高中數學中導數幾何意義的妙用

蘇懷堂 韓靜波

（北京市第二中學亦莊學校）

在高中數學中，導數的幾何意義是從“形”的角度對導數本質的定性解釋，它在解決某些函數問題時能起到重要作用.本文將從以下兩個角度探究導數幾何意義的應用.

一、導數幾何意義的應用

導數f′（x0）從代數上表示函數f（x）在x=x0處的瞬時變化率，其幾何意義是曲線y=f（x）在點（x0，f（x0））處切線的斜率.因此，我們可以利用導數求切線的斜率，也可將導數轉化為切線的斜率.

【例1】（2014 北京大興一模文）給出下列函數：①f（x）=；②f（x）=x2；③f（x）=2x；④f（x）=log2x.則滿足關系式f ′（2）＞f（3）-（f2）＞f′（3）的函數的序號是.

【解析】f′（2），f′（3）可分別看作函數y=f（x）在點（2，f（2）），（3，f（3））處切線的斜率，f（3）-f（2）=可看作連接（2，f（2）），（3，f（3））兩點直線的斜率.

易知，①④函數圖象具有共同特點：圖象在（0，+∞）上都是遞增且向上凸的，如圖1 所示；②③函數圖象具有共同特點：圖象在（0，+∞）上都是遞增且向下凸的，如圖2 所示（其中l1表示函數在點（2，f（2））處的切線，l2表示連接（2，f（2）），（3，f（3））兩點的直線，l3表示函數在點（3，f（3））處的切線）：

圖1

圖2

直線的斜率k 和傾斜角θ 的函數關系為k=tanθ（0≤θ＜π 且θ≠），其在（0上單調遞增.在圖1 中，l1，l2，l3三條直線傾斜角θ1，θ2，θ3均為銳角，且θ1＞θ2＞θ3，所以kl1＞kl2＞kl3，即f ′（2）＞f（3）-f（2）＞f′（3）；在圖2 中，l1，l2，l3三條直線傾斜角θ1，θ2，θ3均為銳角，且θ1＜θ2＜θ3，所以kl1＜kl2＜kl3，即f′（2）＜f（3）-f（2）＜f′（3）.

所以答案為②③.

【評注】由本題可以看出，導數的本質可從數和形兩個角度理解，數的角度理解為瞬時變化率，形的角度理解為切線的斜率。在數學教學中，既要幫助學生從兩個角度準確理解導數的本質，又要引導學生將數和形結合起來，能靈活地進行轉化。

二、導數幾何意義在運動變化問題中的應用

導數f′（x0）的幾何意義是曲線y=f（x）在點（x0，f（x0））處切線的斜率.它可以理解為一個運動變化過程中的一個極限，即當點P（x，f（x））沿著曲線f（x）趨向于點P0（x0，f（x0））時，割線PP0趨近于確定的位置，即y=f（x）在點（x0，f（x0））處切線，而割線的斜率趨近于y=f（x）在點（x0，f（x0））處切線的斜率f ′（x0）.因此導數的幾何意義可以幫助我們解決某些圖形中的運動變化問題.

【例2】（2014 年高考北京卷理數）已知函數f（x）=xcosx-sinx，x∈

（1）求證：f（x）≤0；

【說明】對于本題只解析第（2）問，并且方法更適合解決填空題.

由圖可知，當P（x，sinx）從O 移動到P0時，kPO=逐漸減小，一方面，易知kP0O=，所以kPO=＞kP0O=；另一方面，當P逐漸接近O，即x→0 時，割線PO 逐漸接近于y=sinx 在O（0，0）處的切線，由導數的幾何意義可知，kPO=逐漸增大到y=sinx 在O（0，0）處切線的斜率（sinx）′x=0=cos0=1，所以kPO=＜1.

【評注】由此題可知，在高中數學教學中，不但要引導學生從數和形兩個角度理解導數的概念，還要幫助學生經歷概念的形成過程，即從平均變化率到瞬時變化率的極限過程，也是從割線到切線的極限過程，這都是運動變化的過程。

綜上所述，導數作為高中數學中的一個重要概念，教師要幫助學生從數和形兩個角度理解其本質，并要重視在數和形兩個方面概念的形成過程。