砂土地基上圓形淺基礎(chǔ)三維破壞包絡(luò)面的理論研究

范慶來(lái)，鄭 靜，武 科

（1.魯東大學(xué)a.巖土工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；b.魯東大學(xué)交通學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264025；2.山東大學(xué) 巖土與結(jié)構(gòu)工程研究中心，濟(jì)南 250061）

對(duì)于圓形淺基礎(chǔ)，傳統(tǒng)的地基承載力分析理論主要有Terzaghi、Vesic、Hansen、Meyerhoff等提出的各種經(jīng)驗(yàn)、半經(jīng)驗(yàn)公式，對(duì)于傾斜與偏心荷載作用下的淺基礎(chǔ)穩(wěn)定性問(wèn)題，一般是基于Terzaghi豎向承載力公式，分別通過(guò)引入荷載傾斜系數(shù)與Meyerhoff有效寬度假定來(lái)考慮水平荷載和偏心荷載對(duì)豎向承載力的影響，對(duì)此欒茂田等［1］已經(jīng)進(jìn)行了比較全面的評(píng)述。

隨著石油、天然氣和金屬礦物等海洋資源的大力開(kāi)發(fā)，各種海洋基礎(chǔ)穩(wěn)定性評(píng)價(jià)方面的問(wèn)題得到了高度重視。與陸地上基礎(chǔ)相比，海洋基礎(chǔ)除了承受豎向荷載V以外，通常還要抵抗波浪和風(fēng)暴等所引起的水平荷載H與力矩M。在這種復(fù)合加載情況下，海洋基礎(chǔ)一般不會(huì)在單純的豎向荷載作用下達(dá)到極限平衡狀態(tài)，而是在豎向荷載、水平荷載與力矩的不同組合條件下發(fā)生失穩(wěn)破壞。因此，將傳統(tǒng)的地基承載力理論用于海洋淺基礎(chǔ)穩(wěn)定性評(píng)價(jià)時(shí)，可能出現(xiàn)較大偏差，從而不適合含有較大水平荷載和力矩的情況［2］。為了解決這個(gè)問(wèn)題，部分學(xué)者［1－2］通過(guò)系統(tǒng)研究提出了破壞包絡(luò)面理論，認(rèn)為在復(fù)合加載條件下，地基達(dá)到整體破壞時(shí)各個(gè)荷載分量的組合在三維荷載空間（V，H，M）中將形成一個(gè)不依賴于加載路徑的外凸曲面，其方程可由引起地基失穩(wěn)時(shí)的各個(gè)荷載分量顯式表達(dá)為f（V，H，M）＝0。根據(jù)實(shí)際的受力狀態(tài)與該破壞包絡(luò)面之間的相對(duì)位置關(guān)系，可以直觀評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)荷載狀態(tài)下海洋基礎(chǔ)的整體穩(wěn)定性。

目前所開(kāi)展的研究工作大多針對(duì)軟黏土地基，砂土地基上圓形淺基礎(chǔ)破壞包絡(luò)面方程的研究較少，并僅限于模型試驗(yàn)研究。Martin等［3］對(duì)于復(fù)合加載條件下黏土地基上紡錘形基礎(chǔ)的力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行了比較系統(tǒng)的室內(nèi)小比尺模型試驗(yàn)。在此基礎(chǔ)上，Gottardi等［4］、Cocjin等［5］分別對(duì)于密砂上圓形和條形淺基礎(chǔ)開(kāi)展了一系列模型試驗(yàn)，并對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，建議了砂土地基上淺基礎(chǔ)的破壞包絡(luò)面方程。Cassidy等［6］針對(duì)松散鈣質(zhì)砂地基開(kāi)展了小比尺復(fù)合加載試驗(yàn)研究，主要探討了宏單元模型中的硬化準(zhǔn)則和流動(dòng)法則。但這些試驗(yàn)工作都是針對(duì)某種相對(duì)密度或內(nèi)摩擦角的砂土，因此，本文對(duì)于共面復(fù)合加載條件下砂土地基上圓形淺基礎(chǔ)的承載力進(jìn)行比較系統(tǒng)的有限元分析，探討了砂土內(nèi)摩擦角（對(duì)于圓形淺基礎(chǔ)在V-H、V-M荷載平面與V-H-M荷載空間內(nèi)的破壞包絡(luò)軌跡的影響，并與已有的室內(nèi)模型試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。

1 有限元模型

直徑D＝1 m的圓形淺基礎(chǔ)位于砂土地基上。不考慮淺基礎(chǔ)本身的變形，因此采用離散剛體單元模擬。地基模型的半徑和深度都取為5D，經(jīng)過(guò)試算，可以消除有限元模型中地基的邊界效應(yīng)影響。根據(jù)趙少飛等［7］的建議，土體單元類型選擇8節(jié)點(diǎn)縮減積分實(shí)體單元（C3D8R），在淺基礎(chǔ)附近的局部區(qū)域加密網(wǎng)格，單元數(shù)為26 240，如圖1所示。

圖1 有限元模型Fig.1 Finite element mesh

在分析中，砂土假定為純摩擦材料，重度取為γ＝20 k N／m3，采用基于 Mohr-Coulomb破壞準(zhǔn)則的理想彈塑性本構(gòu)模型，變形模量E＝100 MPa，泊松比v＝0.3。很多實(shí)驗(yàn)結(jié)果已經(jīng)表明，砂土剪脹角φ低于內(nèi)摩擦角φ，但為了與常用的豎向承載力解進(jìn)行對(duì)比，仍然采用了相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，即取φ＝φ。土體為純摩擦材料，基礎(chǔ)與地基之間不能傳遞拉應(yīng)力，因此，基礎(chǔ)和地基間設(shè)為完全黏結(jié)約束，而未設(shè)置接觸單元。

2 豎向承載力

對(duì)于內(nèi)摩擦角φ＝15°、20°、25°與30°4種情況，分別進(jìn)行了豎向承載力計(jì)算。在計(jì)算過(guò)程中，采用位移控制加載，當(dāng)?shù)玫降幕字行奶幍墓?jié)點(diǎn)反力V-豎向位移v曲線斜率陡降或接近零時(shí)，與該狀態(tài)相對(duì)應(yīng)的基底反力即為地基的豎向承載力，如圖2所示。

圖2 豎向荷載作用下基底反力與位移之間的關(guān)系Fig.2 Relation of reaction force beneath foundation and displacement under vertical loading

同時(shí)，也采用 Martin［9］提出的滑移線方法和Terzaghi圓形淺基礎(chǔ)公式對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行了求解，幾種方法所得豎向承載力（單位：k N）都列于表1，通過(guò)比較可以看到，在φ≥20°時(shí)有限元與滑移線解法所得結(jié)果都要比Terzaghi公式計(jì)算結(jié)果高，而在φ＝15°時(shí)，有限元計(jì)算結(jié)果比其它兩種方法偏低。有限元法與滑移線解法所得結(jié)果之間相差不大，最大誤差為8%，從而說(shuō)明本文有限元模型是基本合理的。

表1 不同方法計(jì)算結(jié)果間的比較Table 1 Comparison of results from different methods

3 復(fù)合加載數(shù)值試驗(yàn)方法

3.1 swipe型加載方法

構(gòu)建不同荷載平面上完整的破壞包絡(luò)面，對(duì)于軟黏土地基，只需要一條swipe加載路徑［10－11］，但對(duì)于砂土地基，則需要兩條加載路徑，如圖3所示。加載路徑I與軟黏土地基相同，包括兩個(gè)加載步驟：1）沿i方向從初始狀態(tài)開(kāi)始施加位移u i直到i方向反力達(dá)到極限值；2）固定i方向的位移，沿j方向施加位移u j直到j(luò)方向?qū)?yīng)的反力F j不隨位移增大而改變，此時(shí)步驟2）所形成的加載軌跡可以近似作為i－j平面上破壞包絡(luò)面的一部分。加載路徑II含有一個(gè)加載步驟，從初始狀態(tài)開(kāi)始約束i方向自由度，沿j方向施加位移u j直到j(luò)方向?qū)?yīng)的反力F j不隨位移增大而改變，該步驟所形成的加載軌跡可作為包絡(luò)面的另外一部分。

3.2 probe型加載方法

probe型加載方法包括固定位移比加載、固定荷載比加載方法等，范慶來(lái)等［10］已經(jīng)進(jìn)行了比較詳細(xì)的介紹，在此不再贅述。最近，趙少飛［7］建立了一種較為直觀的probe型加載方法，該方法包含如下兩個(gè)步驟：1）通過(guò)荷載控制，沿i方向（一般為豎向）在基礎(chǔ)上直接施加一定的荷載分量Fi；2）保持所施加的荷載分量Fi不變，沿j方向進(jìn)行位移控制加載，直到相應(yīng)方向的反力Fj不再隨位移增加而改變，由此可確定出破壞包絡(luò)面上的一個(gè)點(diǎn)（Fi，F(xiàn)j），如圖3所示。通過(guò)多次加載，即可擬合一個(gè)完整的包絡(luò)面。本文在構(gòu)建V-H、V-M荷載平面上的包絡(luò)面時(shí)，采用了該方法。

圖3 砂土地基復(fù)合加載方法Fig.3 Combined loading procedure for sand foundation

3.3 荷載－位移聯(lián)合搜索方法

為了得到圓形淺基礎(chǔ)在V-H-M荷載空間內(nèi)的三維破壞包絡(luò)面，需采用荷載－位移聯(lián)合搜索方法［10－11］。這個(gè)方法包含如下3個(gè)步驟：1）通過(guò)荷載控制，在基底中心施加一定大小的豎向荷載分量V；2）保持該豎向荷載分量不變，進(jìn)行H-M荷載平面上的swipe型加載，得到破壞包絡(luò)面的近似形式；3）在此基礎(chǔ)上，進(jìn)行若干次probe型加載，確定最終的破壞包絡(luò)面。

4 V-H平面上的破壞包絡(luò)軌跡

聯(lián)合采用swipe型與probe型兩種數(shù)值加載方法，對(duì)于圓形淺基礎(chǔ)在V-H平面內(nèi)的破壞包絡(luò)軌跡進(jìn)行研究。所得到的V-H荷載平面內(nèi)的破壞包絡(luò)軌跡如圖4（a）所示，采用豎向承載力Vult進(jìn)行歸一化后，可得V-H荷載平面內(nèi)的破壞包絡(luò)面形狀如圖4（b）所示。

通過(guò)圖4（a）可以看到，隨著砂土內(nèi)摩擦角的增大，V-H荷載平面內(nèi)的破壞包絡(luò)面大小在不斷增長(zhǎng)。在內(nèi)摩擦角φ＝30°時(shí)，圖4（a）還具體給出了swipe型加載路徑I、II與probe型加載得到的3個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)（分別是在V／Vult＝0.3、0.5及0.7情況下得到的），可以看到swipe型加載路徑I與路徑II在V／Vult＝0.5處匯合，構(gòu)成了一個(gè)完整的包絡(luò)面。probe型加載得到的數(shù)據(jù)點(diǎn)與swipe型加載路徑基本吻合，考慮到數(shù)值計(jì)算誤差，可以表明破壞包絡(luò)面是不依賴于加載路徑的。在其它內(nèi)摩擦角情況下，也具有相同規(guī)律，在圖4（a）中不再一一表達(dá)。

圖4 圓形淺基礎(chǔ)V-H破壞包絡(luò)面Fig.4 V-H failure envelopes of circular shallow foundations

根據(jù)圖4（b）可看出，破壞包絡(luò)面形狀類似于橄欖球形，基礎(chǔ)所能承受的最大水平荷載Hmax大致出現(xiàn)在豎向荷載水平V／Vult＝0.5處，而且對(duì)于不同內(nèi)摩擦角情況下，Hmax≈0.13Vult。Gottardi等［4］針對(duì)內(nèi)摩擦角φ＝42.3°以及Bienen等［12］針對(duì)φ＝34.3°的砂土所進(jìn)行的模型試驗(yàn)也得到了基本一致的結(jié)論Hmax≈0.12Vult。Cassidy等［6］對(duì)于松散鈣質(zhì)砂也進(jìn)行了試驗(yàn)，得到的結(jié)果表明Hmax≈0.15Vult。

因此，如圖4（b）所示，不同內(nèi)摩擦角情況下，采用豎向極限承載力Vult進(jìn)行歸一化后，包絡(luò)面形狀幾乎完全重合，可采用式（1）進(jìn)行描述。

式中：h0＝Hmax／Vult，其取值范圍在0.12～0.15之間，對(duì)于本文有限元計(jì)算結(jié)果，h0＝0.13。在圖4（b）中還列出了Loukidis等［13］建立的條形淺基礎(chǔ)破壞包絡(luò)面方程，可見(jiàn)圓形與條形淺基礎(chǔ)的破壞包絡(luò)面形狀存在一定差異。因此，在分析基礎(chǔ)穩(wěn)定性時(shí)，必須考慮其三維效應(yīng)。

對(duì)于軟黏土地基V-H包絡(luò)面，水平荷載最大值位于V＝0，隨著豎向荷載水平增大，基礎(chǔ)承受水平荷載的能力不斷下降［10］，這顯然與砂土地基上基礎(chǔ)破壞包絡(luò)面特性有明顯差異。

5 V-M 平面上的破壞包絡(luò)軌跡

采用類似數(shù)值加載方法，對(duì)于圓形淺基礎(chǔ)在V-M平面內(nèi)的破壞包絡(luò)軌跡進(jìn)行了研究，其中力矩M是通過(guò)在基底中心處施加轉(zhuǎn)角邊界條件控制加載。所得到的V-M荷載平面內(nèi)的破壞包絡(luò)軌跡如圖5（a）所示。采用基礎(chǔ)直徑D與豎向承載力Vult之乘積DVult對(duì)于力矩M無(wú)量綱化，可得V-M荷載平面內(nèi)的歸一化破壞包絡(luò)面形狀如圖5（b）所示。

通過(guò)圖5（a）可以看到，V-M荷載平面內(nèi)的破壞包絡(luò)面大小也隨著砂土內(nèi)摩擦角的增大而在不斷增長(zhǎng)。歸一化后的破壞包絡(luò)面形狀基本重合，也類似于橄欖球形，基礎(chǔ)所能承受的最大力矩荷載Mmax大致出現(xiàn)在豎向荷載水平V／Vult＝0.5處，Mmax＝0.08DVult，對(duì) 應(yīng) 著 偏 心 距 為e／D＝ 1／6.25。Gottardi等［4］根據(jù)密砂的模型試驗(yàn)得到Mmax＝0.1DVult，Bienen等［11］根據(jù)松砂上的試驗(yàn)結(jié)果得到的結(jié)論則是Mmax＝0.075DVult，因此，可以認(rèn)為，VM平面內(nèi)砂土地基上圓形淺基礎(chǔ)的歸一化最大彎矩承載力m0＝Mmax／（DVult）在0.075～0.1之間。不同內(nèi)摩擦角情況下，包絡(luò)面形狀基本重合，如圖5（b）所示，可采用如下拋物線方程式（2）進(jìn)行描述。

式中：m0取值范圍在0.075～0.1之間，對(duì)于本文有限元計(jì)算結(jié)果，m0＝0.08。與軟土地基上基礎(chǔ)V-M包絡(luò)面方程［10］進(jìn)行比較，可以看到偏心荷載情況下砂土與黏土地基上破壞包絡(luò)面特性也存在顯著差異。

圖5 圓形淺基礎(chǔ)V-M 破壞包絡(luò)面Fig.5 V-M failure envelopes of circular shallow foundations

6 V-H-M 空間的破壞包絡(luò)面

采取荷載－位移聯(lián)合搜索方法，分別對(duì)于V／Vult＝0.3、0.5和0.7三種情況下的H-M破壞包絡(luò)軌跡進(jìn)行研究。將內(nèi)摩擦角φ＝15°和30°情況下的HM破壞包絡(luò)軌跡表達(dá)在H／Hvult－M／Mvult的歸一化荷載平面內(nèi)，如圖6所示，可以看到對(duì)于不同內(nèi)摩擦角與豎向荷載水平，歸一化后的包絡(luò)面基本重合，形狀為一橢圓。

可以采用橢圓方程式（3）來(lái)描述。

式中：Hvult、Mvult分別為圓形淺基礎(chǔ)在給定豎向荷載水平V／Vult下所能承受的最大水平荷載和彎矩，可相應(yīng)由式（1）和式（2）得到。參數(shù)a反映了橢圓偏心度，參數(shù)a的取值越高，包絡(luò)面的偏心度越大，在本文算例中，a＝－0.2。

圖6 淺基礎(chǔ)歸一化H-M 破壞包絡(luò)軌跡Fig.6 Normalized H-M failure locus of shallow foundations

將式（1）和（2）代入式（3），經(jīng)過(guò)整理可得到VH-M空間的破壞包絡(luò)面方程，如式（4）所示。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證該方程的合理性，對(duì)內(nèi)摩擦角φ＝20°和25°情況下的H-M破壞包絡(luò)軌跡進(jìn)行了模擬，如圖7所示。

通過(guò)比較，可以看到式（4）的模擬結(jié)果較好，因此，采用如式（4）所示的三維破壞包絡(luò)面方程來(lái)評(píng)價(jià)復(fù)合加載條件下砂土地基上圓形淺基礎(chǔ)承載力是合理的。在實(shí)際應(yīng)用中，只需根據(jù)豎向極限承載力公式或其它方法確定相應(yīng)的豎向承載力Vult，進(jìn)而根據(jù)方程（4），就可以得到破壞包絡(luò)面的顯式表達(dá)式f（V，H，M／D）＝0，如圖8所示。若淺基礎(chǔ)設(shè)計(jì)荷載組合點(diǎn)（V，H，M）位于包絡(luò)面上時(shí)，說(shuō)明地基處于承載能力極限狀態(tài)。當(dāng)荷載組合點(diǎn)（V，H，M）處于該包絡(luò)面內(nèi)部，則淺基礎(chǔ)是整體穩(wěn)定的，反之，則將發(fā)生失穩(wěn)破壞，在工程中應(yīng)對(duì)基礎(chǔ)進(jìn)行重新設(shè)計(jì)［14－16］。

圖7 不同荷載水平下淺基礎(chǔ)H-M破壞包絡(luò)軌跡Fig.7 H-M failure locus of shallow foundations under various vertical load levels

圖8 圓形淺基礎(chǔ)三維破壞包絡(luò)面Fig.8 Three dimensional failure envelope of circular shallow foundations

7 結(jié)論

1）與不排水情況下軟黏土地基上基礎(chǔ)破壞包絡(luò)面相比，砂土地基上圓形淺基礎(chǔ)的破壞包絡(luò)面形狀有較大差異，但V-H和V-M平面內(nèi)的破壞包絡(luò)面形狀仍具有較好的歸一化特性，可用拋物線方程進(jìn)行表達(dá)。

2）在一定豎向荷載水平下，不同內(nèi)摩擦角情況下的H-M破壞包絡(luò)軌跡基本重合，形狀為具有一定偏心度的橢圓。

3）根據(jù)計(jì)算結(jié)果，提出了砂土地基上圓形淺基礎(chǔ)三維破壞包絡(luò)面方程。經(jīng)過(guò)初步驗(yàn)證，該方程可以用來(lái)評(píng)價(jià)圓形淺基礎(chǔ)在共面復(fù)合加載條件下是否穩(wěn)定。

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（編輯王秀玲）