非線性分數階微分方程組奇異對偶系統正解存在性證明

張穩根，胡衛敏，劉 剛

（伊犁師范學院數學與統計學院，新疆 伊寧835000）

0 引言

近些年出現了很多關于分數階微分方程及其應用的論文和專著［1－13］，其中大部分給出了一些特殊線性分數階方程的可解性［3］.然而，D.Delbosco和L.Rodino在文獻［4］中考慮了非線性分數階微分方程Dsu＝f（t，u）的一個解的存在性（其中：0＜s＜1，f：［0，a］×R→R，0＜a＜＋∞為已知函數，且在（0，a）×R 上連續），應用Schauder不動點定理和Banach壓縮映射原理得到了解的存在性.文獻［5］用上下解方法考慮方程Dsu＝f（t，u）正解的存在性（其中：0＜s＜1，且f：［0，1］×［0，＋∞）→［0，＋∞）是已知的連續函數）.文獻［6］分別用Krasnoselskii's不動點定理和錐上Leray－Schauder非線性抉擇定理考慮奇異對偶系統

的正解存在性（其中：0＜s＜1；0＜p＜1；Ds，Dp為兩個標準的Riemann－Liouville分數階微分；f，ɡ：（0，1］×［0，＋∞）→［0，＋∞）是兩個已知連續函數，且即f 和ɡ 在t＝0奇異）.本文分別用Krasnoselskii's不動點定理和錐上Leray－Schauder非線性抉擇定理證明如下奇異對偶系統的正解存在性：

其中：0＜s＜1；0＜p＜1；Ds，Dp是兩個標準的Riemann－Liouville分數階微分；f，ɡ：（0，3］×［0，＋∞）→［0，＋∞）是兩個已知連續函數，且

關于分數階微分方程存在定理的發展和實際應用方程的情況參見文獻［7］.文中涉及的分數階積分和微分的定義及其相關基本性質，參見文獻［8］或者文獻［4］.

本文將用到的兩個不動點定理.一個是Krasnoselskii's不動點定理；另一個是錐上Leray－Schauder非線性抉擇定理.

引理1［1］設E 為一Banach空間，K?E 為E 上的一個錐.Ω1和Ω2是E 的開子集且連續且全連續.若下列條件之一成立：

（ⅰ）對于u∈K∩?Ω1，有‖Au‖≤‖u‖；且對于u∈K∩?Ω2，有‖Au‖≥‖u‖.

（ⅱ）對于u∈K∩?Ω1，有‖Au‖≥‖u‖；且對于u∈K∩?Ω2，有‖Au‖≤‖u‖.則A 在K∩上有一個不動點.

引理2［9］假設E 為一Banach空間，且C 是E 的閉凸子集.U 是C 的開子集且0∈U，A：→C 是連續的緊映射.那么如下結論至少有一個成立：

（2）存在u∈?U 和λ∈（0，1）使得u＝λAu.

1 預備定理

記C［0，3］為所有定義在［0，3］上連續實函數組成的空間.令X＝C［0，3］×C［0，3］，其范數定義為

定義1［8］連續函數w：（0，3）→R 的0＜s＜1階分數階微分定義如下：

定義2［8］連續函數w：（0，3）→R 的0＜s＜1階分數階積分定義如下：

定義3［8］對于（u，v）∈X，s，p∈（0，1），連續分數階導數Ds，Dp，如果

那么（u，v）是分數階微分方程組對偶系統（1）的一個解.考慮如下積分方程對偶系統：

其中t∈（0，3）.

接下來證明，在某些條件下，方程組（1）等價于方程組（2）.首先，給出如下預備定理：

在［0，3］上連續.

證明 由tσF（t）的連續性和函數易知G（0）＝0.對于任何t0∈［0，3］，如果G（t）→G（t0）（t→t0，t∈［0，3］），則證明完成.為方便，證明分三種情形.

情形1 t0＝0，?t0∈（0，3］.由于tσF（t）在［0，3］上連續，所以存在常數M＞0，使得｜tσF（t）｜≤M，t∈［0，3］.因此

其中B 為Beta函數.

情形2 t0∈（0，3），?t∈（t0，3］.

首先，有

由（3）式可知

情形3 t0∈（0，3］，?t∈［0，t0）時，證明類似情形2.省略.

定理2 假設0＜σ1＜s＜1，0＜σ2＜p＜1.f，ɡ：（0，3］×［0，＋∞）→［0，＋∞）連續，且連續.那么，方程組（1）等價于方程組（2）.

證明 ?（u，v）∈X，由定理1可知Isf（t，v（t）），Ipɡ（t，u（t））∈C［0，3］.如果（u，v）∈X 是方程組（2）的一個解，那么?t∈（0，3），有Dsu（t）＝DsIsf（t，v（t））＝f（t，v（t）），Dpv（t）＝DpIpɡ（t，u（t））＝ɡ（t，u（t）），即（u，v）是方程組（1）的一個解.

相反地，如果（u，v）∈X 是方程組（1）的一個解，則（u，v）∈X，且Dsu＝f（·，v（·））∈C（0，3］，Dpv＝ɡ（·，u（·））∈C（0，3］（C（0，3］表示所有定義在（0，3］上的連續實函數組成的空間，由文獻［4］中命題2.4把R＋換成（0，3］得到），有IsDsu（t）＝u 和IpDpv（t）＝v.由于IsDsu（t）＝Isf（t，v（t））和IpDpv（t）＝Ipɡ（t，u（t）），因此?t∈［0，3］有u（t）＝Isf（t，v（t）），v（t）＝Ipɡ（t，u（t）），即（u，v）是方程組（2）的一個解.

設K?X 為一個錐，定義

定義K 的子集

所考慮的正解（u，v）滿足（u，v）∈D.

假設算子A：X→X，定義

即

定理3 假設0＜σ1＜s＜1，0＜σ2＜p＜1.f，ɡ：（0，3］×［0，＋∞）→［0，＋∞）連續而τσ1f（t，y）和τσ2ɡ（t，y）在［0，3］×［0，＋∞）上連續.則算子A：K→K 連續且全連續.

證明 ?（u，v）∈K，有v∈K1＝｛y∈C［0，3］：y（t）≥0，0≤t≤3｝.由于

由定理1和f 的非負性可知A1：K1→K1.令v0∈K1，‖v0‖＝c0，如果v∈K1且‖v－v0‖＜1，那么‖v‖＜1＋c0∶＝c.由tσ1f（t，y）的連續性，知tσ1f（t，y）在［0，3］×［0，c］上一致連續.因此，?ε＞0，存在δ＞0（δ＜1）使得?x1，x2∈［0，c］，｜x1－x2｜＜δ時，有

顯然，如果‖v－v0‖＜δ，那么?t∈［0，3］有v0（t），v（t）∈［0，c］，｜v（t）－v0（t）｜＜δ.因此，?t∈［0，3］，當v∈K1，‖v－v0‖＜δ時，有

由（7）式得

由v0的任意性可知A1：K1→K1連續.類似地，有A2：K1→K1也連續.即A：K→K 連續.

假設M?K 有界，即存在一個常數b＞0，使得‖v－v0‖＜b.由于tσ1f（t，y），tσ2ɡ（t，y）在［0，3］×［0，∞）上連續，令

?（u，v）∈M，有

類似地，有

因此

即A（M）有界.

?ε＞0（ε＜min｛c1，c2｝），令δ＝min｛δ1，δ2｝，其中：

類似（4）式的證明，?（u，v）∈M，t1，t2∈［0，3］，當t1＜t2時，有

現在證明：如果t1，t2∈［0，3］，且0＜t2－t1＜δ1，那么

（9）式的證明可分成如下三種情形：

情形1 t1＝0.由（8）式和t2＜δ1可知

情形2 3＞t1≥δ1.由（8）式得

情形3 0＜t1＜δ1.由（8）式和t2＜2σ1可知

同理可證：如果t1，t2∈［0，3］，滿足0＜t2－t1＜δ2，那么｜A2u（t2）－A2u（t1）｜＜ε.

因此，如果t1，t2∈［0，3］，滿足0＜t2－t1＜δ，那么

因此，A 等度連續.由Arzela－Ascoli定理可知緊.所以算子A：K→K 全連續.

2 主要結果及其證明

定理4 假設0＜σ1＜s＜1，0＜σ2＜p＜1.f，ɡ：（0，3］×［0，＋∞）→［0，＋∞）連續，且在［0，3］×［0，＋∞）上連續.若存在兩個獨立的正常數ρ，μ，ρ＞μ，使得：

則方程組（1）至少有一個正解.

步驟1 假設Ω2＝｛（u，v）∈K：‖（u，v）‖≤ρ｝.對于（u，v）∈K∩?Ω2，有0≤u（t），v（t）≤ρ，?t∈［0，3］成立.由假設（H1）知，對于t∈［0，3］，有

因此對于（u，v）∈K∩?Ω2，有

步驟2 假設Ω1＝｛（u，v）∈K：‖（u，v）‖＜μ｝.對于（u，v）∈K∩?Ω1，有0≤u（t），v（t）≤μ，?t∈［0，3］成立.由假設（H2）知，

所以‖A（u，v）‖≥μ＝‖（u，v）‖對于（u，v）∈K∩?Ω1成立.

因此，由引理1的（ⅱ）和定理2，證明完畢.

定理5 假設0＜σ1＜s＜1，0＜σ2＜p＜1.f，ɡ：（0，3］×［0，＋∞）→［0，＋∞）連續，且和tσ2ɡ（t，y）在［0，3］×［0，＋∞）上連續.若如下條件被滿足：

（H3）存在兩個增函數φ，ψ：［0，∞）×（0，∞），使得在［0，3］×［0，＋∞）上，有tσ1f（t，y）≤φ（w）和

（H4）存在r＞0，使得

則方程組（1）有一個正解.

證明 假設（u，v）∈K 為

的任一解，其中r∈（0，1），A 由（5）式給出.由定理3知A：K→K 連續且全連續.進而有A：K→D 和定理4中一樣.由條件（H3）和（10）式可知，對于t∈［0，3］有

因此

同理可得

結合（11）和（12）式可得

由條件（H4）和（13）式可知‖（u，v）‖≠r.所以（10）式的任一解（u，v）滿足‖（u，v）‖≠r.令U＝｛（u，v）∈K：‖（u，v）‖＜r｝.引理2保證了A 有一個不動點（u，v）∈ˉU∩D.

由定理2可知，方程組（1）有一個正解.

例1 考慮分數階微分方程對偶系統

其中0＜σ1＜s＜1，0＜σ2＜p＜1.則方程（14）有一個正解.

為了說明方程（14）有一個正解，可應用定理2，取

［1］KRASNOSELSKII M A.Positive solutions of operator equations［M］.Groningen：Noordhoff，1964：1－30.

［2］MILLER K S，KROSS B.An introduction to the fractional calculus and fractional differential equation［M］.New York：Wiley，1993：44－184.

［3］KILBAS A ANATOLY，SRIVASFAVA H HARI，TRUJILLO.Theory and applications of fractional differential equations［M］.Amsterdam：North－Holland Mathematics Studies，Elsevier Science BV，2006：56－90.

［4］DELBOSCO D，RODINO L.Existence and uniqueness for a nonlinear fractional differential equation［J］.J Math Anal Appl，1996，204：609－625.

［5］ZHANG S.The existence of a positive solution for a nonlinear fractional differential equation［J］.J Math Anal Appl，2000，252：804－812.

［6］BAI C Z.The existence of a positive solution for a ingular coupled system of nonlinear fractional differential equations［J］.Applied Mathematics and Computation，2004，150：611－621.

［7］KILBAS A A，TRUJILLO J J.Differential equations of fractional order：methods，results，and problems［J］.J Appl Anal，2001，78：153－192.

［8］SAMKO S G，KILBAS A A，MARICHEV O I.Fractional integrals and derivatives：theory and applications［M］.Switzerland：Gordon and Breach Science Publishers，1993：35－85.

［9］ZHAO G，SUN S R，HAN Z L，et al.The existence of multiple positive solutions for boundary value problems of nonlinear fractional diffusion equations［J］.Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2011，16：2086－2097.

［10］XU X J，JIANG D Q，YUAN C J.Multiple positive solutions for the boundary value problem of a nonlinear fractional differential equation［J］.Nonlinear Analysis，2009，71：4676－4688.

［11］張麗娟，胡衛敏.一類Dirichlet型非線性分數階微分方程邊值問題的正解［J］.東北師大學報：自然科學版，2012，44（2）：39－43.

［12］劉剛，胡衛敏，張穩根.非線性分數階微分方程邊值問題的多重正解的存在性［J］.云南大學學報：自然科學版，2012，34（3）：258－264.

［13］許曉婕，胡衛敏.一個新的分數階微分方程邊值問題正解的存在性研究［J］.系統科學與數學，2012，32（5）：580－590.