Schur矩陣函數的廣義Pick塊矩陣的秩不變性

馬翠云， 陳公寧

(1.許昌學院 數學科學學院，河南 許昌 461000； 2.北京師范大學 數學科學學院，北京 100875)

Schur矩陣函數的廣義Pick塊矩陣的秩不變性

馬翠云1， 陳公寧2

(1.許昌學院 數學科學學院，河南 許昌 461000； 2.北京師范大學 數學科學學院，北京 100875)

摘要：討論Schur矩陣函數在多重插值點的情形下第一型的廣義Pick塊矩陣的秩不變性，得到與經典Pick塊矩陣的秩不變性的類似結論，從而把Schur矩陣函數經典Pick塊矩陣的秩不變性的基本結果推廣到了多重插值點的情形．

關鍵詞：Schur矩陣函數；秩不變；廣義Pick塊矩陣；Carathéodory矩陣函數

0引言

文獻[1]給出了p×qSchur矩陣函數的經典Pick塊矩陣的秩不變性，即只要給定一個Schur矩陣函數f以及任意長度固定的單重插值點數據，對應的經典Pick塊矩陣的秩不變，這些矩陣的秩與由f的Taylor系數的相關矩陣得到的塊矩陣的秩相等．本文考慮多重插值點的情形，把文獻[1]中秩不變性的部分結果推廣到多重插值點的情形，得到多重Schur矩陣函數第一型的廣義Pick塊矩陣秩不變性的類似結論．主要結論是定理2，在定理的推證過程中涉及到許多精細的計算，限于篇幅，一般只列出最終結果．

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

參考文獻由[3]知,當f∈Sp×q(D)與Ω∈Cq(D)時，上述兩種廣義Pick塊矩陣及其相關矩陣都是Hermite半正定的． 引理2[1]按[1]的引理2.6，設，則有

1引理

為給出本文結論，先給出如下引理：

引理1設n+1個插值點數據為{m,β,l}，則有

(1) 廣義Hermite-Cauchy型塊矩陣

(2)廣義Hermite-Cauchy型塊矩陣

同理可證(2)式中的塊矩陣也是Hermite正定的．

(1)f0∈S(p+q)×(p+q)(D)，并且Ω=Ip+q-2f0∈Cp+q(D)．

2Schur矩陣函數的第一型廣義Pick塊矩陣的秩不變性

定理1設f為D內解析的Cp×q-值函數，n為非負整數．則下列說法是等價的：

(1)f∈Sp×q(D)；

證明這是關于Schur矩陣函數的Nevanlinna-Pick插值可解條件與著名的Schur函數特征定理的矩陣推廣的直接推論(見文獻[3]，定理9.7.3與9.1.5)．

定理2設f∈Sp×q(D)，n為某非負整數．則對長度為n+1的插值點{m,β,l}，

并且，特殊地有

Ω=(Ip+q-f0)(Ip+q+f0)-1=Ip+q-2f0∈Cp+q(D)，

更一般地，當vw≠1時，有恒等式

因此，

(6)

另一方面，存在酉矩陣Un(實為塊行列同步置換)，使得

(7)

其中Fq,m,β,l為引理1(1)中廣義Cauchy型塊矩陣，它是Hermite正定的，因此，

類似地，對當vw≠1時的恒等式

(8)

這里(n+1)p階矩陣Hp,m,β,l見引理1(2)，它是Hermite正定的．因此，

應用引理2與文獻[2]中定理2，

再應用引理2(2)，推得

[1]Fritzsche B,Kirstein B , Lasarow A．On rank invariance of Schwarz-Pick-Potapov block matrices of matricial Schur functions[J]. Integr.equ.oper.theory， 2004，48：305-330

[2]Lasarow A.On rank invariance of generalized Schwarz-Pick-Potapov block matrices of matrix-valued Carathéodory functions[J].Linear Algebra Appl， 2006，413：36-58.

[3]陳公寧，胡永建.NevanlinnaPick 插值與矩量問題 [M].北京：北京師范大學出版社，2003.

[4]賀勤，馬翠云.Cq(D)上擴展型廣義塊Pick矩陣的秩不變性[J].許昌學院學報，2011,30(5):21-24.

On Rank Invariance of Generalized Pick

Block Matrices of Matricial Schur Functions

MA Cui-yun1， CHEN Gong-ning2

(1.SchoolofMathematicalScience,XuchangUniversity,Xuchang461000,China;

2.SchoolofMathematicalSciences,BeijingNormalUniversity,Beijing100875,China)

Abstract:The present paper studies the rank invariance of the first type of generalized pick block matrices of matricial schur functions in the case of multiple interpolation nodes. The findings are similar to that of classical pick block matrices, thus spreading the basic results of the rank invariance of classical pick block matrices of matricial schur functions to the case of multiple interpolation nodes.

Key words:matricial schur functions; rank invariance; generalized pick block matrices; matricial carathéodory functions

責任編輯：周倫

中圖分類號：O241.3

文獻標識碼：A

文章編號：1671-9824(2015)02-0006-04

作者簡介：馬翠云(1962—)，女，河南太康人，副教授，研究方向：矩陣理論與應用．

基金項目：國家自然科學基金項目(10701009)

收稿日期：2014-06-12