N個并聯直流電源的等效電源的3種推導方法
——并聯交/直流電源的一個等效定理及其推廣

周國全

(武漢大學物理科學與技術學院，湖北 武漢 430072)

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N個并聯直流電源的等效電源的3種推導方法
——并聯交/直流電源的一個等效定理及其推廣

周國全

(武漢大學物理科學與技術學院，湖北 武漢 430072)

本文運用等效電壓源定理(戴維寧定理)，等效電流源定理(諾爾頓定理)以及直流電路的疊加原理，并結合數學歸納法，總結出3種途徑用以推導N個并聯直流電源的等效電動勢與等效內阻，并以定理形式表達，最后對這一定理的適用范圍作了推廣；并對其能否向交流電路推廣作了前瞻性的思考.

等效電壓源定理(戴維寧定理)；等效電流源定理(諾爾頓定理)；線性元件；疊加定理；并聯電源；電導

穩恒的直流電路除了滿足歐姆定理、基爾霍夫回路定理及節點定理之外，還滿足線性疊加定理與等效電源定理等[1-4].等效電源定理的教學研究與應用，是電磁學與電路原理教學的重要內容之一[5,6].兩個電路等效是指它們的對外電輸出特性相同.兩個電路內部的幾何結構及參數都已發生變化，因此內部并不等效.在電路中用等效電源互相置換后，不影響外電路的工作狀態，例如圖1、圖2所示的含內阻的電壓源與電流源之間的等效變換.

若干個含源支路作串聯、并聯、混聯而構成的二端網絡，可以等效為一個電壓源.這可總結為等效電壓源定理，亦稱戴維寧定理，表述如下:兩端有源線性直流網絡可等效于一個電壓源，即一個電壓源和電阻串聯的二端網絡，其電動勢等于網絡的開路端電壓，內阻等于從網絡兩端看除源(將電動勢短路)網絡的電阻.這個二端網絡又可以等效為一個電流源，并可總結為等效電流源定理，亦稱諾爾頓定理.表述如下:兩端有源線性直流網絡可等效于一個電流源，即一個電流源和電阻并聯的二端網絡，其電流等于網絡兩端短路時流經兩端點的電流，內阻等于從網絡兩端看除源網絡的電阻.

值得注意的是等效電源定理只適用于由線性元件組成的有源二端網絡.如果網絡中含有非線性元件時，則該定理不再適用.

由于穩恒的直流電路中，各支路的電流對任一直流電源的響應是線性的，因此由線性元件構成的直流網絡還應服從疊加定理[1，3，4].

本文基于等效電源定理以及線性直流電路的疊加定理，嘗試運用3種不同的方法，推導出一條有關N個并聯直流電源構成的二端網絡的等效電源的定理:N個并聯電源的等效電動勢是諸電源的電動勢以其內電導為權重因子的加權平均值，其等效內阻是諸電源的內阻的并聯總電阻，即等效內電導是諸電源的內電導之和.本文還在更廣泛的意義上對其應用范疇進行了合理的推廣,尤其適用于如下3種推廣的情形:(1)當諸電源極性存在不同取向，即存在反向并聯時，須對諸電動勢的符號作適當的規定；(2)將只有電阻存在的并聯無源支路看作電動勢為零的有源并聯支路;(3)由并聯的交流電源(和復阻抗)構成的線性二端網絡.

為討論方便和表達簡潔起見，我們用(ε,r)表示電動勢為ε，內阻為r的直流電壓源;用(I0,r0)表示電流為I0，內阻為r0的電流源;用R12=r1//r2(或R1,2,…,N=r1//r2//…//rN)表示兩個(或N個)電阻的并聯及其總電阻；并用g=1/r表示與電阻r相應的電導.根據文獻[1]，首先我們給出電壓源和電流源之間等效變換的一條引理，作為后文討論的基礎.如圖1、圖2所示，電壓源(ε,r)與電流源(I0,r0)在滿足式(1)所示的條件時可以相互等效而轉化,

這就能使電壓源與電流源兩者對外的輸出效果完全等效.但是必須注意，理想電壓源和理想電流源之間是不能互相等效的.

圖1 電壓源圖2 電流源

圖1 電壓源圖2 電流源

1 推導方法之一——電壓源與電流源之間等效代換法

采用這種方法，一種思路如圖3所示，按照前述等效引理，對于其中的每一個直流電壓源(εi，ri),i=1,2,3,…,N，我們均可將其等效地代之以電流源，于是得到如圖4所示的N個并聯的等效電流源(Ii,ri)，并滿足如下等效條件:

圖4所示的N個并聯的等效電流源又可看作如圖5所示的一個等效的電流源(Ie,re),并有如下等效條件:

圖3 N個并聯電壓源圖4 等效的N個并聯電流源圖5 等效電流源圖6 等效電壓源

圖3 N個并聯電壓源圖4 等效的N個并聯電流源圖5 等效電流源圖6 等效電壓源

圖3 N個并聯電壓源圖4 等效的N個并聯電流源圖5 等效電流源圖6 等效電壓源

圖3 N個并聯電壓源圖4 等效的N個并聯電流源圖5 等效電流源圖6 等效電壓源

根據等效條件(1)，該電壓源的等效內阻即為式(7).

2 推導方法之二——數學歸納法

將數學歸納法與物理結合起來，然后再將N=1，2情形的特殊結論推廣到任意整數N的情形，是一種很好的科學思維方法；對于培養和提高學生的科學歸納能力與素養也是一次很好的鍛煉.現在我們考慮運用數學歸納法，再結合等效電壓源定理，來證明N個并聯電源(εi,ri),i=1,2,…,N，的等效公式(2)～式(4)；它需要我們具有一定的數學直覺和推理能力.

公式對N=1情形是自然成立的，對N=2情形可作如下證明.如圖7所示，運用等效電壓源定理，a、b之間的開路端電勢差即為其等效電動勢，可據下式計算:

若a、b之間處于開路情形，其內部電流I可按下式計算:

圖7 N=2情形圖8 N個并聯電源情形

圖7 N=2情形圖8 N個并聯電源情形

于是根據式(9)和式(10)，a、b之間的等效電動勢為

它確實是兩個電源的電動勢以其內電導為權重因子的加權平均值.又按等效電壓源定理，其等效內阻等于a、b之間除源網絡的電阻，即為兩直流電源之內阻并聯的結果:

而其等效內電導則為

設當N=k時公式(2)～(4)成立，當N=k+1時，即等效電壓源(εek，rek)再并聯一個直流電源(εk+1,rk+1)時，按公式(11)和(12)的結論，我們有

而按等效電壓源定理，此k+1個并聯直流電源的等效內阻，等于a、b之間除源網絡的電阻，即為k+1個直流電源之內阻并聯的結果，即

故結論對于N=K+1情形也成立，根據數學歸納法原理，等效公式(2)～(4)對于任意n個并聯直流電源都成立．定理獲證．

3 N個并聯直流電源的等效電壓源的推導方法之三——線性疊加定理

線性疊加定理可表述為[1,3,4]：對于由線性元件(如直流電阻)和直流電源構成的復雜電路,若電路中有多個電源,則通過電路中任一支路的電流等于各個直流電源單獨存在時,在該支路產生的電流之和.文獻[1,3,4]給出的這種表述實際上還可以進一步引申為如下推論：在復雜的線性直流電路中,任意兩節點間的電勢差,等于各個直流電源單獨存在時,在該二節點間引起的電勢差的代數和.這是疊加定理應用于線性直流電路系統的應有之義.我們可以利用線性疊加定理的這一推論,來推導N個并聯直流電源的等效電動勢與等效內阻.如圖8所示,按照等效電壓源定理,N個并聯直流電源在a、b兩端的對外等效電動勢,等于a、b兩端對外開路電壓,等效內阻則等于從a、b兩端看除源網絡(內阻保留)的電阻.而依據線性疊加定理,a、b兩端的對外等效總電壓,等于其中每一個直流電源單獨存在時在a、b兩端所造成的電勢差的代數和.

其次,按照線性疊加定理的思想,第i個電源(εi,ri)單獨存在時,(其他直流電源僅留下N-1個內阻ri,r2,…,ri-1,ri+1,…,rN,它們并聯之后再與ri串聯),它在a、b兩端所造成的電壓Ui,按照串聯電阻的分壓原理,應為

于是N個直流電源同時存在時，在a、b間造成的電壓的代數和為

按等效電壓源定理，a,b之間的這個開路電壓式(19)，就是等效電壓源的電動勢式(2).再來算出等效內阻，從圖8的a、b兩端看，除源網絡(內阻保留)的電阻為N個并聯的直流電源的內阻，它就是等效內阻式(3).再結合式(19)，定理獲證.

4 定理之應用范疇的合理推廣

我們從3個方面將本定理之應用范疇進行合理的推廣.

其一，如果我們將一個純電阻看成一個電動勢為零的等效直流電壓源(0，R),或將其視為電流為零且有一并聯內阻的等效電流源，則前述定理的適用范圍還可推廣為任意多個直流電源與若干電阻并聯而構成的復雜直流二端網絡.即公式(2)～(4)對于存在電動勢為零的并聯電阻(0，R)照樣成立.這可以幫助我們處理大量直流電路的問題，如文獻[1～4]中的部分習題.

其二，假如并聯直流電源之間的正負極性的取向不相一致，則只須規定電源正極指向某端時電動勢為正，(譬如規定在圖7和圖8中，電源的正極與a端相連時，其電動勢為正值)，反之為負，(如圖7和圖8中，正極與b端相連時電動勢取為負值)，則公式(2)～(4)對于任意多個直流電源并聯且正負極性任意聯接而構成的復雜直流網絡依然成立.這正是前述定理中“代數和”一詞的應有之義.

其三，本文的結論是否能向并聯交流電源構成的二端線性的網絡推廣？值得我們認真地思考和進一步研究.復電壓、復電流、復電動勢及復阻抗、復導納等概念的引入，建立和恢復了流經線性交流元件的復電流對其兩端復電壓的線性響應關系，為在交流電路中建立如穩恒直流電路一樣的歐姆定理、基爾霍夫回路定理及節點定理奠定了基礎[1,2].尤其關鍵的一點是，能否建立交流電流源的概念？答案是肯定的[3,4]；一個交流電壓源能否等效于某個交流電流源？交流電路中能否建立相應的戴維寧定理與諾爾頓定理？答案也是肯定的[3,4]！解決了這些疑問，則將本文的結論推廣應用于并聯的交流電源與復阻抗構成的二端交流網絡，是一件合理并且簡單易行的事情.

5 結論與前瞻

本文不僅給出N個并聯直流電源(電阻)的等效電源的一個定理及其公式(4)～(6)，而且給出了有關等效電源定理和直流網絡電路的線性疊加定理的一個很好的教學范例；同時有望為電磁學與電路原理的教學提供新的視角，開拓新的思維，注入新的活力.第二種方法——數學歸納法的引入，為在物理教學與研究中激發和鍛煉學生的科學歸納能力提供了一次難得的機會.另一方面，將與電源并聯的直流電阻視為電動勢為零的直流電源的舉措，以及對電源的正負極性的不同接法的符號規定，這兩種處理方法擴大了本文的定理與公式的應用范疇；尤其是向并聯的交流電源與復阻抗構成的二端線性交流網絡的推廣，更是大膽和富有意義的一種嘗試.在作這種推廣時會有一些新的問題、特性與新的規律出現，這尚有待于學者們作進一步的研究.

[1] 趙凱華,陳熙謀.電磁學[M].3版.北京:高等教育出版社，2011:206-210.

[2] 張三慧，臧庚媛，華基美.電磁學(第三冊)[M].北京:清華大學出版社，1991:145-156.

[3] Nilsson J W,Riedel S A.Electric circuits[M].Fifth ed.Addison-wesley publishing company.Inc.1996:132-143;151;383.

[4] 胡翔駿.電路分析[M].2版.北京:高等教育出版社,2007.

[5] 林再發.等效法在直流電路問題中的應用[J].物理教師,2000,21(6):18-20.

[6] 劉珮仙,黃東泉.含源多射線星形變多角形的等效變換[J].電子學報,1989,17(04):107-108.

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THREE APPROACHES TO DERIVE THE EQUIVALENT POWER SOURCE FORNPARALLEL DIRECT POWER SOURCES

Zhou Guoquan

(School of Physics and Technology,Wuhan University,Wuhan,Hubei 430072)

The equivalent voltage source theorem and the equivalent current source theorem,the principle of superposition for a linear direct current circuit,and the mathematical induction method were applied in this paper to conclude three approaches to derive the equivalent electromotive force and the equivalent inner resistance forNparallel direct power sources.These results were expressed in the form of theorems.At last,we extended our theorem to the case of parallel powers mixed with parallel resistors,and did forward thinking of whether this theorem can be extended to the alternating current circuits.

equivalent voltage source theorem(Thevenin’s theorem);equivalent current source theorem(Norton’s theorem);linear components;superposition theorem;parallel power;electric conduction

2015-01-16

國家級教學團隊基金項目(202276003).

周國全,男，副教授,兼任湖北省中學生物理競委會領隊和主教練.研究方向為非線性可積方程與場論.zgq@whu.edu.cn