK+hx,yk+hy)、a4(xK-hx,yk+hy),

∑={vi,i=1,2,3,4,5}, P=span{1,x,y,x2,y2},

Vh={vh∶vh|K∈P,∫F|vh|ds=0,F??K,?K∈Th},

其中[vh]表示vh跨過單元邊界F的跳躍度, 當(dāng)F??Ω時(shí),[vh]=vh.

設(shè)Ih:u∈H1(Ω)→Ihu∈Vh為由Vh所誘導(dǎo)的插值算子, 滿足

Ih|K=IK,∫li(IKu-u)ds=0(i=1、2、3、4),∫K(IKu-u)dxdy=0.

在[5]和[6]中證明了下面的重要結(jié)論.

引理1對(duì)任意vh∈Vh,φ(X,t)是關(guān)于X光滑函數(shù), 有

(▽h(u-Ihu),▽hvh)h=0,

(2)

(3)

考慮問題(1)的相應(yīng)變分問題為：

(4)

式(4)的離散問題為：求uh∈Vh, 使得對(duì)任意vh∈Vh滿足

(5)

2超逼近和超收斂分析

定理1設(shè)u,uh分別為(4)和(5)的解,u、ut∈H3(Ω)，則有超逼近結(jié)果

證明記uh-u =(uh-Ihu)-(u-Ihu)=θ-η,?vh∈Vh, 由(4)和(5)得

a(t)(▽hθt,▽hvh)h+b(t)(θt,vh)h+(f(X,t)▽hθ,▽hvh)h

=a(t)(▽hηt,▽hvh)h+b(t)(ηt,vh)h+(f(X,t)▽hη,▽hvh)h+

(6)

在(6)中取vh=θt得

=a(t)(▽hηt,▽hθt)h+b(t)(ηt,θt)h+(f(X,t)▽hηt,▽hθt)h+

(7)

下面逐項(xiàng)對(duì)A1～A8進(jìn)行估計(jì).

根據(jù)引理1中的(2)得A1=0,由Cauchy-Schwartz不等式和插值理論得

首先，進(jìn)行殘差檢驗(yàn)，對(duì)修正后模型實(shí)施哈維檢驗(yàn)，收尾概率=0.196 1，大于顯著性水平5%，所以接受原假設(shè)，殘差不存在異方差性，參數(shù)估計(jì)是有效的；其次，進(jìn)行參數(shù)檢驗(yàn)，在1%的顯著性水平上，a0、a1和a2的P值均小于0.01，說明公式(3)中待估參數(shù)都是顯著的；再次，進(jìn)行模型整體檢驗(yàn)，在1%的顯著性水平上，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)的P值也小于0.01，說明方程的整體線性是顯著的，樣本可決系數(shù)R2=0.992，接近1，說明方程的擬合程度較好。

(8)

利用(8)和引理1中的(2)得

基于[21、22]中已給出的結(jié)論(β·▽?duì)?vh)≤Ch2‖u‖3‖vh‖0,β是常數(shù).再結(jié)合引言中假設(shè)(i)和式(8)得

|A4| =|(e1(X,t)ηx,θt)+(e2(X,t)ηy,θt)|

另一方面, 由[23]得

‖vh‖0≤C‖vh‖h.

再借助于引言中假設(shè)條件(ii)得

由假設(shè)(i)得

(9)

將A1～A8的估計(jì)和式(9)代入到式(7)得

(10)

對(duì)式(10)的兩端從0到t積分, 并注意到θ(X,0)=0,得

因此, 由Gronwall引理得

(11)

從而定理1得證.

(12)

(13)

(14)

(15)

定理2在定理1的條件下有

證明根據(jù)定理1和(13)～(15)得

≤C‖uh-Ihu‖h+Ch2‖u‖3

定理2得證.

參考文獻(xiàn)：

[1]施明德.非線性濕氣遷移方程的初邊值問題[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1990,13(1):31-38.

[2]陳寧,李崇新.具Sobolev-Galpern型濕氣遷移方程解的漸近性和Blow-up[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2002,17(3):305-310.

[3]涂慧, 劉超，江成順.一類二維濕氣遷移模型的理論分析及數(shù)值模擬[J].信息工程大學(xué)學(xué)報(bào),2005,6(1):19-22.

[4]裴麗芳,亢金軒,許超.非線性濕氣遷移方程Carey非協(xié)調(diào)元逼近[J].河南科技大學(xué)學(xué)報(bào),2011,32(6):81-84.

[5]LinQ,TobiskaL,ZhouAH.SuperconvergenceandextrapolationofnonconformimgloworderfiniteelementsappliedtothePoissonequation[J].IMAJournalNumericalAnalysis,2005,25(1):160-181.

[6]ShiDY,MaoSP,ChenSC.Ananisotropicnonconformingfiniteelementwithsomesuperconvergenceresults[J].JournalComputationalMathematics,2005,23(3):261-274.

[7]ShiDY,WangHH,DuYP.AnanisotropicnonconformingfiniteelementmethodforapproximatingaclassofnonlinearSobolevequations[J].JournalComputationalMathematics,2009,27(2-3):299-314.

[8]ShiDY,WangHH,GuoC.AnisotropicrectangularnonconformingfiniteelementanalysisforSobolevequations[J].AppliedMathematicsMechanics,2008,29(9):1203-1214.

[9]石東洋,謝萍麗.Sobolev方程的一類各向異性非協(xié)調(diào)有限元逼近[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2006,29(1):116-128.

[10]ShiDY,RenJC.NonconformingmixedfiniteelementapproximationtothestationaryNavier-Stokesequationonanisotropicmeshes[J].NonlinearAnalysis,Theory,MethodsandApplications,2009,71(9):3842-3852.

[11]石東洋,毛士鵬.三維Stokes問題各向異性混合元分析[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2006,29(3):502-517.

[12]ShiDY,WangL.Ananisotropicnonconformingfiniteelementschemewithmovinggridsforparabolicintegro-differentialequations[J].JournalSystemsScienceandComplexity,2011,24:1020-1032.

[13]石東洋,郭誠(chéng),王海紅.帶弱奇異核的拋物積分微分方程的非協(xié)調(diào)有限元方法[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2010,30A(3):764-775.

[14]ShiDY,WangXL.Aloworderanisotropicnonconformingcharacteristicfiniteelementmethodforaconvection-dominatedtransportproblem[J].AppliedMathematicsComputation,2009,213(2):411-418.

[15]石東洋,張斐然.Sine-Gordon方程的一類非協(xié)調(diào)有限元分析[J].計(jì)算數(shù)學(xué),2011,33(3):289-297.

[16]ShiDY,MaoSP,ChenSC.Alocking-freeanisotropicnonconformingfiniteelementforplanarlinearelasticityproblem[J].ActaMathematicaScientia,2007,27B(1):193-202.

[17]石東洋,王慧敏.非線性雙曲型積分微分方程的各向異性非協(xié)調(diào)有限元逼近[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2010,27(2):277-282.

[18]石東洋,郝穎.廣義神經(jīng)傳播方程的一個(gè)各向異性非協(xié)調(diào)有限元逼近[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2009,24(2):279-286.

[19]石東洋,關(guān)宏波.拋物型變分不等式的一類全離散非協(xié)調(diào)有限元方法[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2008,31(1):90-96.

[20]許超,周家全,張永勝.Sobolev-Galpern型濕氣遷移方程各向異性非協(xié)調(diào)有限元分析[J].西北師范大學(xué)學(xué)報(bào),2011,47(1):34-37.

[21]LinQ,WangHong,ZhangShuHua.Uniformoptimal-orderestimatesforfiniteelementmethodsforadvection-diffusionequations[J].JournalSystemsScienceandComplexity,2009,22(4):555-559.

[23]石東洋,張熠然.非定常Stokes問題的矩形Crouzeix-Raviart型各向異性非協(xié)調(diào)元變網(wǎng)格方法[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2006,26A(5):659-670.

NonlinearMoistureTransferEquation

FANMing-zhi,WANGFen-ling

(School of Mathematics and Statistics, Xuchang University, Xuchang 461000, China)

Abstract:An nonconforming finite element approximation for nonlinear moisture transfer equation is studied under the semi-discrete scheme. By using the specific feature that the consistence error of this element can reach o(h2) under energy fuzziness, which is one rank higher than its interpolation error, and by using high accuracy analysis and mean-value technique, the super approximation of o(h2) is derived, then the superconvergence result is obtained through interpolated post processing technique.

責(zé)任編輯：周倫

中圖分類號(hào)：O242.21

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1671-9824(2015)02-0001-05

作者簡(jiǎn)介：樊明智(1969—),男,河南鄢陵人,教授,碩士,研究方向：有限元方法及其應(yīng)用.

基金項(xiàng)目：河南省教育廳自然科學(xué)基金項(xiàng)目(14A110009)；許昌市科技發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目(1404010)

收稿日期：2014-09-11