SCARA機(jī)器人模糊自適應(yīng)滑模控制

許 凡，白瑞林，過(guò)志強(qiáng)，閆文才

1.江南大學(xué) 輕工過(guò)程先進(jìn)控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，信息與控制實(shí)驗(yàn)教學(xué)中心，江蘇 無(wú)錫 214122

2.無(wú)錫信捷電氣有限公司，江蘇 無(wú)錫 214072

1 引言

機(jī)器人作為復(fù)雜的多輸入多輸出非線性系統(tǒng)，具有時(shí)變、強(qiáng)耦合和非線性的動(dòng)力學(xué)特征。傳統(tǒng)的PID控制、計(jì)算力矩控制依賴(lài)精確的動(dòng)力學(xué)模型，很難實(shí)現(xiàn)快速、高精度的機(jī)器人軌跡跟蹤控制。近年來(lái)，很多學(xué)者結(jié)合諸如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[1-2]、迭代學(xué)習(xí)控制[3-4]、模糊控制理論[5]提出了相關(guān)的機(jī)器人軌跡跟蹤控制算法。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、迭代學(xué)習(xí)控制在被控對(duì)象發(fā)生變化時(shí)，需要一個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程來(lái)調(diào)整控制策略，不適合快時(shí)變的被控對(duì)象；模糊控制由于模糊規(guī)則大多數(shù)取決于經(jīng)驗(yàn)，存在局限性。

滑模變結(jié)構(gòu)控制的滑動(dòng)模態(tài)運(yùn)動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的參數(shù)攝動(dòng)、外界擾動(dòng)、系統(tǒng)不確定具有不變性，且控制結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，因此非常適用于機(jī)器人軌跡跟蹤控制。要改善滑模控制的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，一方面要設(shè)計(jì)合理的滑模面：康宇[6]等提出了一種新的指數(shù)滑模面，加快了系統(tǒng)沿滑模面的收斂速度。Xinghuo Yu[7]等人設(shè)計(jì)了一種快速終端滑模面，實(shí)現(xiàn)了初始狀態(tài)遠(yuǎn)離滑模面的快速收斂，但是存在奇異性。文獻(xiàn)[8]設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)型的積分滑模面改善系統(tǒng)的跟蹤速度和超調(diào)量。另一方面需要設(shè)計(jì)合理的趨近律：高為炳[9]提出了趨近律的概念，為縮短趨近過(guò)程時(shí)間以及削弱抖振提供了一個(gè)有效的方法。Charles J[10]等人在指數(shù)趨近律的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了一函數(shù)代替恒定趨近系數(shù)，根據(jù)誤差大小動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)趨近系數(shù)；王燕[11]等提出了一種改進(jìn)趨近律的快速非奇異終端滑模控制策略。席雷平[12]等提出了一種模糊冪次趨近律，在保證抖振抑制效果的前提下提高了系統(tǒng)的趨近速度。梅紅[13]等提出了一種新的雙冪次趨近律，使系統(tǒng)在趨近過(guò)程中有較高的速度，并消除了傳統(tǒng)滑模的固有抖振。

本文從滑模控制器的滑模面和趨近律兩個(gè)方面入手，對(duì)SCARA機(jī)器人滑模控制系統(tǒng)進(jìn)行了設(shè)計(jì)。針對(duì)快速終端滑模面的奇異性進(jìn)行改進(jìn)，設(shè)計(jì)了一種非奇異的快速終端滑模面；對(duì)趨近律進(jìn)行了改進(jìn)，同時(shí)采用雙曲正切函數(shù)替代傳統(tǒng)的符號(hào)函數(shù)，有效地消除了抖振；通過(guò)自適應(yīng)模糊控制調(diào)節(jié)趨近律參數(shù)，改善了初始狀態(tài)力矩沖擊問(wèn)題。

2 SCARA機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型

對(duì)于一個(gè)n關(guān)節(jié)的機(jī)器人系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)方程可以由以下二階非線性微分方程描述[14]：

SCARA機(jī)器人如圖1所示。利用拉格朗日方法，可以求出動(dòng)力學(xué)模型[15]如下：

圖1SCARA機(jī)器人

其中，mi代表各連桿的質(zhì)量，li代表各連桿長(zhǎng)度，Ci,Si是cos(qi),sin(qi)的簡(jiǎn)寫(xiě)。

3 非奇異快速滑模面的設(shè)計(jì)

滑模控制可分成趨近與滑模運(yùn)動(dòng)兩個(gè)階段。在滑模運(yùn)動(dòng)階段，閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性完全由滑動(dòng)模態(tài)決定，系統(tǒng)表現(xiàn)出完全魯棒性。常見(jiàn)的滑模面有：線性滑模面、終端滑模面，以及快速終端滑模面。其中快速終端滑模面的收斂速度最快：

式中參數(shù)α＞0,β＞0,2＞λ＞1。但是當(dāng)狀態(tài)變量小于零時(shí)，某些情況下可能存在指數(shù)項(xiàng)非實(shí)數(shù)的情況，從而無(wú)法在實(shí)數(shù)域到達(dá)滑模面，存在局限性。本文改進(jìn)了快速終端滑模面：

將機(jī)器人關(guān)節(jié)位置跟蹤誤差e作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，定義為：

式中qd為機(jī)器人期望的關(guān)節(jié)位置矢量；q為實(shí)際的關(guān)節(jié)位置矢量。則機(jī)器人控制系統(tǒng)的滑模面設(shè)計(jì)為：

式中為位置跟蹤誤差的導(dǎo)數(shù)。從式（5）知，對(duì)于任意狀態(tài)變量，都不存在和的情況，彌補(bǔ)了式（2）的不足。

下面證明系統(tǒng)將在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到平衡點(diǎn)：

令si=0，(i=0,1,…,n)當(dāng)ei＞0時(shí)，由式（5）可得：

于是式（6）改寫(xiě)為：

式（8）的通解為：

當(dāng)t=0時(shí)，C=xi(0)則式（9）改寫(xiě)為：

由于ei=0時(shí)，xi=0,t=tr代入式（10）可得：

可以求得當(dāng)ei＞0時(shí)，系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)收斂到平衡狀態(tài)ei=0的時(shí)間：

因此，該滑模面s能夠使系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到平衡點(diǎn)。當(dāng)ei＜0時(shí)，同理可證。

4 滑模趨近律的設(shè)計(jì)

4.1 改進(jìn)的滑模趨近律

滑模運(yùn)動(dòng)階段的性能主要依靠滑模面的設(shè)計(jì)來(lái)保證，而趨近階段的性能可以通過(guò)趨近律的設(shè)計(jì)來(lái)改善。常見(jiàn)的趨近律有：等速趨近律、指數(shù)趨近律、冪次趨近律。其中等速趨近律趨近速度恒定，不能靈活調(diào)節(jié)參數(shù)，且運(yùn)動(dòng)品質(zhì)不夠好；指數(shù)趨近律能夠快速地趨近滑模面，但不能使系統(tǒng)從理論上消除抖振；冪次趨近律能夠平滑地進(jìn)入滑動(dòng)模態(tài)，但是在遠(yuǎn)離滑模面時(shí)在快速性方面存在不足。

結(jié)合指數(shù)趨近律的快速性與冪次趨近律進(jìn)入滑動(dòng)模態(tài)的平滑性，設(shè)計(jì)如下的趨近律：

式中，0＜a＜1，h,k＞0。

趨近律式（13）分成兩個(gè)部分，以|s|=1為界，當(dāng)系統(tǒng)遠(yuǎn)離滑模面時(shí)(|s|＞1)趨近速度主要取決于式（13）的第一項(xiàng)；當(dāng)系統(tǒng)接近滑模面(|s|≤1)時(shí)趨近速度主要取決于式（13）的第二項(xiàng)；則該趨近律既保證了遠(yuǎn)離滑模面時(shí)的快速性，也保證了接近滑模面的平滑性，所以在加快到達(dá)滑模面的速度的同時(shí)，也削弱了系統(tǒng)的抖振。

趨近律式（13）可達(dá)性的證明：

滑模控制可達(dá)性條件是：

式（13）的趨近律滿足：

4.2 雙曲正切函數(shù)改善系統(tǒng)高頻抖振

為了進(jìn)一步消除滑模控制系統(tǒng)的高頻抖振，考慮采用雙曲正切函數(shù)代替符號(hào)函數(shù)，其表達(dá)式為：

由圖2可見(jiàn)，雙曲正切函數(shù)相比于符號(hào)函數(shù)，隨自變量趨近飽和的變化速度更平緩。同時(shí)，可以引入適當(dāng)?shù)脑鲆嫦禂?shù)，調(diào)整過(guò)零點(diǎn)的斜率，即趨近飽和的速度。用雙曲正切函數(shù)可有效地消除高頻抖振。所以將趨近律改進(jìn)為：

其中h,k＞0,1＞a＞0,b＞1。

圖2 符號(hào)函數(shù)與雙曲正切函數(shù)曲線

4.3 趨近律系數(shù)的模糊自適應(yīng)調(diào)整

機(jī)器人滑模控制系統(tǒng)在初始狀態(tài)遠(yuǎn)離滑模面時(shí)有較大的誤差和誤差變化率，此時(shí)控制器會(huì)產(chǎn)生較大的輸出力矩，對(duì)機(jī)器人系統(tǒng)造成很大的損害。為避免這種情況，對(duì)滑模控制的趨近律系數(shù)進(jìn)行模糊控制，通過(guò)調(diào)節(jié)k來(lái)達(dá)到：當(dāng)誤差及誤差變化率大的時(shí)候盡量減小k；反之，則增加k。

選擇e,de,k的論域，將它們模糊化為7個(gè)等級(jí)，定義如下：

表示為{-3,-2,-1,0,1,2,3}，分別對(duì)應(yīng)負(fù)大，負(fù)中，負(fù)小，零，正小，正中，正大。

建立ki的調(diào)整規(guī)則，具體的控制規(guī)則為：當(dāng)ei或dei較大時(shí)，適當(dāng)減小ki的值；當(dāng)ei或dei較小時(shí)，則適當(dāng)增大ki的值。

為使已有模糊控制器具有更強(qiáng)的應(yīng)變性，采用控制規(guī)則可自調(diào)整的自適應(yīng)模糊控制器。對(duì)于一個(gè)二維的模糊控制器，當(dāng)其輸入變量E、DE和輸出量U的論域劃分等級(jí)相同時(shí)，所引入的描述控制規(guī)則表達(dá)式為：

圖3 趨律系數(shù)的自適應(yīng)模糊調(diào)整

通過(guò)調(diào)節(jié)θ值便可以對(duì)控制規(guī)則進(jìn)行調(diào)整。θ值的大小直接反應(yīng)對(duì)誤差E和誤差變化率DE的加權(quán)程度。

5 SCARA機(jī)器人滑模控制律的設(shè)計(jì)

對(duì)式（5）進(jìn)行微分可得：

將式（4）代入式（19）可得

由式（1）可知

將式（21）代入式（20）可得

由式（22）和式（13）可知

根據(jù)式（23）所描述的控制系統(tǒng)，如圖4所示。

圖4 控制器系統(tǒng)框圖

6 實(shí)驗(yàn)測(cè)試與分析

SCARA機(jī)器人的物理參數(shù)如下：m1=15 kg,m2=12 kg,m3=3 kg,m4=3 kg,l1=0.5 m,l2=0.4 m,r=0.2 m,g=9.8 m/s2。

期望的跟蹤軌跡：

初始條件為：

控制參數(shù)為：

α=5,β=1,λ=1.9,k=10,h=7,a=0.2,b=5,為方便說(shuō)明本文控制算法的有效性，將本文的算法與方法（a）（線性滑模面+快速趨近律）、方法（b）（快速終端滑模面+指數(shù)趨近律）進(jìn)行對(duì)比。

圖5 位置跟蹤

圖6 輸出轉(zhuǎn)矩

仿真結(jié)果如圖5、6所示。從圖5的（a）、（b）、（c）可以看出，當(dāng)初始誤差不為零時(shí)，本文提出的非奇異快速終端滑模面結(jié)合改進(jìn)的趨近律的滑模控制的跟蹤速度比方法（a）、方法（b）的趨近速度快，從圖5的（d）可以看出，在初始誤差為零時(shí)，穩(wěn)態(tài)誤差接近零，有很好的跟蹤效果。結(jié)合圖5和圖6可以看出，在保證跟蹤速度的同時(shí)，改進(jìn)的算法很好地消除了系統(tǒng)的抖振，同時(shí)降低了初始誤差較大時(shí)的大力矩。由此可見(jiàn)，本文提出的算法在保留原有快速跟蹤的同時(shí)，有效消除了抖振，降低了誤差較大時(shí)的力矩沖擊，提高了系統(tǒng)的控制性能。

7 結(jié)論

本文以工業(yè)上應(yīng)用極為廣泛的SCARA機(jī)器人為研究對(duì)象，進(jìn)行了SCARA機(jī)器人的基于飽和函數(shù)的改進(jìn)趨近律的模糊滑模機(jī)器人軌跡跟蹤控制，并通過(guò)MATLAB分別對(duì)幾種算法進(jìn)行了仿真與對(duì)比試驗(yàn)。通過(guò)對(duì)比分析可知，該方法具有良好的控制性能。

針對(duì)快速終端滑模面的當(dāng)狀態(tài)變量為負(fù)時(shí)出現(xiàn)的奇異性，對(duì)快速終端滑模面進(jìn)行了改進(jìn)，有效提高收斂速度的同時(shí)，保證了系統(tǒng)的非奇異性。

結(jié)合了指數(shù)趨近律和冪次趨近律的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)滑模控制的趨近律進(jìn)行改進(jìn)，有效地提高了軌跡跟蹤控制的收斂速度。

引入了雙曲正切函數(shù)，代替滑模控制中的符號(hào)函數(shù)，有效地消除了高頻抖振，并且可以通過(guò)調(diào)節(jié)增益系數(shù)，即過(guò)零點(diǎn)斜率。

采用模糊自適應(yīng)控制器對(duì)趨近律中指數(shù)項(xiàng)的系數(shù)進(jìn)行修正，改善了由于大范圍的初始位姿偏差而引起的大力矩問(wèn)題。

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