變論域模糊自適應滑模有限時間收斂制導律*

張 旭，雷虎民，李 炯，翟岱亮

(空軍工程大學防空反導學院，陜西西安 710051)

近年來，彈道導彈和臨近空間高超聲速飛行器等高速機動目標威脅的不斷涌現，使導彈不再具有速度、機動性和敏捷性的優勢，傳統的比例制導律、最優制導律等已經難以適應新情況的需求［1-6］。在新的攔截情形下，為使導彈能夠對目標進行直接碰撞殺傷，需研究使導彈-目標的視線角速率具有有限時間收斂特性的制導律［7-10］，該特性可使視線角速率在有限時間內收斂到以零為中心的鄰域內，從而使導彈對目標的攔截達到準平行接近狀態，提高制導精度。文獻［10］設計了一種三維視線角速率有限時間收斂制導律，可保證導彈在末制導結束之前收斂到零或以零為中心的較小鄰域內，并能夠保證其有限時間穩定，然而，該制導律應用彈目相對信息較多，如果導彈采用僅能獲得彈目視線角速率的紅外導引頭，則難以得到有效應用。文獻［11］利用非線性預測控制理論設計了一種基于零化視線角速率的預測制導律，并提出了一種基于時間延遲控制理論的濾波算法，但是該制導律僅能保證視線角速率在攔截末端趨向于零，而不能保證視線角速率有限時間內收斂到零。文獻［12］將目標的機動加速度視為外界干擾，將制導系統的模糊控制規則多個輸入變量轉化為滑動曲面一個變量，設計了攔截機動目標的自適應模糊制導律，但是它不能保證視線角速率有限時間收斂。

1 導彈－目標空間攔截模型

圖1中，OIXIYIZI為慣性坐標系，OLXLYLZL為視線坐標系，其三個方向的單位向量用［iL，jL，kL］T表示;VM和VT分別為導彈和目標的速度矢量;aM和aT分別為導彈和目標的加速度矢量;θL和ψL分別為導彈的視線傾角和視線偏角;rM和rT分別為導彈和目標的位置矢量，r為導彈與目標的相對位置矢量。

圖1 彈目三維相對運動學關系Fig．1 Three-dimensional relativemotion geometry of interceptor and target

設Ω為視線坐標系相對于慣性坐標系的旋轉角速度矢量，則Ω可表示為

根據彈目相對運動學關系，可得

設aT，aM在視線坐標系三個坐標軸上的分量分別為 aTi，aTj，aTk和 aMi，aMj，aMk，則有:

式(6)即為所導彈與目標的三維相對運動學模型。

2 變論域模糊自適應滑模有限時間收斂制導律設計

2．1 三維滑模制導律設計

令滑模切換函數為s1=x4，s2=x6，若達到比較理想的滑動模態控制，則s1=0，s2=0，即導彈攔截目標達到準平行接近狀態，并能夠保證導彈準確命中目標。

為設計三維滑模制導律，構造如下Lyapunov函數:

為保證Lyapunov函數是漸近穩定的，需要滿足以下條件:

將式(6)代入式(8)，可得

由于滑模變結構控制具有對系統不確定性和干擾的魯棒性，因此可將目標機動視為干擾項。根據式(9)，三維滑模制導律可選擇為

式中，kk，kj為常數，且

將式(10)代入式(9)，可得

由式(11)可知，所選擇的三維滑模制導律式(10)可以保證式(8)所示的Lyapunov函數漸近穩定。

2．2 模糊自適應滑模制導律設計

令

則式(10)可表示為

由式(14)和式(15)可知，制導律的第一項主要是抑制視線角速率的轉動，而第二項是滑模切換項，通過不連續切換使系統狀態達到并保持在滑模面上。由于在實際作戰過程中，尤其是在高速目標攔截的情況下，導彈往往僅安裝紅外導引頭，致使狀態量f(x4，t)和g(x6，t)無法準確測出。因此，可以考慮使用高斯型自適應模糊邏輯系統所具有的萬能逼近特性，并利用有限時間收斂制導律所具有的有限時間收斂特性等專家知識，構造萬能變論域模糊自適應逼近系統，對f x4，()t和g(x6，t)進行逼近。

假設x位于某個緊集 Mx，設和g^是對狀態量f(x，t)和g(x，t)的模糊逼46近，則狀態量f(x4，t)和g(x6，t)的最優參數向量可定義如式(6)所示［13］。

式(16)和式(17)中，最優參數向量θ*1和θ*2位于某個凸集內，且滿足

式(18)～ (19)中，mθ1和 mθ2為設計參數。同時，亦可得到新的滑模制導律表達形式為

下面，考慮采用模糊邏輯系統所具有的萬能逼近特性對狀態量f x4，()t和g x6，()t進行逼近。

首先，設計x4和x6與最優模糊逼近器和所一一對應的IF-THEN形式的模糊規則為

上述規則可實現由輸入x4和x6到和的映射。其中，A1和A2是模糊變量，B1和B2為輸出變量。然后，采用乘積推理機、單值模糊器和中心平均解模糊器，則其輸出可以表示為

設計自適應律為:

下面，對式(24)和式(25)所描述的自適應律的穩定性進行證明。

證明:

式(26)～(27)中，r1和r2為自適應控制律參數，x'=x1cos x3。

對式(26)和式(27)兩端求導，可得

定義最小逼近誤差

根據式(6)、式(14)～(15)、式(28)～(31)，可得

因此，根據式(20)～(25)，所設計的模糊自適應滑模制導律可表示為

2．3 有限時間收斂模糊控制規則描述

根據目前關于有限時間收斂制導律的研究成果，可以得到有限時間收斂制導律的制導特性和規律:在末制導初期導彈的需用過載較大，甚至達到飽和狀態;而在視線角速率達到有限時間收斂后，導彈需用過載降低到很小的數值。這種規律可以使導彈在末制導的開始階段充分利用其過載能力，完成視線角速率的有限時間收斂并達到準平行接近的飛行狀態，而在末制導后期導彈需用過載很小，可以保證導彈在較短的攔截時間內以較小的能量消耗完成對目標的高精度殺傷。

此外，對狀態x4和x6分別選擇7個狀態變量，它們的隸屬度函數分別為

2．4 基于新型伸縮因子的變論域模糊自適應滑模制導律設計

常用的變論域模糊控制伸縮因子有比例指數型伸縮因子和自然指數型伸縮因子，其通用形式如式(50)、式(51)所示［14-15］。

式(50)～(51)中，-E≤x≤E，0＜τ＜1，k＞0。

然而，比例指數型伸縮因子的非線性有限，尤其是在輸入誤差很小的情況下，伸縮因子α(x)的變化不夠明顯，此時導彈所采用的制導律便難以給出合適的制導指令來實現高精度控制;此外，自然指數型伸縮因子在誤差很大時變化比較劇烈，也會對精確制導構成不利影響。因此可以將比例指數型伸縮因子與自然指數型伸縮因子結合起來，構造下列類型的輸入伸縮因子

式(52)中，ε1為充分小的正常數，0＜ε2＜1，k1＞0。

根據伸縮因子的定義，分別對上述伸縮因子所應具有的對偶性、近零性、單調性、協調性和正規性進行證明。

證明:

(1)對偶性。對于?x∈X，可知 α(x)=α(-x);

(3)單調性。對α(x)求導，可得

(5)協調性。由于α(x)是單調遞增的，且由于ε1是充分小的正數，故當x∈0，[]E時，可知

由于 α(x)具有對偶性，因此，當 x∈［-E，0］時，同樣滿足x≤α(x)E。

綜上，可知對于?x∈X，可知x≤α(x)E。 □

同理，選擇輸出伸縮因子為

式(53)中，-U≤y≤U，ε3為充分小的正常數，0＜ε4＜1，k2＞0。

因此，基于新型伸縮因子的變論域模糊自適應滑模有限時間制導律為

式(54)～(55)中，

式(54)和式(55)所示的制導律中含有符號函數，由于導彈控制系統的控制量切換不可能瞬時完成，因此容易造成抖振，為消除抖振，可以對上述制導律的符號函數進行光滑處理，這里用飽和函數sat(s)代替符號函數sgn(s)。satΔ(s)的表達式如式(56)所示。

3 仿真研究

導彈攔截目標初始狀態參數設置為:vm=1800m/s，vt=2000m/s，xt0=50km，yt0=1km，zt0=22km，xm0=0km，ym0=0km，zm0=18km，θt0=10°，ψt0=180°，θm0=4 ．57°，ψm0=1．15°?；谛滦蜕炜s因子的變論域模糊自適應滑模制導律參數取值為:E=0．03，U=900，τ1=0．9，τ2=0．9，ε1=1E-6，ε2=0．1，ε3=1E-5，ε4=0．05，k1=3．512 0，k2=1．709 8。在仿真過程中，導彈的可用過載為20g，目標的機動過載為1～4g?？紤]導彈的自動駕駛儀用二階動態特性描述:

其中，u為導彈的加速度;根據導彈的設計要求和工程實際經驗，選取導彈自動駕駛儀動態參數為ξ =0．82，ωn=8．0。

仿真結果如圖2～圖4，表1～表3所示，其中圖2～圖4是目標機動過載為1g時的導彈和目標的制導信息。

由圖2可知，在導彈飛行的前半段，變論域模糊自適應滑模有限時間收斂制導律的彈道比比例制導律稍微彎曲一些，而后半段則較為平直一些，其主要原因是變論域模糊自適應滑模有限時間收斂制導律在末制導初始段用更大的機動過載以使導彈-目標視線角速率在有限時間內收斂到零附近的較小鄰域內，因此其彈道在此時顯得更加彎曲一些;一旦視線角速率達到有限時間收斂，其指令過載便幾乎保持在較小的水平(如圖4所示)。由圖3可知，變論域模糊自適應滑模有限時間收斂制導律的視線角速率能夠在有限時間內收斂到零附近的鄰域內，而比例制導律則沒有此種特性。由圖4可知，變論域模糊自適應滑模有限時間收斂制導律的這種特性可以使其在末制導初始階段以最大的機動能力飛向目標，而在導彈-目標視線角速率有限時間收斂后，則可以很小的過載飛行，并保證對目標的命中精度。

圖2 攔截彈攻擊目標曲線Fig．2 Simulation curves of interceptor attacking target

圖3 視線角速率隨時間的變化曲線Fig．3 Charging curves of the line-of-sight rate at different time

圖4 導彈過載隨時間的變化曲線Fig．4 Changing curves of themissile overload at different time

表1 θm0=4．57°，ψm0=1．15°時的制導精度Tab．1 Guidance precision when θm0=4．57°and ψm0=1．15°

表2 θm0=14．57°，ψm0=1．15°時的制導精度Tab．2 Guidance precision when θm0=14．57°and ψm0=1．15°

表3 θm0=4．57°，ψm0=11．91°時的制導精度Tab．3 Guidance precision when θm0=4．57°and ψm0=11．15°

由表1～表3可知，在不同的導彈初始彈道傾角和彈道偏角及不同的目標機動過載情況下，比例制導律在目標機動過載為4g時出現了脫靶，但是變論域模糊自適應滑模有限時間收斂制導律始終能夠精確命中目標，且比比例制導律具有更小的脫靶量和更短的攔截時間。同時，由表1和表2可知，在導彈初始彈道偏角不變的情況下，當初始彈道傾角變大時，導彈攔截目標的時間整體上變短，脫靶量變小;由表2和表3可知，在導彈初始彈道傾角不變的情況下，當初始彈道偏角變大時，導彈攔截目標的時間整體上變長，脫靶量變大。

4 結論

本文利用有限時間收斂制導律設計的專家經驗，構造了模糊控制規則，并運用模糊控制的萬能逼近特性，對所設計的三維滑模制導律的非切換項進行逼近，設計了模糊自適應滑模有限時間收斂制導律;同時，為增加小論域情況下的控制規則、提高制導精度，設計了新型變論域伸縮因子，并將變論域模糊控制引入制導律設計當中，最終設計了變論域模糊自適應滑模有限時間收斂制導律。仿真結果表明，所設計的制導律能夠準確命中目標，并能夠達到視線角速率有限時間收斂，且與比例制導律相比，具有更高的制導精度和更少的攔截時間。

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