基于磁懸浮控制力矩陀螺的航天器姿態角速率測量方法

王平，王華，任元

(1. 裝備學院 研究生院，北京101416;2. 裝備學院 航天裝備系，北京101416)

0 引言

磁懸浮控制力矩陀螺(CMG)是航天器進行姿態控制的一種重要執行機構［1-3］，由定常轉速的大慣量動量飛輪轉子及其磁軸承支承系統、高速驅動電機、框架及其伺服系統等組成［4-5］，通過轉動框架實現轉子角動量的強制改變，從而向外輸出陀螺力矩，實現航天器的姿態控制［6-8］。磁懸浮CMG 主要用作執行機構，用作測量的目前還未見報道。

目前對航天器進行姿態角速率檢測主要是在航天器姿態控制系統中附加速率陀螺，進而實現對航天器姿態的閉環控制［9-10］。傳統姿控系統的體積重量往往較大，且一旦速率陀螺發生故障，姿控系統便陷入癱瘓狀態。此外由于檢測裝置與執行裝置之間往往存在減震隔離裝置，導致控制與檢測不共位，必然導致異位控制問題，從而影響姿態控制系統的穩定性和魯棒性。

在磁懸浮CMG 測控一體化研究中，Fang 等通過雙框架磁懸浮CMG，將力矩執行和姿態測量結合起來［11］，但此研究將測量和控制分時復用，磁懸浮CMG 某一時刻只能工作在一種狀態，測量和控制未能同時進行。劉彬等提出了一種磁懸浮陀螺飛輪的設計方案，磁懸浮陀螺飛輪雖然控制和測量可以同時進行，但這種方法并沒有得到3 軸姿態角速率的解析表達式，不僅實用性不強，而且不便于從機理上分析姿態角速率與系統參數之間的關系［12］。

本文根據慣量矩定理和測控一體化原理，通過金字塔構型執行機構中的3 個磁懸浮CMG，利用便于直接測量和計算的磁懸浮轉子徑向力矩、磁懸浮轉子偏轉信息求解出航天器的姿態角速率的解析表達式，最后進行了仿真驗證。

1 測量方法

1.1 測控一體化原理

根據慣量矩定理，高速轉子角動量在慣性空間方向的改變只取決于它所受到的外部力矩。轉子所受的力矩是由航天器轉動、陀螺框架轉動、轉子相對位移引起的［13-14］，而轉子所受力矩的大小，是由磁軸承力唯一決定的［15-16］。航天器角速度可以通過實時檢測磁軸承電流和轉子位移，結合框架角速率，矢量解算得到。

1.2 測量方案

根據測控一體化原理，轉子所受合外力矩Mr在轉子系下的表達式可分解為兩部分:Mr= M0r+，M0r表示框架和星體靜止時磁懸浮轉子偏轉力矩，Mrext表示框架、航天器轉動引起的等效力矩。根據磁懸浮轉子力矩的分解，轉子所受合外力矩Mr和轉子偏轉力矩M0r可以通過測量計算得到，從而可以得到航天器、框架轉動等效加在轉子的力矩的大小。

2 數學模型

2.1 坐標系的選取

首先需要定義坐標系，用于描述航天器與執行機構中第n 個磁懸浮CMG 之間的關系，其中n =1，2，….

OiFi:地心慣性坐標系OiXiYiZi，原點位于地心，OiXi指向春分點，OiZi軸指向北極，并與OiYi軸構成右手坐標系。

Fo:軌道坐標系OoXoYoZo，原點Oo定義在衛星的質心，滾動軸OoXo在軌道平面內并指向衛星的速度方向，偏航軸OoZo指向地心，俯仰軸OoYo垂直于軌道平面并構成右手直角坐標系。

Fb:衛星本體坐標系ObXbYbZb，原點Ob位于衛星質心，與Oo重合，3 個坐標軸分別為衛星的3 個慣量主軸。

FCMG，n:第n 個CMG 參 考 坐 標 系OCMG，nXCMG，nYCMG，nZCMG，n，與衛星本體系固連，OCMG，n為第n 個單框架磁懸浮CMG 的轉子幾何中心，XCMG，n沿框架軸旋轉方向，YCMG，n軸沿框架零位置的轉子旋轉方向。

Fg，n:第n 個框架坐標系Og，nXg，nYg，nZg，n，與框架固連，隨框架軸轉動，Og，n與OCMG，n重合，框架初始零位置時，Fg，n與FCMG，n系重合。

Ff，n:第n 個磁軸承安裝系Of，nXf，nYf，nZf，n，與框架固連，由框架坐標系繞Yg，n旋轉45°得到，Of，n與Og，n重合。轉子A、B 兩端各有一組磁軸承，兩端運動呈中心對稱，如無特殊說明，文中Ff，n均表示A 端的磁軸承安裝系。

Fr，n:第n 個磁懸浮轉子坐標系Or，nXr，nYr，nZr，n，與轉子固連，但不與轉子沿軸向高速旋轉，轉子初始靜浮未偏轉時，Of，n與Or，n重合。

本文中CF2F1表示從F1到F2系的坐標轉換矩陣。

2.2 轉子所受合外力矩Mr 模型

單框架磁懸浮CMG 結構示意圖如圖1所示。

圖1 單框架磁懸浮CMG 結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of single frame magnetically suspended CMG

設Mr為轉子所受到的合外力矩，應用歐拉動力學方程，則可以得到轉子系下磁懸浮轉子動力學方程為

式中:Hr=［HrxHryHrz］T表示轉子系下轉子的角動量表示轉子系下的角動量變化率;ωrir表示轉子系下轉子絕對角速度，即相對于慣性空間的轉速。

式中:I 表示轉子繞CMG 參考坐標系旋轉的轉動慣量;Ir表示轉子徑向轉動慣量;Ia表示轉子軸向轉動慣量;Ωi表示轉子的絕對角速度。設Ω 為高速轉子繞Zf軸轉動的角速率，轉子的絕對角速度Ωi由轉子自轉角速度Ωr=［0 Ω 0］T和牽連角速度ωrir組成的表達式為

式中:γn=［γ1γ2γ3γ4］T=［90°180° -90°0°］T;σn=［σ1σ2σ3σ4］T=［53.13° 53.13° 53.13° 53.13°］T.

圖2 金字塔構型執行機構Fig.2 Pyramid configuration actuator

下面確定變換矩陣Crf、Cfg、CgCMG.

對于Crf，由于磁軸承間隙非常小，轉子轉動位移α、β 相對于框架和星體轉動可以忽略，故

對于Cfg，工程中考慮到如果一對磁軸承平行于框架旋轉方向安裝，另一對垂直安裝，則當框架旋轉時，主要的控制電流都會集中在垂直于框架旋轉的方向上，使得控制電流容易飽和，對輸出力矩大小造成限制，因此采用如圖3所示45°斜裝的方案解決這一問題。故Cfg表達式為

圖3 磁軸承45°斜裝示意圖Fig.3 Schematic diagram of magnetic bearing installed at 45°

對于CgCMG，表示從CMG 參考坐標系沿XCMG軸轉δ 到框架系的坐標轉換矩陣，故CgCMG表達式為

通過以上分析，得到

根據Ωi，計算出Hr=［HrxHryHrz］T的分量表達式為

結合ωrir，經過簡化，求出Mr=［MrxMryMrz］T的分量表達式為

2.3 轉子偏轉力矩M0r 的模型

2.4 航天器運動和框架轉動引起力矩Mrext的模型

在Mr的表達式中去掉M0r并經過簡化，可得出航天器、框架轉動情況下等效加在轉子徑向的力矩的徑向分量表達式為

3 計算方法

3.1 磁懸浮轉子合外力矩的測量和計算

轉子所受合外力矩Mr=［Mr10 Mr2］T的徑向分量表達式［17］為

式中:lm表示從磁懸浮轉子中心到徑向磁軸承中心的距離;磁懸浮轉子所受磁力fAx、fBx、fAy、fBy可表示成fλ=kiλiλ+khλhλ，λ=Ax，Ay，Bx，By［18］，kiλ和khλ分別表示磁懸浮轉子的徑向Ax、Ay、Bx、By 通道的電流剛度和位移剛度，可以通過實驗標定;iAx、iBx、iAy、iBy是4 個徑向通道的繞組電流;hAx、hBx、hAy、hBy是磁懸浮轉子分別在Ax、Ay、Bx、By 方向上的線性位移量。

iAx、iBx、iAy、iBy可以通過電流傳感器測量，hAx、hBx、hAy、hBy可以通過電渦流位移傳感器測量，從而可以計算得到轉子所受的徑向合外力矩。

3.2 轉子偏轉力矩M0r 的測量和計算

轉子偏轉力矩的徑向分量表達式［19］中，

式中:hAx、hBx、hAy、hBy是磁懸浮轉子分別在Ax、Ay、Bx、By 方向上的線性位移量;lm表示從磁懸浮轉子中心到徑向磁軸承中心的距離。

hAx、hBx、hAy、hBy可以通過電渦流位移傳感器測量，從而可以計算得到轉子徑向偏轉力矩。

3.3 姿態角速率解析解

航天器、框架轉動情況下等效加在轉子徑向力矩分量表達式Mrext1、Mrext2比較復雜，令得到

因為Ir遠小于IaΩ，航天器調姿過程中較小，故化簡為

分量表達式為

帶入(12)式，得

在金字塔構型磁懸浮CMG 中，初始框架角為δ0=［δ10δ20δ30δ40］T=［90° -90° 90° -90°］T. 金字塔構型參數γ=［γ1γ2γ3γ4］T=［90°180° -90°0°］T，σ=［σ1σ2σ3σ4］T=［53.13° 53.13° 53.13° 53.13°］T.在(13)式中，若系數矩陣第1 列為0，則計算出δ1=90°或者δ1=270°;δ2=0°或者δ2=180°;δ3=90°或者δ3=270°;δ4=0°或者δ4=180°.

在以初始框架角為［90° -90° 90° -90°］T的調姿過程中，(13)式系數矩陣每列不可能同時為0，故航天器姿態角速率的解析表達式系數矩陣不存在奇異。

4 仿真分析

航天器慣量矩陣

設置磁懸浮CMG 參數如表1所示。

表1 磁懸浮CMG 參數Tab.1 Parameters of MSCMG

航天器姿態角速率測量值和實際值數據獲取如圖4所示。

航天器從初始姿態角［-20° 50° 30°］機動到［0° 0° 0°］過程中，測量姿態角速率和實際姿態角速率對比仿真如圖5～圖7所示。

從仿真結果可以看出，測量值和實際值的誤差僅在10-3數量級上，因此磁懸浮CMG 金字塔構型可以同時檢測出航天器的3 軸姿態角速率。

姿態控制器施加給磁懸浮CMG 的控制信息為框架角和框架角速度，金字塔構型4 個磁懸浮CMG的框架角和框架角速度曲線如圖8、圖9所示。

從圖8、圖9可以看出，金字塔構型磁懸浮CMG框架角速度、角加速度均在允許的范圍內。

金字塔構型磁懸浮CMG 輸出控制力矩曲線如圖10 所示。

圖4 姿態角速率測量值和實際值數據獲取方法Fig.4 Data acquisition method for measuring and actual values of attitude angular rate

圖5 滾動角速率比較Fig.5 Comparison of roll angular rates

圖6 俯仰角速率比較Fig.6 Comparison of pitch angular rates

從圖10 可以看出，利用金字塔構型磁懸浮CMG 進行航天器姿態角速率測量并未影響控制力矩的輸出。

5 結論

本文提出的姿態測量方法，可以替代姿控系統的速率陀螺，減少姿控系統的體積、質量。隨著傳感器技術的發展，用于量測磁懸浮轉子位移的電渦流位移傳感器的精度可以達到亞微米級，電流傳感器的精度可達到微安級，因此本測量方法是有著廣闊應用前景的高精度姿態測量方法。

圖7 偏航角速率比較Fig.7 Comparison of yaw angular rates

圖8 磁懸浮CMG 框架角曲線Fig.8 Frame angles of magnetically suspended CMG

圖9 磁懸浮CMG 框架角速度曲線Fig.9 Frame angular rates of magnetically suspended CMG

圖10 金字塔構型磁懸浮CMG 控制力矩曲線Fig.10 Control torque of magnetically suspended CMG withpyramid configuration

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