具有時(shí)變參數(shù)的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下歐式缺口期權(quán)定價(jià)

白婷，李翠香

(河北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河北 石家莊 050024)

具有時(shí)變參數(shù)的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下歐式缺口期權(quán)定價(jià)

白婷，李翠香

(河北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河北 石家莊 050024)

經(jīng)典的期權(quán)定價(jià)模型假設(shè)股票價(jià)格服從標(biāo)準(zhǔn)幾何布朗運(yùn)動(dòng)，但金融實(shí)證表明用分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)描述股票價(jià)格過(guò)程更貼近市場(chǎng)．本文假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，且無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r(t)，紅利率q(t)，波動(dòng)率σ(t)均為隨時(shí)間變化的確定函數(shù)，運(yùn)用擬鞅方法求出了歐式缺口期權(quán)的定價(jià)公式，推廣了相關(guān)結(jié)果.

分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)；擬鞅；時(shí)變參數(shù)；歐式缺口期權(quán)

0 引 言

傳統(tǒng)的期權(quán)定價(jià)假設(shè)股票的價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，而金融實(shí)證表明股票市場(chǎng)價(jià)格具有長(zhǎng)期依賴性和自相似性，用分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)代替幾何布朗運(yùn)動(dòng)更貼近市場(chǎng)．

Hurst參數(shù)為H∈(0，1)的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)是一個(gè)高斯過(guò)程且滿足：

(1)BH(0)=E[BH(t)]=0，(t≥0)，

歐式缺口期權(quán)是一種奇異期權(quán)，其到期收益不是與執(zhí)行價(jià)格K比較，而是與另外一個(gè)常數(shù)G(G為缺口)比較．在T時(shí)刻歐式缺口看漲期權(quán)的收益為

(1)

在T時(shí)刻歐式缺口看跌期權(quán)的收益為

(2)

由(1)(2)可以看出，當(dāng)K=G時(shí)，缺口期權(quán)即為標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)．

張艷，周圣武,等[3]利用偏微分方程的方法給出了隨機(jī)利率模型下標(biāo)的資產(chǎn)服從標(biāo)準(zhǔn)幾何布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)歐式缺口看漲和看跌期權(quán)的定價(jià)．何成潔，沈明軒[4]研究了標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r，紅利率q，波動(dòng)率σ均為常數(shù)時(shí)歐式缺口看漲和看跌期權(quán)的定價(jià)．藺捷，薛紅等[5]利用保險(xiǎn)精算的方法研究了當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r服從Vasicek模型，波動(dòng)率σ為常數(shù)時(shí)歐式缺口期權(quán)的定價(jià)公式．本文假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r(t)，紅利率q(t)，波動(dòng)率σ(t)均為時(shí)間的函數(shù)，應(yīng)用隨機(jī)微分理論和擬鞅方法得到歐式缺口看漲和看跌期權(quán)的定價(jià)公式．

1 預(yù)備知識(shí)

以下假設(shè)市場(chǎng)滿足B-S模型的條件，即市場(chǎng)是均衡的完備的且無(wú)套利存在，并假設(shè)在市場(chǎng)中僅有兩種投資證券：無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)即債券和股票，其中債券價(jià)格M(t)滿足：

dM(t)=r(t)M(t)dt，

股票價(jià)格S(t)滿足：

dS(t)=[r(t)-q(t)]S(t)dt+σ(t)S(t)dBH(t),

(3)

其中r(t)為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，q(t)為紅利率，σ(t)為瞬時(shí)波動(dòng)率．

滿足(3)的解為

(4)

引理1[2](1)BH(t)是擬鞅；

(5)

其中

因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)卷積的傅立葉變換等于這兩個(gè)函數(shù)傅立葉變換的乘積，所以

引理2得證．

證明：由于市場(chǎng)是完備的，所以存在自融資組合(m(t)，s(t))，使得

F(t)=mt(t)M(t)+s(t)S(t),F(T)=F,

且有

dF(t)=m(t)dM(t)+s(t)dS(t)+q(t)s(t)S(t)dt=r(t)F(t)dt+σS(t)s(t)S(t)dBH(t).

從而

兩邊積分并整理得

因?yàn)镕(T)=F,且由引理3知

所以

從而引理3得證．

2 歐式缺口期權(quán)的定價(jià)

定理1 到期日為T(mén)，執(zhí)行價(jià)格為K，缺口為G的歐式缺口看漲期權(quán)在期滿前任意時(shí)刻t的價(jià)值為

其中

證明：由引理3及(1)式知

由(4)式知

(6)

所以由引理2得

(7)

另外由(4)式可知

(8)

由(6)式和(8)式得

(9)

由(7)式和(9)式，定理1得證.

定理2 到期日為T(mén)，執(zhí)行價(jià)格為K，缺口為G的歐式缺口看跌期權(quán)在期滿前任意時(shí)刻t的價(jià)值為

其中d1,d2在定理1中已定義.

定理2的證明類似于定理1的證明，在此省略.

[1] HU Y, OKSENDAL B. Fractional white noise calculus and application to finance[J]. Inf. Dim. Anal. Quantum Prob. Rel. Top, 2003, 6(1):1-32.

[2] NECULA C. Option pricing in fractional Brownian motion environment[R]. Preprint, Academy of Economic Studies Bucharest, www.dofin.ase.ro/.

[3] 張艷，周圣武，韓苗,等．隨機(jī)利率Vasicek模型下的歐式缺口期權(quán)的定價(jià)研究[J]．大學(xué)數(shù)學(xué)，2012, 28(4):98-101.

[4] 何成潔，沈明軒．分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境中歐式缺口期權(quán)的定價(jià)[J]．高校理論研究，2008, 24:435-439.

[5] 藺捷，薛紅，王曉東.分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下缺口期權(quán)定價(jià)[J]．哈爾濱商業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2012(05):616-619.

【責(zé)任編輯：王軍】

Pricing of European gap options under fractional Brownian motion with time-varying parameters

BAI Ting, LI Cuixiang

(College of Mathematics and Information Science, Hebei Normal University, Shijiazhuang 050024,China)

In the classical option pricing model stock price was supposed to follow standard geometric Brownian motion. However financial evidence shows that using fractional Brownian motion to describe the process of stock price is more closer to the market. In this paper, we assume that underlying asset price follows geometric fractional Brownian motion, the riskless interest rater(t), dividend rateq(t), and the volatilityq(t) of the stock are all time-varying certain functions. Using quasi-martingale method, we get the pricing formulas of European gap option. The results extend the related results.

fractional Brownian motion; quasi-martingale; time-varying parameters; European gap options

2014-07-08

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10771049)；河北省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(A2012205028)

白婷(1989-)，女，河北新樂(lè)人，河北師范大學(xué)碩士研究生，主要從事金融數(shù)學(xué)的研究.

O211.6

A

1672-3600(2015)03-0019-03