人類的近似數量系統*

李紅霞 司繼偉 陳澤建 張堂正

(山東師范大學心理學院, 濟南 250358)

1 引言

近似數量系統(Approximate Number System,ANS)是數字核心系統的重要組成部分, 與精確數量系統(Precise Number System, PNS)共同解釋了人類的基本數感(number sense) (馬俊巍, 2012)。數感是接近數量大小的能力, 在人類嬰兒出生的第一年就已經擁有(Starr, Libertus, ＆amp; Brannon, 2013),同兒童的數估計息息相關。潘星宇、俞清怡和蘇彥捷(2009)認為數感的心理機制是數表征。數表征是個體對數量的心理理解, Dehaene, Piazza和Cohen (2003)用心理數字線(mental number line)來比擬個體的數表征, 即人們對抽象數量和近似數量進行近似表征的系統, 而Halberda和Feigenson(2008)則將該系統稱為近似數量系統。目前, 研究者普遍認為, 在人類數量表征中存在著兩種相互獨立的數量表征系統：對1～3或4小數目進行表征的精確數量系統和對3以上大數目進行表征的近似數量系統(章雷鋼, 2007)。近似數量系統遵循韋伯定律(Weber’s law), 即兩個數距離越大, 反應時越小, 正確率越高。

近似數量系統是當代心理學中一個較為新興的研究領域。目前, 國外針對該領域的研究無論是行為研究還是ERP、fMRI研究都取得了一定的成果, 并開始將科研成果應用到教育教學實踐中,通過對兒童尤其是有數學困難的兒童和未接受教育的成人進行教育和訓練干預來提高其近似數量系統的精確性, 從而改善學習成績(Piazza, Pica,Izard, Spelke, ＆amp; Dehahne, 2013), 提高數學能力。國內對近似數量系統的實證和綜述研究都非常少,有關研究尚停留在理論層面。本文通過對近十年的文獻進行梳理, 著重介紹了近似數量系統的遺傳和神經基礎, 以及在此基礎上開展的引導和干預訓練。

2 近似數量系統的遺傳基礎

近幾年, 隨著行為遺傳學的發展, 從行為遺傳角度研究數學認知成為心理學研究最前沿的課題, 對ANS的研究亦是如此。研究者們試圖從基因、基因與環境的交互作用等方面來解釋ANS的本質。縱觀已有對數學能力遺傳研究的證據可以看出, 數學能力具有遺傳性, 主要體現在動物、嬰兒所具有的基本的生物能力如分辨和操作數感的能力, 雙生子的遺傳相似性, 以及基因缺失病人所表現出的數學能力的失調、計算障礙等(徐繼紅,陳平, 周新林, 董奇, 2012)。

2.1 間接證據

Halberda和Fergenson (2008)認為, ANS是天生的, 在人一生的發展中一直占據著主導地位。大量來自動物和嬰兒的研究證明, 與數感有關的基本的估計能力具有遺傳性。很多非人類動物物種表現出了估計和比較數量的能力。這種能力被認為是ANS的產物。社會和非社會性動物都表現出基本的數量能力(Reznikova ＆amp; Ryabko, 2011;Vonk ＆amp; Beran, 2012)。如食蚊魚能夠運用數字線索辨別數量(Agrillo, Piffer, ＆amp; Bisazza, 2011), 老鼠能夠辨別不同聲音序列的點陣。除了估計能力,Rugani, Regolin和Vallortigara (2011)采用依戀范式對新生小雞的研究發現, 新生的小雞在數量集合任務中表現出基本計算能力。脊椎動物和非脊椎動物包括鳥類、哺乳類、魚甚至是昆蟲都具有這種能力(Agrillo, Piffer, Bisazza, ＆amp; Butterworth,2012)。在對靈長類動物的研究中, 能穩定的觀察到ANS的影響。對狐猴的研究發現, 他們僅僅依據數量差異就能辨別不同集合的物體, 這表明人類和其它靈長類動物使用相同的數量加工機制(Merritt, Maclean, Crawford, ＆amp; Brannon, 2011)。在古比魚和大學生的比較研究中, 古比魚和大學生的測試成績幾乎是相等的, 實驗組辨別較大數量的能力依賴于數量間的比率, 這表明ANS有參與(Agrillo et al., 2012)。進一步證明了ANS可能是通過很多物種已經遺傳進化。另有研究發現人類嬰兒在出生時就擁有直覺數感(Starr et al., 2013)。隨著年齡的發展, ANS精確性不斷提高(Xu, 2003;Jordan ＆amp; Brannon, 2006)。

2.2 直接證據

COMT是一種對多巴胺的新陳代謝尤為重要的酶。COMT的功能多態性表現在工作記憶和數學認知中。Julio-Costa等(2013)研究發現, COMT met+組的兒童在數量表征中的精確性更高, 而val/val攜帶者在非符號數量比較任務中的精確性較低, 韋伯系數較高, 這意味著他們數量辨別精度較差。ANS精確性與個體的數學成績之間相關關系顯著。在數學遺傳的研究中, 在 20世紀 50年代就發現, 有數學缺陷的家庭中其他成員患有數學障礙的概率是普通沒有數學缺陷家庭的 3倍。有計算障礙家族史的雙生子患有計算障礙的可能性, 同卵雙生子占 58%, 異卵雙生子占 39%(徐繼紅等, 2012)。Haworth, Kovas, Petrill和Plomin (2007)的雙生子追蹤研究發現, 9歲兒童的數學成績與 7歲兒童的數學成績一樣, 都表現出了很高的遺傳性。數感的差異在個體生命早期就已經表現出來, 并持續到后期的發展中。Tosto等(2014)對同卵雙生子和異卵雙生子的數感基因敏感性研究發現, 數感遺傳性達到32%。此外, 與數學認知相關的遺傳綜合癥為 ANS的遺傳性提供了進一步的證據。例如, 脆性 X染色體綜合癥(Fragile X Syndrome, FXS)是最常見的導致遺傳智力障礙的原因, 影響了大約 1/3600的男性和1/4000的女性。Owen, Baumgartner和Rivera (2013)的研究揭示了患有FXS年幼學步兒的數字數量序數識別顯著受損, 其后期與FXS有關的算術障礙可能源于更加基礎的數字認知方面的發展性損傷。威廉綜合癥(Williams syndrome, WS)是染色體7q11.23缺失。Libertus, Feigenson, Halberda和Landau (2014)研究發現, 患有威廉綜合癥的青少年的ANS精確性相當于2～4歲的典型發展的兒童,他們的ANS精確性隨著年齡發展, 但是永遠不會達到6～9歲的典型發展的兒童。最近的一項研究發現, 22q11.2染色體缺失綜合癥兒童ANS精確性受損(Oliveira et al., 2014), 進一步證明了ANS具有遺傳性。

3 近似數量系統的神經基礎

隨著各種認知神經科學研究手段的運用, 越來越多的學者開始關心近似數量系統發生作用的內在機制, 并逐漸轉向對近似數量系統的腦生理機制進行探討。

3.1 對大腦結構正常人的研究

腦成像研究已經確定頂葉是數字認知的關鍵腦區, 尤其是頂葉內部的頂內溝(intraparietal sulcus,IPS) (Dehaene et al., 2003)。近似數量表征和精確數量表征分屬不同的腦區。Dehaene等(1996)采用PET技術研究發現, 近似數量比較任務激活了右側顳上回、左右顳中回和右額上下回等區域, 而精確運算激活了大腦左側額下葉和中央前回。因此, Dehaene認為, 近似數量表征的神經基礎在頂內溝區域, 精確數量表征的神經基礎位于左側額下葉和左側角回。Dehaene, Spelke, Pinel, Stanescu和Tsivkin (1999) 的fMRI研究顯示, 近似計算激活了雙側頂葉區域, 右側楔前葉、左右中央前溝、左背外側前額葉皮質區域; 精確計算激活的是左側額下葉腦區。Pinel, Dehaene, Rivière和LeBihan(2001)的研究進一步發現近似數量系統的神經基礎在大腦雙側頂內溝水平橫向部分(horizontal segment of the bilateral intraparietal sulcus,HIPS)。Vogel, Grabner, Schneider, Siegler和Ansari等(2013)的研究也證明, 當我們思考一個數字, 無論是口頭的還是書面的, 是數字單詞還是阿拉伯數字,甚至是當我們檢查一組物體并考慮他的基數時,這個腦區就會被激活。在進行非言語數字任務時發現的成人大腦頂葉的激活在嬰兒頂葉中也發現了, 這說明近似數量系統在生命的早期就已經出現(Hyde, Boas, Blair, ＆amp; Carey, 2010)。

3.2 對大腦損傷人的研究

Sousa (2010)研究發現, 大腦左半球尤其是頂葉受損后, 會產生計數或其它的簡單算術困難。IPS損傷的直接表現就是計算缺失(acalculia), 這是一種嚴重的數學認知紊亂(Cantlon, Brannon,Carter, ＆amp; Pelphrey, 2006)。計算力缺失的癥狀因損傷位置的不同而不同, 但是最基本的表現都是不能執行簡單的計算, 不能比較數量大小(Sousa,2010)。此外, 患疾病的人, 其大腦結構也發生了相應的變化。計算障礙(dyscalculia)的癥狀是個體盡管擁有充足的教育和社會環境, 但還是有意想不到的理解數字和算數困難的問題(Molko et al.,2003)。這種癥狀的表現是, 從無法分配數量到無法掌握阿拉伯數字, 再到學習乘法表困難。盡管兒童有正常的智力水平, 但是計算障礙會導致兒童學業成績明顯落后。在一些情況下, 計算障礙的發病是遺傳的。例如唐氏綜合癥, 形態學研究揭示出個體患唐氏綜合癥以后, 右側 IPS長度和深度會變得不正常。兒童腦成像研究顯示計算障礙的癥狀是IPS的灰質較少或者在進行數學任務中此腦區的激活較少。格斯特曼綜合癥(Gerstmann syndrome), 是一種由于大腦左側頂葉和顳葉病變而導致計算力缺失的疾病。最近的研究發現, 威廉綜合癥患者的頂葉表現出異常, 其ANS精確性要遠低于同齡正常發展的兒童(Libertus et al.,2014), 進一步證實了頂葉腦區在 ANS中的重要作用。

3.3 視覺皮質的影響

Sathian等(1999)的 PET研究表明, 精確數量估計激活了枕葉的外紋狀皮質區, 而近似數量估計則激活了廣泛的腦區, 包括與視覺注意轉移有關的多個腦區—雙側頂上回和右側額下回。Spelke和 Dehaene (1999)的 fMRI研究發現近似計算時,雙側頂葉受到較大程度激活, 其中還包括右側楔前葉、左右中央前溝、左背外側前額葉皮質等區域, 這些區域主要負責視覺空間注意。研究表明,成人能夠對不同類型的項目序列進行近似數量表征, 例如視-空間序列(visual-spatial arrays) (Barth,2001; Barth, Kanwisher, ＆amp; Spelke, 2003), 這時就需要其它腦區的參與。頂內溝腦區依賴其它幾個腦區準確地感知數字。當我們使用ANS時, 我們必須瀏覽物體的集合來評估他們的數量。初級視覺皮質負責忽視不相關的信息, 例如物體的大小和形狀。某些視覺線索有時能影響 ANS的功能,物體不同的安排也會改變ANS的效果。當我們比較幾組物體時, 如果不同組之間的差異是數值上的而不是其它選擇因素, 例如形狀或大小的差異,IPS的激活更大(Cantlon et al., 2006)。說明當運用ANS粗略估計大小時, IPS起了積極的作用。

Piazza, Giacomini, Bihan和Dehaene (2003)fMRI研究發現, 在對4以上的數量命名時與注意相關的后頂葉和額葉激活程度劇烈增加。Luo,Nan和Li (2004)的ERP研究提供了與此一致的證據。他們在數量表征任務中加入分心變量, 被試的任務是判斷目標刺激數量的奇偶性。結果發現分心刺激對4～6范圍內數量加工的正確率的影響明顯大于 1～3范圍, 表明個體對大數的表征比對小數的表征更依賴于空間注意。

采用神經影像技術、近紅外光譜技術對嬰兒的研究揭示出在語言發展之前, 頂葉是數量表征的特殊腦區(Hyde et al., 2010)。這表明數字認知最初可能是局限在大腦的右半球, 通過復雜數量表征的發展和練習, 逐漸發展到大腦雙側。已有研究表明, 執行數字類型的任務時 IPS被獨立的激活, 激活的強度取決于任務的難度, 當任務變難時, IPS的激活會增多(Sousa, 2010)。

4 近似數量系統的干預訓練

隨著對近似數量系統遺傳和神經基礎研究的深入, 不少學者發現在早期數學學習過程中, 有些兒童和青少年表現出數學學習困難(mathematics learning disability), 即智力正常, 但數學學習成績明顯低于其年齡、智力和教育程度應有水平的現象(賴穎慧, 朱小爽, 黃大慶, 陳英和, 2014)。Pinhas, Donohue, Woldorff和 Brannon (2014)研究發現, 學齡前兒童在完全掌握言語計數列表之前,會將數字單詞映射到近似數量表征。近似數量系統發育遲滯是導致兒童產生數學學習困難的一個重要原因。Piazza等(2010)發現在智力發展上, 數學學習困難兒童在 10歲時的近似數量系統發展狀況與5歲正常兒童的發展狀況相當。近似數量系統發展遲滯會導致較差的數量感覺, 較差的數量感覺對兒童數字詞語含義和阿拉伯數字的早期學習可能有潛在的影響, 使他們的學習狀況落后于正常兒童(Geary, 2013)。Mazzocco, Feigenson和Halberda (2011)也發現近似數量系統精確性受損是數學學習困難形成的基礎。近似數量系統的發展受到多種因素的影響。盡管一定程度上, 必然要歸結于隨著個體年齡的增長, 近似數量系統本身不斷趨于成熟(Starr et al., 2013)。但是研究表明, 后天的環境和教育(比如數學學習) (Piazza et al., 2013), 一般認知能力(如視空工作記憶、閱讀流暢性、言語和非言語能力等) (Tosto et al., 2014)等因素也能夠影響近似數量表征的發展。最近的一項對同卵雙生子和異卵雙生子的數感基因敏感性研究發現, 數感是適度遺傳(32%), 個體差異很大程度上是由非共享的環境造成的(68%) (Tosto et al., 2014)。因此, 對兒童尤其是對數學學習困難兒童的近似數量系統的干預就顯得尤為重要。

4.1 教育干預

近似數量系統被認為是個體后期抽象符號數字概念結構的文化基礎(Piazza et al., 2010)。研究發現, 近似數量系統精確性與正常兒童和有計算障礙兒童的數學成績之間均呈現顯著的相關(Halberda, Mazzocco, ＆amp; Feigenson, 2008)。Fuhs和McNeil (2013)認為教育是影響個體近似數量系統發展的重要因素, 近似數量系統可能在個體在學校教育中發展起來的數學流暢性中起了重要作用。相反地, 符號數字知識和算術的獲得也會提高近似數量系統精確性(Piazza et al., 2010)。

Fuhs和McNeil (2013)以低收入家庭的兒童為被試, 研究發現, 兒童ANS精確性和數學能力之間的關系成較小的邊緣顯著, 關系較弱而且是不穩定。而在接受正式的學校教育之前獲得早期家庭數學教育的中、高收入家庭兒童的ANS精確性較高, 數學成績也較高。這表明早期的數學經驗有助于提高 ANS精確性, 影響 ANS精確性和數學成績之間的關系。而低收入家庭的兒童在入學以前, 很少有機會接觸數學知識和指導(Fhus ＆amp;McNeil, 2013), 所以他們的ANS精確性較低。為了排除早期教育的影響, Piazza等人(2013)以巴西原始部落的土著居民為被試, 被試的教育水平從未接受教育到接受了幾年當地學校的教育不等。研究發現教育能夠顯著提高非言語近似數量系統的精確性, 文化和教育對基礎的數字知覺有很重要的影響, 符號和非符號數字思維在數學教學的過程中是彼此互相增強的。

在以成人為被試的研究中發現了與兒童研究相一致的結論。Nys等人(2013)以從未接受過任何教育的成年人、只接受過數學教育但沒有接受過正規教育的成年人、接受過全部正規教育的成年人為被試。結果發現, 與其他兩組被試相比, 未接受過任何教育組的被試在符號和非符號性的數字比較任務中反應時較慢, 錯誤率較高; 在完成非符號數量與符號數量相聯系的任務中表現的更加困難。Lindskog, Winman和Juslin (2013)以數學、經濟和人類學三種不同專業的大學生為被試, 分別在大學一年級和大學三年級時對他們進行測試,來研究高等教育對成人ANS精確性的影響。研究發現, 接受3年教育經濟專業學生的ANS精確性要比只接受 1年教育的經濟專業的學生高, 非符號辨別能力跟數學專業的學生一樣好, 接受 3年數學教育后, 經濟學專業學生的ANS精確性顯著提高。

這些發現表明, 經過數學教育獲得準確的數學知識, 將有助于提高近似數量系統的精確性,使成年人在近似數量系統的發展中受益, 表現出更加精確的近似數量技能。

4.2 短期訓練和反饋干預

近似數量表征的能力并不是一成不變的, 它隨著年齡的發展而提高。并且人類大腦具有很強的可塑性。那么近似數量系統精確性能否在短期的訓練中得到提高？存在近似數量系統精確性的快速反饋效應嗎？

由于個體童年期符號數學能力和近似數量系統之間存在相關, 所以研究者推測近似數量精確性對個體的數學能力有持續的影響, 在個體學習數字意義之前提高其近似數量系統精確性有助于提高個體的數學能力。Wilson, Revkin, Cohen,Cohen和Dehaene (2006)以7～9歲有計算障礙的兒童為被試, 對其進行了為期5周的數字比較訓練,每周訓練 4天, 每天半個小時。訓練前后分別對被試進行測試。結果發現, 兒童在核心數感任務中的表現有明顯的改善。Obersteiner, Reiss和Ufer(2013)在一個高度控制的學習環境中對一年級的典型發展的兒童進行近似數量系統的干預訓練,研究發現在經歷10次訓練后, 兒童基本數量加工能力顯著提高。Hyde, Khanum和Spelke (2014)也發現, 對兒童進行簡單的非符號近似數量訓練能夠提高其隨后的算術精確性。DeWind和Brannon(2012)對成人被試進行6次訓練, 研究發現, 在第2～5次訓練任務中引入反饋后, 被試的近似數量系統精確性顯著提高, 并且在第 6次訓練中移除反饋后, 這種提高仍舊保持, 進一步證明了訓練和反饋能夠提高個體近似數量系統精確性。Park和 Brannon (2013)的研究結果與此一致, 經過幾次訓練后, 被試以近似數量系統為基礎的近似算術任務中的表現顯著提高, 近似算術的訓練和符號數學能力之間的聯系表明, 對個體的近似數量系統進行干預能夠改善數學能力。例如, 在未接受符號數字知識之前對低數學能力的兒童進行訓練, 以提高他們在后期發展中符號數學流暢性。然而, 在接下來的研究中, 韋伯分數幾乎沒有變化, 這說明近似數量系統的精確性經過持續的訓練之后變得穩定和不敏感。也就是說, 反饋與訓練可以提高近似數量系統的精確性, 有助于近似數量系統的發展。但是這種作用是有限的, 并不是一直都如此。至于具體是在什么時間和階段,反饋不再影響近似數量系統的發展, 未來研究還應繼續探討。

然而, Lindskog等(2013)卻對Park和Brannon(2013)的研究結果提出了質疑, 認為該研究中缺乏控制組, 很難將ANS精確性效應與被試的任務訓練效應、知覺學習、或者動機效應分開。所以Lindskog等人在對上述變量進行控制后, 對被試進行訓練并引入反饋。研究結果發現非符號任務的單獨訓練不會在短期內使數感迅速提高, 這表明數感的特征可能是它的惰性而不是可塑性, 至少對于成人是這樣的。當然, 更持續的培訓可能會導致學習, 這是有可能的。近似數量系統精確性可以通過其他方式提高也是有可能的。近似數量系統精確性和一般數學成績之間的相關可能受到動機的調節。未來研究應該探討這種可能性。

5 小結與展望

隨著社會認知神經科學的發展, 人們對人類近似數量系統的認識取得了極大的進步, 但探索的腳步并未僅止于此。

第一, 目前國內對于近似數量系統的理論研究和實證研究都相對較少。此外, 近似數量系統精確性與一般認知能力相互作用的神經機制是什么？近似數量表征到底需不需要語言的參與？目前尚無定論。隨著科技的發展, 在心理學領域掀起了一股認知神經科學研究的熱潮, 其相關研究手段如事件相關電位技術(ERP)、功能磁共振成像技術(fMRI)等應更多的用于近似數量系統精確性的研究。未來從認知的神經生理層面考察近似數量系統將進一步揭示其內在神經生理機制, 為將來近似數量系統精確性干預方案的制定提供更充分的理論依據和支持。值得注意的是, 行為遺傳學的興起讓越來越多的研究者關注基因以及基因與環境的相互作用對ANS精確性的影響。但是迄今為止, 對與近似數量表征能力有關的基因的辨別是通過基因缺失的被試來進行的, 某一基因的缺失可能會導致多種認知能力的失調, 因此要想知道ANS真正的遺傳基因, 還應通過正常人進行更深入、具體的研究。Tosto等人(2014)發現, 男生和女生在數感能力個體差異的病因學方面沒有顯著差異。這說明攜帶數感這種遺傳物質的基因可能位于22對常染色體上, 而究竟位于哪條染色體上目前還沒有研究, 未來有必要對這一領域做更深入的探索。

第二, 近似數量系統影響因素的研究有待拓展。縱觀近似數量系統的干預研究可以發現, 個體近似數量系統的精確性不是一成不變的, 具有很強的可塑性。所以未來研究應該進一步探索近似數量系統的影響因素。通過對這些影響因素進行操縱或干預來提高個體ANS精確性。眾多研究發現工作記憶與數學能力具有相關關系(Purpura＆amp; Ganley, 2014), 對兒童進行工作記憶任務訓練能提高其工作記憶能力, 兒童的計算能力也相應提高(Kroesbergen, van’t Noordende, ＆amp; Kolkman,2014)。所以研究者推測工作記憶可能會影響ANS精確性。此外 Tosto等(2014)對16歲被試的研究發現其數量辨別與同時期的加工速度(0.25)、視覺空間工作記憶(0.22)、語言(0.21)、閱讀流暢性和理解能力(0.16)都有關, 但是這些研究都還不夠充分, 需要進一步驗證。

第三, 關于近似數量系統和數學能力關系的研究仍然存在爭議。大量研究結果證明, 兒童近似數量系統精確性與數學能力存在相關關系。然而, Fuhs和McNeil (2013)研究發現, 參加啟蒙計劃的兒童的近似數量系統精確性和數學能力之間呈現較小的邊緣顯著, 當控制了接受詞匯后, 這種關系消失。Gilmore等(2013)也發現, 抑制控制的個體差異而不是近似數量系統精確性與數學成績相關。Sasanguie, Defever, Maertens和Reynvoet(2014)研究發現幼兒園兒童ANS精確性不能預測其6個月后符號數量加工中的表現。Attridge, Gilmore,Inglis和Batchelor (2010)以成年人為被試, 檢驗近似數量系統與數學能力是否相關。研究結果發現,對于成年人而言, 數學能力與近似數量系統精確性的相關是不存在的。研究者認為這是因為到了成年階段, 個體數學知識的增加就停止了, 他們之間的相關關系也就不存在了。事實上, 很多前人的研究中已經發現 ANS精確性存在的個體差異與數學知識的變異有關, ANS精確性不是兒童數學成績的唯一決定因素, 也不是最強的決定因素。個體的動機水平(Lindskog et al., 2013)、抑制控制能力(Gilmore et al., 2013; Fuhs ＆amp; McNeil,2013)、家庭收入水平(Fuhs ＆amp; McNeil, 2013)都會影響近似數量系統和數學成績之間的關系。例如Van Marle, Chu, Li和Geary (2014)對學前兒童的研究發現 ANS精確性和數學成績之間的關系以兒童符號數量任務表現為完全中介, ANS精確性促進早期符號數量知識的學習, 通過這些知識間接影響數學成績。此外, 近似數量系統精確性與符號數學能力之間關系的方向也有不同的觀點。Starr等人(2013)以未獲得語言計數系統和接觸數學運算教育的 6個月的嬰兒為被試, 研究發現嬰兒前語言數感能夠預測學齡前兒童的數學能力,近似數量系統精確性與數學能力之間具有因果關系。然而, Mussolin, Nys, Content和Leybaert(2014)研究發現, 符號數學能力能夠顯著預測學齡前兒童的 ANS精確性, 反過來這種預測就不顯著。ANS精確性和符號數學能力之間關系的方向仍有待驗證。未來研究需要檢驗ANS精確性是如何與其它影響數學成績的因素相聯系的, 在研究 ANS和符號數學之間的關系時, 研究者需要考慮很多潛在的調節變量。

最后, 未來應進一步將近似數量系統的有關研究發現應用到有數學學習困難學生的日常學習與生活中去。根據不同國家用于界定數學困難的不同標準, 數學困難影響著3.5%～13.8%智力正常的學齡兒童(Rousselle ＆amp; No?l, 2008)。數學學習困難所引起的數學焦慮情緒嚴重影響著學生的學業成績和身心健康(陳英和, 耿柳娜, 2005)。司繼偉、徐艷麗和劉效貞(2011)研究發現在應用題和純數字兩種估算情境下, 低數學焦慮水平被試的估算反應時最短, 其次為中等焦慮水平, 高焦慮被試反應時最長。而在準確性指標上, 高焦慮被試的估算準確性最低, 低焦慮組被試明顯高于中、高焦慮組。數學焦慮影響兒童的策略分布、策略執行的正確率及最佳選擇條件中策略選擇的正確率,成人和兒童策略選擇的適應性均受到數學焦慮的影響, 低數學焦慮者的適應性明顯更好(孫燕, 司繼偉, 徐艷麗, 2012)。McQuarrie, Siegel, Perry和Weinberg (2014)最新研究發現, 有數學困難的一年級學生在字母單詞序列和數量概念任務中的得分顯著低于正常兒童。在不考慮數學能力的情況下,一年級兒童高壓力水平對數字工作記憶、單詞工作記憶和數量概念任務較差的成績具有顯著地預測作用。有數學困難和高壓力的兒童在字母數字序列任務中的表現顯著低于有數學困難難低壓力的兒童。結果表明, 高壓力損害一年級兒童工作記憶和數學任務的成績, 有高壓力的年幼兒童可能從旨在降低壓力情境的干預中受益, 從而改善學習成績。大量研究結果證明, 數學困難兒童的ANS精確性顯著低于正常發展的同齡兒童, 教育和訓練可以提高其ANS精確性。我國存在數學困難的兒童不在少數, 所以未來研究應綜合運用各種認知神經科學研究手段從基因和腦神經層面揭示ANS的本質, 關注數困兒童, 并對他們的近似數量系統進行干預和訓練, 以提高其數學成績,幫助其適應學校和社會生活。

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