一類二階中立型時(shí)滯微分方程的振動準(zhǔn)則

康永強(qiáng)

(廣東順德職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣東順德 528300)

一類二階中立型時(shí)滯微分方程的振動準(zhǔn)則

康永強(qiáng)

(廣東順德職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣東順德 528300)

本文主要利用H(t,s)型函數(shù)和廣義Riccati變換技巧，建立二階中立型時(shí)滯擬線性微分方程[r(t)|x′(t)|γ-1x′(t)]′+q0(t)|y(t-σ)|γ-1y(t-σ)+q1(t)|y(t-σ1)|α-1y(t-σ1)+q2(t)|y(t-σ2)|β-1y(t-σ2)=0.其中x(t)=y(t)+p(t)y(t-τ)，在0≤p(t)≤1的新的振動準(zhǔn)則.

二階擬線性微分方程；振動性；Riccati變換技巧；H(t,s)型函數(shù)；中立型；時(shí)滯

本文考慮二階中立型時(shí)滯擬線性微分方程

[r(t)|x′(t)|γ-1x′(t)]′+q0(t)|y(t-σ)|γ-1y(t-σ)+q1(t)|y(t-σ1)|α-1y(t-σ1)

+q2(t)|y(t-σ2)|β-1y(t-σ2)=0,t≥t0.

(1.1)

其中x(t)=y(t)+p(t)y(t-τ).以下假設(shè)：

(A1)τ，σ，σ1，σ2是非負(fù)的常數(shù)，α，β，γ是正的常數(shù)，σ≥σ1，σ≥σ2且0<α<γ<β；

(A2)q0,q1,q2∈C([t0,∞),R+),R+=[0，∞)；

(A3)r∈C([t0,∞),(0,∞)),p∈C([t0,∞),R)，且-1

函數(shù)y(t)∈C([Ty,∞),R),Ty≥t0.是方程(1.1)的解，若p(t)|x′(t)|α-1x′(t)∈C1(Ty，∞)，且滿足方程(1.1).我們主要考慮方程(1.1)的非平凡解y(t)，即sup{|y(t)|∶t≥T}>0,T≥Ty.若它有任意大的零點(diǎn)，稱之為振動的；否則，稱之為非振動的. 若方程(1.1)的所有非平凡解都是振動的，方程(1.1)稱為振動的.

當(dāng)p(t)≡0,q1(t)≡0,q2(t)≡0,σ=0時(shí)，方程(1.1)轉(zhuǎn)化為半線性微分方程

[r(t)|y′(t)]γ-1y′(t)]′+q0(t)|y(t)|γ-1y(t)=0.

(1.2)

關(guān)于方程(1.2)的Sturm比較定理和解的零點(diǎn)分離定理，Elbert[3]，Li和Yeh[4]，Manojlovic[5]利用Philos[6]提出的二元函數(shù)H(t,s)型積分平均輔助函數(shù)，研究了方程(1.2)的振動性.Wang[7]將Manojlovic[5]定理1.1中的限制“ρ′(t)≥0”去掉.Wang和Yang[8]研究了方程(1.2)的區(qū)間振動性.Xu和Liu[9]得到如下結(jié)果.

本文受Wang[7]，Wang和Yang[8]，Xu和Liu[9]以及Liu[10]等的啟發(fā)，將文獻(xiàn)[9]的結(jié)果推廣至(1.1).在0≤p(t)≤1的情形下，建立方程(1.1)新的振動準(zhǔn)則.首先給出一個(gè)不等式，可見Hardy[16].

引理2 假設(shè)X≥0，Y≥0，則Xq+(q-1)Yq-qXYq-1≥0，q>1，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)X=Y.

D0={(t,s)∈R2∶t>s≥t0}，D={(t,s)∈R2∶t≥s≥t0}.

對于給定的函數(shù)h∈C(D,R)，ρ∈C1([t0,∞),R+)和η∈C1([t1,∞),R)，記

Θ(t,s)=Q(s)-η′(s)+φ(x)+λ(t,s)η(s).

(2.1)

則方程(1.1)是振動的.

證明 令y(t)是方程(1.1)的非振動的解，不失一般性，假設(shè)y(t)≠0，t≥t0.當(dāng)用u=-y代換方程(1.1)時(shí)，定理1的假設(shè)形式是相同的，因此不妨存在t1>t0，使得

y(t)>0,y(t-τ)>0,且y(t-σ)>0,y(t-σ1)>0，y(t-σ2)>0,t≥t1.

(2.2)

類似文獻(xiàn)[11]中引理1(1)的證明(也可參考文獻(xiàn)[12])，對某個(gè)T0≥t1+τ+σ有

x(t)>0,x′(t)>0，且x″(t)<0,t≥T0-τ-σ.

(2.3)

由(2.3)，可注意到x(t)≥y(t)，則有

y(t)≥x(t)-p(t)x(t-τ)≥[1-p(t)]x(t).

由此，對任意的t>T0，有

y(t-σ)≥[1-p(t-σ)]x(t-σ)，

y(t-σ1)≥[1-p(t-σ1)]x(t-σ1)≥[1-p(t-σ1)]x(t-σ),

y(t-σ2)≥[1-p(t-σ2)]x(t-σ2)≥[1-p(t-σ2)]x(t-σ).

于是，由方程(1.1)可得，當(dāng)t≥T0時(shí)

[r(t)|x′(t)|γ-1x′(t)]′+q0(t)[1-p(t-σ)]γxγ(t-σ)+q1(t)[1-p(t-σ1)]αxα(t-σ)

+q2(t)[1-p(t-σ2)]βxβ(t-σ)≤0.

(2.4)

定義

(2.5)

由(2.4)和x′(t)

(2.6)

根據(jù)楊氏不等式Hardy[文獻(xiàn)16，定理61]可得

于是

q1(t)[1-p(t-σ1)]αxα-γ(t-σ)+q2(t)[1-p(t-σ2)]βxβ-γ(t-σ)≥Q(t).

(2.7)

結(jié)合(2.6)和(2.7)，當(dāng)t≥T0時(shí)，有

(2.8)

將(2.8)用s代換t，用H(t,s)相乘，并在[T,t]上積分，根據(jù)(H2)，對所有的t≥T≥T0，有

(2.9)

現(xiàn)令

根據(jù)引理3，則有

(2.10)

將(2.10)代入(2.9)，得到

令T=T0，則有

(2.11)

因此，根據(jù)(H2)得到

即

(2.12)

因(2.12)在t→∞時(shí)上極限的結(jié)果與條件(2.1)矛盾，則定理1得證.

(2.13)

且

(2.14)

條件(C2)：0≤p(t)≤1，存在φ∈C([t0,∞)，R)，使

(2.15)

且對任意的T≥t0，有

(2.16)

其中φ+(s)=max{φ(s),0}.

當(dāng)方程(1.1)滿足(C2)時(shí)，方程(1.1)是振動的.

φ(T)≤ω(T),T≥T0.

(2.17)

定義

則根據(jù)(2.11)和(2.17)，可知

(2.18)

現(xiàn)在我們斷定有下式成立

(2.19)

否則，假定(2.19)的相反情形

(2.20)

根據(jù)(2.13)，存在一個(gè)正的常數(shù)k1，使得

(2.21)

令k2是任意常數(shù)，從(2.20)可知，存在T1,T1≥T0，使得

(2.22)

而且

根據(jù)(2.21)，存在一個(gè)T2,T2≥T1，使得H(t,T1)/H(t,T0)≥k1，對任意t≥T2，說明Q(t)≥k2y，即

(2.23)

Q(Tn)-P(Tn)≤M.

(2.24)

對任意大的n∈N，由(2.24)確定

(2.25)

另外，由(2.24)表明

(2.26)

因此，由(2.24)和(2.26)，得出不等式

對任意大的n∈N，根據(jù)上式和(2.26)

(2.27)

而且有

由(2.18)和(2.20)得到

這與(2.15)矛盾，則定理2得證.

(2.29)

條件(C3):0≤p(t)≤1，存在φ∈C([t0,∞),R)使(2.15)成立，且對任意T≥t0，有

(2.30)

當(dāng)方程(1.1)滿足(C3)時(shí)，方程(1.1)是振動的.

(2.31)

當(dāng)方程(1.1)滿足(C4)時(shí)，方程(1.1)的解是振動的.而且，假設(shè)φ∈C([t0,∞),R)，則(2.15)和(2.30)成立.

[1]C.A.Swanson,Comparison and Oscillation Theory of Linear Differential Equations[J].New York:Academic Press, 1968.

[2]燕居讓.常微分方程的振動理論[M].太原:山西教育出版社,1992.

[3]A.Elbert.A half-linear second order differential equation,Colloq[M].Math.Soc.Janos Bolyai:Qualitative Theory of Differential Equations,Szeged,1979:153-180.

[4]H.J.Li,CC.Yeh,Sturmian comparison theorem for half-linear second-order differential equations[J].Proc. Royal Soc.Edinburgh,1995,125A:1193-1204.

[5]J.V.Manojlovi′c,Oscillation criteria for second-order half-linear differential equations[J].Math.Comput. Modelling,1999(30):109-119.

[6]Ch.G.Philos,Oscillation theorems for linear differential equations of second order[J].Arch.Math.Basel, 1989(53):482-492.

[7]Wang,Qi-Ru.Oscillation and asymptotics for second-order half-linear differential equations[J].Appl.Math. Comput,2001(2):253-266.

[8]Wang,Qi-Ru,Yang,Qi-Gui.Interval criteria for oscillation of second-order half-linear differential equations[J].J.Math.Anal.Appl.，2004,291(1):224-236.

[9]Xu Zhi-ting,Liu Xiu-xiang.Philos-type oscillation criteria for Emden-Fowler neutral delay differential equations[J].J.Comput.Appl.Math.,2007,206(2):1116-1126.

[10]Liu Hai-dong.Comment on the paper“Interval criteria for oscillation of second-order nonlinear neutral differential equations”[J]. Comput.Math.Appl.,2008,56(6):1662-1663.

The Oscillation Criteria for a Class of Second-order Neutral Delay Differential Equations

GANG Yong-qiang

(Shude Polytechnic, Foshan Guangdong 528300, China)

Using H(t,s) type function and the generalized Riccati transformation technique, this thesis intended to establish the new oscillation criteria in 0≤p(t)≤1 for a class of second-order neutral delay quasi-linear differential equations of the form

second-order quasi-linear differential equations; oscillation; Riccati transformation technique;H(t,s)type function; neutral; delay

2014-07-30

康永強(qiáng)(1969- )，男 ，甘肅永登人，廣東順德職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師，碩士，從事確定性系統(tǒng)理論與應(yīng)用研究。

O175

A

2095-7602(2015)02-0001-06

[r(t)|x′(t)|γ-1x′(t)]′+q0(t)|y(t-σ)|γ-1y(t-σ)+q1(t)|y(t-σ1)|α-1y(t-σ1)+q2(t)|y(t-σ2)|β-1y(t-σ2)=0,

x(t)=y(t)+p(t)y(t-τ).