自旋導彈控制耦合及補償解耦性能研究*

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自旋導彈控制耦合及補償解耦性能研究*

賈寶1，薛林2，閆曉勇1

(1.北京電子工程總體研究所，北京100854； 2.中國航天科工集團 第二研究院，北京100854)

摘要：彈體滾轉條件下，舵機的動力學滯后造成了自旋導彈的控制耦合。建立了準彈體坐標系下等效舵系統的動力學傳遞函數矩陣，基于串聯補償解耦方法，研究了補償角與彈體轉速、控制信號頻率之間的關系，以及補償角對舵系統關聯性的影響。研究表明，針對穩態解耦補償角取值為最優補償角時，舵系統的通道關聯性達到最小，但理論上該方法在控制信號為低頻條件下才能實現近似的靜態解耦；當控制信號頻率較高時，會出現過補償現象，控制系統解耦性能下降；補償角的上界值會隨著彈體轉速發生變化，因此應該對補償角進行在線動態修正，避免發生過補償現象。

關鍵詞：自旋導彈；控制耦合；等效舵機；對角優勢度；補償解耦；最優補償角

0引言

舵系統是導彈自動駕駛儀中的一個重要環節，為了減小舵系統動態特性對自動駕駛儀性能的影響，在設計時通常要求其帶寬為自動駕駛儀帶寬的3~5倍，因此一個好的舵系統可以實現快速無靜差的響應輸入指令。導彈在自旋飛行條件下，彈體滾轉會影響舵系統的動態性能，同時舵機的動力學滯后導致導彈的俯仰通道和偏航通道間產生了交聯[1-4]。舵系統帶來的控制交聯通常在自旋導彈的交聯項中占主要部分，一些文獻中通過忽略交聯項的影響，利用經典的獨立自動駕駛儀設計方法對自旋導彈的自動駕駛儀進行了設計[5-7]。但有研究表明交聯項將影響導彈的穩定性，使導彈的穩定邊界減小[8-12]，因此，經典的駕駛儀設計方法很可能帶來自旋導彈駕駛儀穩定裕度偏小的問題。

為了減小控制交聯項對自旋導彈的影響，應該采用解耦方法對舵系統進行解耦控制。常見的解耦方法有對角優勢法、狀態反饋法、自適應解耦控制及智能解耦控制等[13]，但針對被控對象為導彈時工程實現有一定難度。文獻[14]中提出了一種簡單有效的解耦方法，即利用串聯補償來降低系統的關聯性，但沒有考慮當控制信號頻率分量較為豐富時的解耦效果。本文將在這種方法的基礎上，研究控制信號頻率及補償角大小對補償前后舵系統關聯性的影響，給出補償角選取的合理范圍。

1滾轉條件下等效舵機分析

自旋導彈飛行過程中，舵機隨著彈體一起進行滾轉，其性能將會受到滾轉的影響。為了對自旋導彈的伺服系統性能進行分析，首先把與彈體固連的舵機模型轉換到準彈體坐標系中進行描述，為此將舵系統簡化為一個一階慣性環節[15]：

(1)

即

(2)

式中：δy1，δz1為彈體系下舵機的舵偏角；δyc1，δzc1為彈體系下舵機的輸入指令信號。

設準彈體坐標系下等效舵機輸出信號為δy4，δz4，輸入信號為δyc4，δzc4，則根據準彈體坐標系與彈體坐標系之間的轉換關系，有[16]

(3)

將式(3)代入式(2)，整理后有

(4)

對上式進行拉普拉斯變換，可得到在準彈體坐標系下舵機系統的傳遞函數矩陣為

(5)

從式(5)可以看出，彈體滾轉使等效舵機的階次增加，同時次對角線上的元素表示了舵機動力學滯后引起的自旋導彈控制耦合問題，即俯仰(偏航)通道的控制信號在導彈的另一個通道產生了控制力。

定義G1δ(s)=δy4/δyc4=δz4/δzc4為主通道舵機傳遞函數，將其進行變形，得到標準形式為

(6)

式中：

彈體滾轉使主通道的控制增益降低。同時，等效舵系統的阻尼隨著轉速的增大而減小，而自然角頻率ωn隨著轉速的增加而增加，故彈體滾轉使舵機環節的平穩性變差，且轉速越高，系統平穩性越差。作近似計算時，系統的帶寬可表示為

ωb=(2ωn-ωs)，

(7)

式中：ωs=1/τ。可見等效舵系統的帶寬將隨著轉速的增加而增加，即彈體轉速越高，系統快速性越好。

定義G2δ(s)=δz4/δyc4=-δy4/δzc4為耦合通道舵機傳遞函數，它是一個二階環節，標準形式為

(8)

對等效舵機的傳遞函數進行頻域分析，由式(6)得到主通道傳遞函數的頻率特性為

(9)

(10)

相頻特性為

(11)

同理，可得耦合通道傳遞函數的幅頻特性為

(12)

相頻特性為

(13)

2滾轉條件下舵系統的關聯性分析

彈體滾轉使舵系統變為一個多輸入多輸出系統，為了定量分析舵系統兩通道間的耦合程度，可以使用對角優勢度的概念來對系統的關聯性進行定量描述。根據式(10)和(12)，可定義舵系統的對角優勢度為

(14)

從式(14)可以看出，舵系統的對角優勢度會隨著彈體轉速的增加而變大，同時隨著舵機帶寬的增加而變小。此外，對角優勢度還會隨著輸入信號頻率的增大而減小，從傳遞函數的幅頻特性來分析，主通道傳遞函數G1δ受到零點的影響，使其幅頻特性近似以-20 dB/dec的速度衰減，而耦合通道傳遞函數G2δ的衰減速度為-40 dB/dec，即A2相比于A1來說衰減的更快，則其比值也就會減小，如圖1所示。

圖1　舵系統的對角優勢度曲線Fig.1　Dominance degree of rudder system

從圖1可以看出，當彈體轉速較高時，舵系統在低頻段的對角優勢度較大，而導彈的控制信號一般都出現在這個頻段，因此有必要進行解耦控制來減小舵系統的對角優勢度。一種簡單且可行的方法是通過串聯補償來降低系統的關聯性，甚至實現靜態解耦[14]，這種解耦方法對于帶寬較大的舵系統來說是有效的。設超前補償角為φδ，滿足φδ<90°，則有關系式：

(15)

由式(5)和(15)，可得補償后的等效舵系統傳遞函數為

(16)

串聯補償使主通道傳遞函數的帶寬減小，而使耦合通道的傳遞函數帶寬增加。利用補償前舵系統傳遞函數的頻率特性，即

(17)

可得補償后舵系統傳遞函數的幅頻特性為

(18)

相頻特性為

(19)

則補償后系統的對角優勢度可表示為

(20)

補償后的對角優勢度是補償角φδ及輸入信號頻率ω的函數，取定轉速ωx的值，可得到如圖2所示的對角優勢度曲線，圖中虛線為補償前的對角優勢度。

圖2　補償后的舵系統對角優勢度曲線Fig.2　Dominance degree with compensation

從圖中可以看出，對于固定的ω值，補償后的對角優勢度隨著補償角φδ的增大，先減小后增大，說明存在一個最優的補償角使對角優勢度達到最小，下面來求這個最優的補償角。在式(20)兩端平方后對φδ求導，可得

(1-X2)tanφδ-Xcos(φ1-φ2)].

(21)

上式的分母項一定為正，下面來分析其分子項，設

f(a)=Xcos(φ1-φ2)a2+(1-X2)a-Xcos(φ1-φ2)],

(22)

式中：a=tanφδ。這是一個關于a的二次方程，由傳遞函數G1δ和G2δ的相頻特性可知，φ1-φ2的最大值為π/2，即式(22)中二次項的系數為正。對式(22)進行求解，得

(23)

式(22)的2個根為一個正根和一個負根，由二次函數的性質可知，當tanφδ取正根時，X′有最小值，符合圖2中對角優勢度對補償角φδ的變化規律。當輸入信號頻率ω為0時，有φ1-φ2=0，此時使對角優勢度取最小的補償角為

(24)

將其帶入式(20)后可得X′=0，即實現了靜態解耦。由式(20)還可知，只有當ω為0時，對角優勢度才有可能為0。而對于ω不為0的情況，對角優勢度永遠不為0，此時的最優補償角為

(25)

當輸入信號頻率逐漸變大時，cos(φ1-φ2)將逐漸接近于0，則最優補償角也將逐漸減小并接近于0，如圖3所示。進一步，利用最優補償角得到的最優對角優勢度也將接近于補償前的對角優勢度。

圖3　最優超前補償角Fig.3　Optimal leading compensation angle

從式(25)中可以看出，系統的最優補償角與彈體的滾轉速度ωx及輸入信號的頻率ω之間存在著復雜的非線性關系，而且在導彈飛行過程中，這2個量都在不斷地發生變化且難以得到精確的測量，因此在工程實際中，很難得到最優補償角的值并加以利用。考慮到導彈的輸入信號頻率較小，一般在幾Hz的量級，因此一種可行的方案是采用靜態解耦時的補償角，也即是ω為0時的最優補償角。

從圖2中還可以看出，當補償角φδ大于某一值時，補償后的對角優勢度沒有降低，反而得到了增加，下面對這一現象進行理論分析。將補償前后的對角優勢度平方后相減，得

(-tan2φδX2-2cos(φ1-φ2)tanφδX+tan2φδ).

(26)

為使補償后的系統對角優勢度得到降低，應使上式等號右端的值為負。在式(26)等號右端的分數式中，分母項永遠為正，故只需要分子項為負即可，即

-tan2φδX2-2cos(φ1-φ2)tanφδX+tan2φδ<0.

(27)

對這個不等式進行求解后可得

(28)

當補償角φδ固定時，輸入信號頻率ω應小于某一值，否則補償后的對角優勢度將大于補償前的。如果固定ω的值，則根據式(27)有

(29)

當φδ<90°時，式(29)的第2個不等式是永遠成立的。當ω增大時，式(29)中第1個不等式的右邊項是在減小的，即當ω為0時，其值為最大，如果此時式(29)依然不成立，即

(30)

則補償后的對角優勢度在任何頻率下都將大于補償前的值。定義

(31)

為補償角的上界值，超過這個值后，補償解耦將造成過補償，使系統關聯性更加嚴重。對比式(31)和式(24)可以看出，補償角的上界值正好是實現靜態解耦的補償角的2倍。

自旋導彈在飛行過程中，彈體轉速是在不斷的發生變化的，那么其補償角的上界值也是不斷變化的。將φδ_sup對ωx求導，可得

(32)

這是一個正數，可知φδ_sup對ωx是單調遞增的。在實際飛行中應該對補償角進行在線修正，如果飛行全程使用固定的補償角，則當彈體轉速降低時，可能出現補償角大于上界值的情況，從而導致系統關聯性變大。

3算例仿真

以某舵系統為例進行驗證分析，設此舵系統的帶寬為ωs為8 Hz，彈體的滾轉速度ωx為5 Hz。在側向輸入單位階躍信號，即ω為0，則補償前的對角優勢度為X=0.625，此時系統的響應信號如圖4所示。

圖4　補償前系統的階躍響應Fig.4　Step response without compensation

由式(25)可知最優補償角為φδ_opt=32.01°，使用這個角進行串聯補償，系統實現靜態解耦，如圖5所示。

圖5　最優補償后系統的階躍響應Fig.5　Step response with optimal compensation

如果側向輸入信號是幅值為1，頻率為2 Hz的周期信號，則補償前的對角優勢度為X=0.606 3，相比階躍信號有所降低，此時系統響應如圖6所示。

圖6　補償前系統的頻率響應Fig.6　Frequency response without compensation

采用最優補償角進行串聯補償，根據式(25)可得最優補償角為φδ_opt=30.87°，則最優對角優勢度為X′=0.109，沒有達到完全的解耦，如圖7所示，但此時系統關聯性得到很大的降低。如果采用靜態解耦時的補償角φδ=32.01°進行補償，補償后的對角優勢度為X′=0.110 5，略大于采用最優補償角時的值，系統的關聯性同樣變得很小。

圖7　最優補償后系統的頻率響應Fig.7　Frequency response with optimal compensation

如果在自旋導彈飛行過程中，不對補償角進行在線修正，而是全程使用固定的補償角，比如使用ωx=5 Hz，ω=0 Hz時的最優補償角，即φδ=32.01°，舵系統的對角優勢度會隨著轉速的不同而發生變化，如圖8所示，當轉速低于2.6 Hz時，系統出現過補償的現象，關聯度增加。

圖8　對角優勢度隨轉速的變化曲線Fig.8　Dominance degree for different rolling speeds

因此，有必要根據對角優勢度對輸入頻率的變化情況，在串聯補償角選取時適當考慮留有一定余量，可以削弱主要工作頻率區間內的過補償現象。或者在輸入信號中增加調節網絡，促使信號的幅頻特性與對角優勢情況相匹配。

4結束語

本文對彈體滾轉下舵系統的動態性能及解耦特性進行了分析。將舵系統的傳遞函數變換到準彈體坐標系下進行分析可知，彈體滾轉不僅改變了舵系統的傳遞函數，使其階次增加，而且造成了俯仰通道和偏航通道之間的交聯。系統的關聯性大小可以用對角優勢度來表示，其值將隨著彈體轉速的增大而變大，同時隨著輸入信號頻率的增大而減小。為了減小舵系統的關聯性，可以采用超前補償角進行串聯補償，當補償角小于上界值時，這種方法可以有效減小系統的對角優勢度。對于不同的輸入信號頻率ω，都會有一個最優補償角與之對應，利用這個角進行補償，所得到的對角優勢度將是最小的，但只有在ω為0時才能達到完全的解耦，即對角優勢度為0。自旋導彈在飛行過程中，難以對控制信號頻率進行有效的測量，因此不可能始終使用最優補償角進行補償，一種可行的方法是使用ω為0時的補償角，并根據轉速的變化對其進行在線修正，以消除轉速變化引起的補償誤差；同時考慮提前留出必要補償余量或增加增益動態調節環節以增強解耦控制對不同頻率的全局適應能力，避免過補償現象的出現。

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Analysis of Control Coupling and Compensation Decoupling Performance for Spinning Missile

JIA Bao1, XUE Lin2, YAN Xiao-yong1

(1.Beijing Institute of Electronic System Engineering, Beijing 100854, China;2.The Second Research Academy of CASIC, Beijing 100854, China)

Abstract:The actuator kinetics result in the control coupling in spinning missile. The transfer function matrix of the equivalent actuator is derived in quasi-body coordinate system. Aiming at the cascade compensation decoupling method, the relation among rotating frequency, input signal frequency and the compensation angle arestudied. The result indicates that the coupling degree will reach the minimum when the compensation angle is optimal. This method can realize the static decoupling only when the control signal frequency is low. There is overcompensation phenomenon when signal frequency is high, and it will reduce the decoupling performance. The upper bound of the compensation angle changes with the rotational speed, so the compensation angle must be revised online to avoid overcompensation phenomenon.

Key words:spinning missile; control coupling; equivalent actuator; diagonal dominance; compensation decoupling; optimal compensation angle

中圖分類號：TJ765.1

文獻標志碼：A

文章編號：1009-086X(2015)-02-0047-07

doi:10.3969/j.issn.1009-086x.2015.02.009

通信地址：100854北京市142信箱30分箱E-mail：abao19881211@163.com

作者簡介：賈寶(1988-)，男，山西晉城人。博士生，研究方向為飛行器總體設計。

基金項目：有

* 收稿日期：2014-11-06；
修回日期：2014-12-08