有圖有真相

金楊建

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有圖有真相

金楊建

一次函數y=kx+b（k、b為常數，且k≠0）是我們初中階段學習的第一個函數.從函數表達式y=kx+b（k、b為常數，且k≠0）的角度看，這是一個二元一次方程，可以從解方程（組）的角度研究相關問題.但一次函數y=kx+b（k、b為常數，且k≠0）的圖像又是一條經過、（0，b）兩點的直線，因此，我們可以借助它的圖像，直觀、形象地解決許多問題.

A. 1＜a＜2B. -2＜a＜0

C. -3≤a≤-2 D. -10＜a＜-4

圖1

圖2

解法一：本題可以從“交點在第四象限”這個條件入手.求出直線與直線y=a的交點坐標，根據這個點在第四象限，得出不等式組進一步得到答案a＜-3，所以，符合條件的選項是D.

解法二：直線y=a是一條平行于x軸的直線，不妨畫出這條直線（如圖2），顯然，只有當直線y=a與y軸的交點Q在點B下方時，符合題意.此時B點坐標為（0，-3），Q點坐標為（0，a），所以a＜-3，進一步得到符合條件的選項是D.

【點評】解法一是代數方法，需要正確解方程組和解不等式組.而解法二是數形結合法，利用圖形的特征，快速得到答案.你認為哪種方法簡單呢？

下面，我們不妨對這道中考題進行改編，看看你能不能快速、準確地得到答案.

變式一直線l：y=-2x+4與直線x=a（a為常數）的交點在第一象限，則a的取值范圍是_______________.

提示：畫出直線l：y=-2x+4的圖像（如圖3，示意圖即可），與y軸交點A的坐標為（0，4），與x軸交點B的坐標為（2，0）.直線x=a的圖像是一條平行于y軸的直線，當這兩條直線的交點在第一象限時，即交點在A、B兩點之間.所以，0＜a＜2.

圖3

圖4

有沒有發現變式一特別簡單？似乎數形結合的方法沒有太明顯的優勢.不要急，好戲在后頭！

變式二直線y=-2x+4與直線y=3x+ b（b為常數）的交點在第一象限，則b的取值范圍是_____________.

提示：畫出直線y=-2x+4的圖像（如圖4，示意圖即可），與y軸交點A的坐標為（0，4），與x軸交點B的坐標為（2，0）.直線y=3x+b的圖像是一條從左往右向上的直線，隨著b的變化，直線的位置發生變化，但這些直線都互相平行.設直線y=3x+ b與y軸的交點為P（0，b），與x軸的交點為.當P在A點下方，Q在B點左側時，符合題意.此時所以-6＜ b＜4.

當然，本題也可以直接求出直線l：y= -2x+4與直線y=3x+b的交點（解方程組），然后根據交點在第一象限，求出b的范圍（解不等式組）.這種方法計算量有點大哦.而且因為含有字母b，在解方程組時容易出錯.

于是，數形結合方法的優點就顯現出來了：一、直觀——方便思考；二、簡潔——計算量少.下面還有兩個變式，你看看用哪種方法解答比較方便呢？

變式三直線y=2x+4與直線y=-x+b （b為常數）的交點不可能在哪個象限（）.

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

變式四直線l：y=-2x+4與直線y= kx-2（k為常數）的交點在第一象限，則k的取值范圍是________________.

你不妨和小伙伴們做個比賽，看看他們是如何解答變式三和變式四的，比比誰的速度快，誰的方法好.

（作者單位：江蘇省無錫市天一實驗學校）