電磁學(xué)與電動(dòng)力學(xué)中的磁單極—Ⅳ

王 青

(清華大學(xué)物理系，北京 100084)

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教學(xué)研究

電磁學(xué)與電動(dòng)力學(xué)中的磁單極—Ⅳ

王 青

(清華大學(xué)物理系，北京 100084)

本文為作者磁單極系列文章的第4篇，該系列文章在電磁學(xué)和電動(dòng)力學(xué)框架內(nèi)用盡量科普的方式分別介紹磁單極的若干奇特性質(zhì).在本篇文章中作者討論用拓?fù)鋮⒘喀让鑼懘烹娊橘|(zhì)，發(fā)現(xiàn)在這種介質(zhì)上出現(xiàn)了電荷與磁單極作為雙荷子共生的現(xiàn)象.如果進(jìn)一步考慮到磁荷與電荷的量子化，則得到此介質(zhì)的拓?fù)鋮⒘喀缺仨毷铅械姆謹(jǐn)?shù)或整數(shù)倍.

磁電介質(zhì)；拓?fù)洌浑p荷子；磁單極

本文是在電磁學(xué)和電動(dòng)力學(xué)中講解磁單極奇妙性質(zhì)的第4篇文章.在前3篇文章[1-3]中分別介紹了磁單極在角動(dòng)量方面的角色和作用，狄拉克磁單極及其與規(guī)范變換的關(guān)系，以及磁單極在作用量中的作用；在本文中介紹磁單極在磁電介質(zhì)中所起的作用.本篇內(nèi)容安排如下： 先在第1節(jié)作為鋪墊介紹真空中對(duì)給定電荷電流源的純電磁場(chǎng)系統(tǒng)的作用量；然后在第2節(jié)利用電磁場(chǎng)的作用量介紹磁電介質(zhì)；在第3節(jié)證明這種介質(zhì)中的自由電荷和自由磁單極會(huì)發(fā)生共生現(xiàn)象，即產(chǎn)生所謂的“雙荷子”，若進(jìn)一步要求磁單極和電荷的量子化，磁電介質(zhì)的參量必須有所限制.

1 真空中的電磁場(chǎng)作用量

如在上一篇文章[3]中所介紹的，絕大部分的物理系統(tǒng)都可以利用最小作用量原理來(lái)描寫，即使在有磁單極存在的情形下，作用量也是存在的，雖然這時(shí)要求作用量與磁單極相關(guān)的部分要向非物理區(qū)域擴(kuò)展.我們先從真空中對(duì)給定電荷電流源的純電磁場(chǎng)系統(tǒng)的作用量開始討論.為明顯反映計(jì)算的洛倫茲協(xié)變性，將在閔科夫斯基空間進(jìn)行討論，其中時(shí)空坐標(biāo)用時(shí)空中的4矢量xμ代表，腳標(biāo)μ的1，2，3分量合起來(lái)代表普通的空間坐標(biāo)r，第4個(gè)分量是ict即復(fù)數(shù)i及光速c與時(shí)間t的乘積；而對(duì)時(shí)空坐標(biāo)的微商用4矢量?μ代表，其中腳標(biāo)μ的1，2，3分量合起來(lái)代表對(duì)普通的空間坐標(biāo)的微商，第4個(gè)分量是；電磁勢(shì)用Aμ表達(dá)，前3個(gè)分量是普通的矢量勢(shì)A，第4個(gè)分量是其中φ是通常的標(biāo)量勢(shì).4度的電流密度用jμ表達(dá)，前3個(gè)分量是普通的電流密度j，第4個(gè)分量是icρ,其中ρ是通常的電荷密度.利用電磁勢(shì)可以進(jìn)一步定義二階場(chǎng)強(qiáng)張量Fμ ν

由于有兩個(gè)分別可取4個(gè)值的角標(biāo)μ和ν，此二階張量共有16個(gè)分量，在式(1)的右邊把這16個(gè)分量排成了一個(gè)4×4矩陣，并利用標(biāo)準(zhǔn)的電場(chǎng)強(qiáng)度與標(biāo)量勢(shì)和矢量勢(shì)的關(guān)系E=-及磁感應(yīng)強(qiáng)度與矢量勢(shì)的關(guān)系B=×A，把矩陣元用電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度表達(dá)出來(lái)了.式(1)定義的場(chǎng)強(qiáng)張量Fμ ν滿足如下方程:

這個(gè)方程非平庸的分量是真空中麥克斯韋方程組中的兩個(gè)無(wú)源方程:

利用電磁勢(shì)Aμ、場(chǎng)強(qiáng)張量Fμ ν和4度的電流密度jμ，可以寫出給定的電荷電流源(用jμ描寫)下的純電磁場(chǎng)系統(tǒng)的作用量S

其中μ0是真空的磁導(dǎo)率.時(shí)間積分dt和空間積分dV遍及整個(gè)時(shí)空.注意上式如果用習(xí)慣使用的電場(chǎng)強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度、電荷密度、電流密度、標(biāo)量勢(shì)和矢量勢(shì)來(lái)表達(dá)則為

將式(4)給出的作用量對(duì)電磁勢(shì)Aμ求極值，得到方程

它的前3個(gè)分量和第4個(gè)分量分別給出真空中麥克斯韋方程中含源的兩個(gè)方程

其中ε0是真空的介電常數(shù)，它與前面引進(jìn)的真空的磁導(dǎo)率μ0及光速c的關(guān)系為

其中εμ ν σ ρ是四階全反對(duì)稱張量，它在其4個(gè)指標(biāo)分別取1，2，3，4及其偶數(shù)次置換時(shí)取值為1，奇數(shù)次置換時(shí)取值為-1，其他(2個(gè)、3個(gè)或4個(gè)指標(biāo)取相同的值)為零.原則上這個(gè)項(xiàng)前還可以乘上一個(gè)任意常數(shù).之所以沒有把式(9)所給的項(xiàng)加進(jìn)作用量式(4)，是因?yàn)槭?9)的右邊第二個(gè)表達(dá)式，它把這一項(xiàng)表達(dá)為一個(gè)對(duì)時(shí)空坐標(biāo)的全微商，利用體積分和面積分的互換關(guān)系，這項(xiàng)只有在時(shí)空的邊界上才有貢獻(xiàn).通常把時(shí)空邊界上的電磁勢(shì)取為零，因此這項(xiàng)對(duì)作用量沒有貢獻(xiàn).注意這種只依賴于邊界的項(xiàng)通常在區(qū)域中有拓?fù)浞瞧椒驳膱?chǎng)時(shí)會(huì)有貢獻(xiàn)，只是在真空中的電磁場(chǎng)在數(shù)學(xué)上可以證明總是拓?fù)淦椒驳模虼诉@項(xiàng)沒貢獻(xiàn).

2 磁電極化介質(zhì)的作用量

在上節(jié)說明了式(9)所引進(jìn)的項(xiàng)在真空中對(duì)作用量沒有貢獻(xiàn).如果考慮具有某種拓?fù)浞瞧椒残再|(zhì)的介質(zhì)，則式(9)所代表的項(xiàng)對(duì)此介質(zhì)可以不為零.由此考慮某種特殊的介質(zhì)，其對(duì)應(yīng)的作用量為

上式中為了得到第二個(gè)等號(hào)，利用了麥克斯韋方程中的法拉第電磁感應(yīng)定律式(3)中的第二個(gè)式子.從式(12)中可以讀出極化導(dǎo)致在此介質(zhì)上極化電荷為

為了得到第二個(gè)等號(hào)，利用了麥克斯韋方程中的無(wú)磁單極的方程(3)中的第一個(gè)式子.結(jié)合電磁學(xué)電動(dòng)力學(xué)中的極化強(qiáng)度P和磁化強(qiáng)度M與ρ′和j′的關(guān)系

注意對(duì)均勻介質(zhì)(θ為常數(shù))，ρ′和j′都只出現(xiàn)在介質(zhì)的表面，j′還會(huì)出現(xiàn)在介質(zhì)出現(xiàn)或消失的那個(gè)瞬間.將式(15)與式(13)和(14)進(jìn)行對(duì)比，得到對(duì)此介質(zhì)有

它們就是這種介質(zhì)的電磁性質(zhì)方程.注意在通常的介質(zhì)中，極化強(qiáng)度P是由電場(chǎng)強(qiáng)度E驅(qū)動(dòng)的，磁化強(qiáng)度M是由磁感應(yīng)強(qiáng)度B驅(qū)動(dòng)的，而對(duì)此介質(zhì)卻反過來(lái)了，極化強(qiáng)度P是由磁感應(yīng)強(qiáng)度B驅(qū)動(dòng)的，磁化強(qiáng)度M是由電場(chǎng)強(qiáng)度E驅(qū)動(dòng)的.具有這種扭曲的極化和磁化效應(yīng)的介質(zhì)叫磁電介質(zhì).它是近些年來(lái)凝聚態(tài)物理和材料科學(xué)的熱門前沿研究課題，人們?cè)谂ふ液蜆?gòu)造具有大的磁電效應(yīng)(相當(dāng)于大的θ值)的磁電介質(zhì).

3 磁電介質(zhì)中的雙荷子

上節(jié)引進(jìn)了一種磁電介質(zhì).并且知道如果這個(gè)介質(zhì)是均勻極化和磁化的(也就是介質(zhì)上的θ保持為常數(shù))，介質(zhì)中是沒有極化和磁化導(dǎo)致的電荷和電流的.現(xiàn)在討論如果在均勻極化和磁化的介質(zhì)上通過某種方法加入了自由電荷或磁單極，看看會(huì)發(fā)生什么現(xiàn)象.為簡(jiǎn)單起見，考慮介質(zhì)上的j=0，這時(shí)式(11)簡(jiǎn)化為

在上式兩邊同時(shí)取散度，方程左邊為零，方程右邊給出

注意到介質(zhì)上某處體積V內(nèi)的電荷q和磁荷(磁單極)g可以通過計(jì)算此體積上電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的通量計(jì)算出來(lái)

將式(18)對(duì)體積V進(jìn)行積分，并代入式(19)，得到

進(jìn)一步如果引入第1篇文章[1]中關(guān)于磁荷g與電荷e的量子化結(jié)果ge=±4πn，則式(21)可以進(jìn)一步化為

也就是我們預(yù)言在這種介質(zhì)上的電荷是電子電荷乘以一個(gè)系數(shù)θ/π的整數(shù)倍.如果進(jìn)一步要求電荷都必須是電子電荷的整數(shù)倍(例如q/e=m)，則這種介質(zhì)的θ參量必須是π的分?jǐn)?shù)或整數(shù)倍.通常這只有依靠量子場(chǎng)論的反常計(jì)算才能得到的結(jié)論，現(xiàn)在我們?cè)陔姶艑W(xué)和電動(dòng)力學(xué)中得到了.在現(xiàn)實(shí)世界，近年來(lái)被熱炒的拓?fù)浣^緣體就是其中的一種，它滿足θ=π.

4 結(jié)語(yǔ)

存在一種用拓?fù)鋮⒘喀让鑼懙拇烹娊橘|(zhì)，此種介質(zhì)上，電荷與磁單極共生形成雙荷子.如果進(jìn)一步考慮到磁荷與電荷的量子化，拓?fù)鋮⒘喀缺仨毷铅械姆謹(jǐn)?shù)或整數(shù)倍.

[1] 王青.電磁學(xué)與電動(dòng)力學(xué)中的磁單極-Ⅰ[J].物理與工程，2013，23(6):8-11.

[2] 王青.電磁學(xué)與電動(dòng)力學(xué)中的磁單極-Ⅱ[J].物理與工程，2014，24(5):29-33.

[3] 王青.電磁學(xué)與電動(dòng)力學(xué)中的磁單極-Ⅲ[J].物理與工程，2015，25(4):19-24.

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MAGNETIC MONOPOLE IN ELECTROMAGNETISM AND ELECTRODYNAMICS—Ⅳ

Wang Qing

(Department of Physics,Tsinghua University,Beijing 100084)

This is the forth paper in the series of magnetic monopole.These series include four individual papers,in which some peculiar properties of magnetic monopole will be introduced as popular science in the frameworks of electromagnetism and electrodynamics.In this paper,we discuss magnetoelectric media described by topological parameterθ,prove the coexistence of charge and monopole as dyon.If further introduce the quantization of charge and monopoles,we show that topological parameterθmust be fraction or integer times π.

magnetic monopole;magnetoelectric media;topology;dyon

2015-05-21

王青，男，教授，主要從事理論物理的科研和教學(xué)工作，研究方向?yàn)榱孔訄?chǎng)論與基本粒子理論.wangq@mail.tsinghua.edu.cn