Ka波段過模慢波結構色散曲線的數值求解*

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Ka波段過模慢波結構色散曲線的數值求解*

武大鵬，舒挺，張華

(國防科技大學 光電科學與工程學院，湖南 長沙410073)

摘要：運用場匹配法，結合Ka波段過模慢波結構的實際情況，進行軸對稱周期慢波結構色散關系的理論推導，得到了一種快速、準確計算適應Ka波段過模慢波結構的色散特性計算方法。根據推導結果，采用MATLAB程序編程計算了Ka波段過模盤荷波導的色散曲線。將計算得到的色散曲線與成熟的商業軟件計算得到的結果進行了對比，兩者誤差在2%以內，驗證了數值算法的可靠性。計算得到的色散曲線可以輔助選取Ka波段微波源的結構參數，對器件設計有一定參考價值。

關鍵詞：色散曲線；Ka波段過模慢波結構；數值計算算法

在高功率微波源器件的設計和研制過程中，需要了解其慢波結構的色散特性。慢波結構色散關系的場匹配解法已經發展得較為完善[1-4]，但是在高頻段(例如，頻率高于30GHz)大過模比情況下，采用通用方法推導得到的色散方程數值計算較為困難。本文針對Ka波段慢波結構的特殊情況，推導了一種針對高頻段軸對稱慢波結構快速有效的色散特性求解方法。該方法在邊界處直接積分計算，沒有通用算法中傅里葉級數展開，在保證一定計算精度的前提下，簡化了計算過程，提高了計算速度。

1理論推導

如圖1所示，本文采用的慢波結構為具有矩形截面的軸對稱盤荷結構。此種類型的慢波結構常用于高頻段微波源中[5-9]，具有結構簡單、加工容易的優點。慢波結構的基本尺寸參數為：漂移管的半徑R，慢波結構的周期Z0，高度h，盤荷間距d，電子束半徑rb。由于慢波結構器件中幾何機構和電子束的圓周對稱特性，參與束波相互作用的主要是具有圓周對稱的結構和軸向電場分量的TM0n模式，這里僅討論這些模式的色散特性。為了簡化計算，做如下幾點合理假設：慢波結構軸向無限長，所分析區域內的任意點可以認為距離場源無限遠；軸向約束磁場無窮大，電子束僅有沿z方向的一維速度分量；電子束的厚度忽略不計，但是具有有限大的總電流Ib；忽略各個場分量和電子束參量的高階擾動量，如電子速度v=v0+v1。

TM0n模式僅有軸向電場Ez、徑向電場Er和角向磁場Hφ三個不為零的場分量。根據Floquet定理，軸向電場分量可以分解為級數展開的形式[10]

(1)

式中kn=k0+nh0, h0=2π/z0, -h0/2≤k0

圖1　具有矩形截面的軸對稱慢波結構示意圖Fig.1　Diagram of axial symmetric SWS with rectangular section

求解區域的各次諧波的軸向電場Ezn滿足Maxwell方程組，整理可得

(2)

式中Γn2=ω2/c2-kn2。

其他場分量可以用軸向電場分量表示

(3)

(4)

式(2)的基本解形式為

(5)

其中J0(x)為零階第一類Bessel函數。在波導壁處需滿足切向電場為零的邊界條件

(6)

其中Rw(z)為z處的波導壁半徑。在電子束處的邊界條件為[1]

(7)

結合邊界條件式(6)和式(7)，式(5)可以整理為矩陣的形式

D·A=0

(8)

其中

det(D)=det[Dmn]=0

(9)

式(9)即是慢波結構的色散方程。

2數值求解方法

編制了MATLAB計算程序，數值求解色散方程，求解步驟如下。

1)對基波軸向波數k0取一系列離散值，據此確定各次諧波的軸向波數kn=k0+nh0；

2)對各個k0，使用二分法[4]求解ω的值；

3)每個k0，有多個不同的ω解，將它們按從小到大的順序加注標記ω(1),ω(2),…ω(n)，則數組(k0,ω(1))為TM01模式色散曲線上的點，數組(k0,ω(2))為TM02模式色散曲線上的點，……數組(k0,ω(n))為TM0n模式色散曲線上的點；

4)依次連接不同k0取值對應的所有(k0,ω(n))，構成TM0n模式色散曲線。

圖2　不同矩陣階數下的色散曲線(以TM01為例)Fig.2　Dispersion curves in different matrixranks (take TM01as an example)

在計算色散矩陣D時，我們取的矩陣階數為5～7階，具體階數的確定原則是：逐次增大矩陣階數，直到相鄰兩種階數下求解得到的色散曲線偏差在1%以內。例如圖2所示為矩陣階數分別取4，5和6階時TM01模式的色散曲線示意圖，可以看出矩陣取4階時色散曲線與取5階時偏差較大，而取5階和取6階時偏差較小。綜合考慮準確性和計算時間，可以取5階矩陣進行計算。本方法由于處理波導壁處邊界時，沒有采用常見的傅里葉展開擬合邊界形狀的方法，而是直接將邊界形狀函數代入求解，簡化了計算過程。

3計算結果和相關討論

選取Ka波段高功率微波源[5]的一組典型尺寸參數(具體參數值見表1)，數值計算了其色散特性。

表1Ka波段高功率微波源的典型尺寸參數

Tab.1ParametersoftheKa-bandHPMdevice

(mm)

如圖3所示，是計算得到的TM01,TM02和TM03模式的色散曲線，通過與高頻電磁仿真軟件HFSS計算得到的同樣尺寸參數條件下的色散曲線進行對比，發現二者吻合較好，相對誤差小于2%。值得指出的一點是，使用高頻電磁仿真軟件計算色散曲線建模比較煩瑣，而且由于計算區域相對于微波波長較大(結構直徑約為波長的4～5倍)，剖分網格數目巨大，計算耗時較長。

(a) MATLAB數值計算得到的TM01,TM02和TM03模式的色散曲線(a) Dispersion curves of TM01, TM02and TM03(MATLAB)

(b) 模式數值計算結果與軟件計算結果的對比 (TM01)(b) Result comparison between MATLAB and softwaresimulation (TM01)

(c) 模式數值計算結果與軟件計算結果的對比 (TM02)(c) Result comparison between MATLAB andsoftware simulation (TM02)

(d) 模式數值計算結果與軟件計算結果的對比 (TM03)(d) Result comparison between MATLAB andsoftware simulation (TM03)圖3　MATLAB數值計算得到的色散曲線Fig.3　Result dispersion curves calculated by MATLAB program

4結論

本文理論推導了一種計算色散特性的數值方法，并據此編制MATLAB數值程序。與商業軟件計算結果相比，采用該數值算法編程得到的結果頻率相對偏差在2%以內，且大大減少了計算時間。相關計算方法適用于Ka波段微波源結構參數的輔助選取，具有快速、準確的優點。

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Numerical computation of dispersion curves in the Ka-band overmoded slow wave structure

WUDapeng,SHUTing,ZHANGHua

(College of Optoelectronic Science and Engineering, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)

Abstract：Backward wave oscillator with over-mode Ka-band high power microwave (HPM) generally outputs mixed TM0n modes, it has high energy conversion efficiency, but it can′t ensure the purity of output modes. However, it is necessary for high radiation efficiency that the microwave input to the radiation terminal is certain single and pure. So it is hard to put these HPM sources into application. In order to solve this problem, a design method for compact hybrid modes converter of purifying TM0n mixed modes was proposed. With this method, the TM01, TM02 and TM03 mixed modes can be converted into pure circular waveguide TM01 mode efficiently on the condition of high power capacity and wide wave band. This method also reduces the modes purification difficulty in the design of the HPM sources.

Key words：dispersion curve; Ka-band overmoded slow-wave structure; numerical computing method

中圖分類號：TN12

文獻標志碼：A

文章編號：1001-2486(2015)02-028-04

收稿日期：2015-01-05基金項目：國家自然科學基金資助項目(11075211)

作者簡介：武大鵬(1988—)，男，山東沂水人，博士研究生，E-mail：vipbenjamin@163.com；舒挺(通信作者)，男，教授，博士，博士生導師，E-mail：mrtingshu@qq.com

doi:10.11887/j.cn.201502007

http://journal.nudt.edu.cn