一類具阻尼項的Bq方程解的衰減行為

李梅玲，王云青

(渤海理工職業學院，河北 滄州 061100)

一類具阻尼項的Bq方程解的衰減行為

李梅玲，王云青

(渤海理工職業學院，河北 滄州 061100)

對一類帶阻尼項的n維Bq方程，觀察到其線性方程的耗散結構是正則耗散型，這將意味著在對初值的正則假設下，可以得到解的最佳衰減估計.基于其線性方程的衰減估計和小初值條件，利用壓縮映射原理，證明了方程整體解的存在性和小振幅解的漸近行為.

Bq方程；阻尼項；衰減

本文主要研究下面一類具阻尼項的Bq方程的柯西問題

utt-Δu-Δutt+Δ2u-υΔut=Δf(u)，x∈n,t>0,

(1)

u(x,0)=u0(x)，ut(x,0)=u1(x)，x∈n，

(2)

其中υ>0是常數.

在本文中，記號A^B表示A≤CB，其中常數C>0與t無關.

1 相應線性方程解的衰減性

我們先考慮下面線性方程的解的衰減性

utt-Δu-Δutt+Δ2u-υΔut=Δg(x,t)，x∈n,t>0,

(3)

引入方程(3)的解算子，由傅立葉變換，得到關于ξ的常微分方程

(4)

(5)

由杜哈密頓原理，問題(3)，(2)的形式解可表示為

(6)

對應象征

(7)

(8)

(9)

證明：只證明(7)式.首先，我們假設0<υ≤4，這時

利用Hausdorff-Young不等式和Holder不等式，得

(10)

取充分小固定實數ξ1，使得0<ξ1<ξ0，有

≡I1+I2+I3.

(11)

利用Holder不等式，得

(12)

(13)

(14)

由(10)—(14)，可知估計式(7)成立.類似可證(8)和(9)式.

(15)

(16)

2 本文的主要結果及證明

引理3[3]對任意s≥0，f∈C{s}()，滿足條件

|f(j)(u)|^|u|α-j,j=0,1,…,{s},{s}≤α,

(17)

則有

(18)

引理4[4]假設a,b為兩個正數，則

(19)

(20)

其中

且充分小的ρ>0依賴于f和δ.

證明：定義度量空間(X,d)上的非線性映射N：

(21)

其中X={u(x,t)∈L∞([0,∞)×n)∩L∞([0,∞);Hs):‖|u‖并賦予范數

(22)

(23)

所以，由引理4，對充分小的δ和ρ，有

(24)

同理可得

(25)

結合(24)式和(25)式知，N是X到自身的映射.下面證明N是X到自身的嚴格壓縮映射.由(25)式，對?u,v∈X，有

(26)

在(15)中，取k=0,r=p=2,s=0，并注意到|f(u)-f(v)|^(|u|α-1+|v|α-1)|u-v|，

則有

‖N(u)-N(v)‖L2

類似于(25)式，由引理4，可得

(27)

故對充分小的ρ，N是(X,d)上的嚴格壓縮映射.根據壓縮映射原理，在X上存在唯一不動點u(x,t)，u(x,t)即為問題(1)，(2)的解，且有

(28)

解u(x,t)的唯一性和時間的連續性很容易證明(略).

(28)式關于t求導，得

(29)

利用條件(19)和引理3，在(16)式，取不同的k,p,r的值，類似于(24)和(25)，有

定理1證畢.

注釋： 由定理1知，q∈[1,2]取值越小，α的區間就變得越小，相應的解u關于時間t的衰減速度就越快.

[1] Shubin Wang. Huiyang Xu On the asymptotic behavior of solution for the generalized IBq equation with hydrodynamical damped term[J].J.Differential Equations,2012,252:(2012)4243-4258.

[2] Shubin Wang, Huiyang Xu.On the asymptotic behavior of solution for the generalized IBq equation with Stokes damped term[J].Z.Angew.Math.Phys, 2013,64:719-731.

[3] Cho Y, Ozawa T. Remarks on modified improved Boussinesq equations in one space dimension[J].Proc.R.Soc.A,2006,462:1949-1963.

[4] Wang S,Chen G. Small amplitude solutions of the generalized IMBq equation[J]. J.Math.Anal.Appl,2002,274:846-866.

【責任編輯：王軍】

On the asymptotic behavior of solution for the Bq equation with damped term

LI Meiling，WANG Yunqing

(Bohai Polytechnic Vocational College,Cangzhou 061100,China)

For the Bq equation with damped term inn-dimensional space，observing that the dissipative structure of the linearized equation is of the regularity-loss type. This means that it will obtain the optimal decay estimates of solutions under the additional regularity assumption on the initial data. Based on the decay estimates of solutions to the corresponding linear equation and smallness condition on the initial data, it proves the global existence and asymptotic of the small amplitude solution by the contraction mapping principle.

Bq equation; damped term; decay estimates

2014-12-25；

2015-01-06

國家自然科學基金資助項目(11171311)

李梅玲(1980-)，女，河北滄州人，渤海理工職業學院講師，碩士研究生，主要從事應用偏微分方程的研究.

O175.29

A

1672-3600(2015)-0022-05