北斗系統三頻載波相位整周模糊度快速解算*

王 興，劉文祥，陳華明，孫廣富

(國防科技大學電子科學與工程學院，湖南長沙410073)

2012年12月27日北斗系統(BeiDou navigation satellite Systems，BDS)正式開始試運行，為我國及周邊地區提供連續的導航定位和授時服務。BDS播發三個頻點導航信號，其中心頻率分別為B1(1561.098MHz)、B2(1207.140MHz)以及B3(1268.520MHz)。

近年來，載波相位模糊度解算一直是實現快速、高精度定位的關鍵。多頻模糊度解算可以避開傳統搜索算法的復雜計算，根據不同觀測值組合的波長及其誤差的特點，通過簡單的舍入取整進而逐級固定超寬巷(Extra-Wide Lane，EWL，λ≥2.93m)，寬巷(Wide-Lane，WL，2.93m〉λ≥0.75m)，中、窄巷(Media/Narrow Lane，ML/NL，λ〈0.75m)模糊度。其中經典的算法有Forsell和Vollath等提出的三頻整周模糊度解算(Three Carrier Ambiguity Resolution，TCAR)［1-2］以及Jung等提出的級聯模糊度解算(Cascading Integer Resolution，CIR)［3］，它們已逐步成為研究的熱點。

Feng等給定了不同基線對應的電離層延時、對流層延時、軌道誤差的量級，推薦了多組多頻優化組合［4］;伍岳等利用兩組已固定的EWL/WL的整周模糊度反求電離層延時誤差，改善NL模糊度的求解［5］，但是直接估計的電離層延時方差較大，往往會降低求單歷元模糊度解的成功率;Feng等在此基礎上，提出通過多歷元取平均對電離層延時估計進行平滑，改善了電離層延時估計，進而提高NL模糊度固定的成功率［6-7］，但是該方法需要較長的初始化時間，降低了模糊度解算的實時性。Tang等假定BDS中B3頻點的偽距測量誤差僅為B1和B2頻點偽距測量誤差的0.1倍(實際應用中取0.2)，給出了一種逐級模糊度求解的改進算法，提高了求基礎模糊度解的成功率［8］，但是由于采用了逐級搜索的算法，增加了解算的復雜度，同時在實際應用中，關于BDS三個頻點偽距測量誤差大小關系的假定并不完全符合。

1 組合觀測方程及geometry-free模型TCAR算法

1.1 三頻組合觀測量理論

利用f1、f2、f3分別表示BDS三個頻點B1、B2、B3對應的載波頻率，同時顧及長距離條件下觀測量雙差殘留的電離層延時、對流層延時、軌道誤差等影響，雙差組合觀測方程可表示為:

其中:Δ為雙差算子，ρ表示衛星到接收機的幾何距離;δorb表示軌道誤差;δtro表示對流層延時誤差;δI1表示f1頻點對應一階電離層延時誤差。為了滿足組合后的幾何相關性(geometry-based)，偽距和載波相位線性組合分別采用如式(3)和式(4)所示的形式。

其中:ΔPi、ΔΦi分別為頻點fi以米為單位的偽距和載波相位觀測量;為了滿足組合后模糊度的整數特性，約束載波相位組合系數i，j，k均為整數。組合后的波長λ(i，j，k)和整周模糊度ΔN(i，j，k)可分別由式(5)和式(6)表示。

其中，qi為頻點fi與f1的一階電離層延時項比例系數。

1.2 geom etry-free模型TCAR算法

經典的geometry-free模型TCAR方法是通過對浮點模糊度四舍五入取整來快速固定EWL/WL整數模糊度。模糊度的浮點解則是利用載波相位-偽距的線性組合來消除與幾何距離相關的因素，如星地距離、軌道誤差、對流層誤差等，其計算如式(9)所示。

此時，模糊度浮點解的精度受兩類誤差的影響，第一類為載波相位及偽距的組合測量誤差，該類誤差一般服從零均值正態分布;第二類誤差為組合后的電離層延時誤差，該類誤差均值非零，無法通過歷元間平滑進行誤差消除，對整周模糊度的固定的影響較大。因此，為了更好地區分兩類誤差對模糊度固定的影響，本文對第二類誤差賦予加權因子，給出加權的組合噪聲因子定義:

式中，γ為一階電離層延時誤差對模糊度固定的加權因子，其取值應與電離層延時誤差及偽距測量誤差相關，范圍應滿足γ≥1。

2 最優偽距組合系數的改進TCAR算法

Geometry-free模型的TCAR算法通常采用整數范圍內遍歷搜索的方法選取偽距、載波相位組合系數，并不能保證組合后的噪聲因子σTN最小，整周模糊度固定的成功率也并非最高。

2.1 雙差偽距測量誤差的估算方法

在實際系統中，由于載波相位測量誤差較小，且各頻點之間的差異性也很小，因此可假定各頻點的載波相位測量誤差相同，即，則組合后的載波相位測量誤差可表示為:

對于偽距觀測量而言，由于不同頻點偽碼碼率、碼環參數、多徑等影響因素各不相同，各頻點偽距測量誤差的差異較大。參照文獻［9］給出BDS偽距測量誤差提取方法:

則雙差偽距觀測誤差的估計值為:

圖1給出了2015年1月22日13:34:00至18:00:00共計約4.43h內，在長沙利用兩臺接收機對天實測接收BDS三個頻點PRN8與PRN10雙差窄相關偽距觀測量誤差。

圖1 PRN 8與PRN 10雙差偽距觀測量誤差Fig.1 Double differential pseudo-range observation error with PRN 8 and PRN 10

由圖可見，受多種因素的影響，三個頻點偽距測量誤差具有一定的差異性，但并不與偽碼速率完全成反比，因此，為了降低組合后的噪聲因子，提高模糊度固定成功率，須對各偽距測量誤差進行實時估計。

2.2 最優偽距組合系數解算

依據前文分析可知，當載波相位組合系數(i，j，k)確定后，其組合后的波長λ(i，j，k)為正常數，則加權噪聲因子σTN最小的等價條件為F值最小，其中

上述問題轉換為條件約束下的極值問題，建立Lagrange極值函數f(l，m，n，θ)如式(15)所示。

對該極值函數關于自變量(l，m，n，θ)求偏導，并令偏導數為零，可得四元一次方程組:

其中，T=q1·l+q2·m+q3·n+β(i，j，k)表示偽距-載波相位組合后的一階電離層影響因子，求解上述四元一次方程組，可得:

其中:

假定:BDS三個頻點雙差后的偽距測量誤差分別為εΔP1=0.3m，εΔP2=0.25m，εΔP3=0.15m;載波相位雙差測量誤差εΔΦ=5mm;參照文獻［6］，f1頻點的電離層延時誤差ΔδI1為0.1m(短基線)及1m(長基線);依據經驗取加權因子γ=2。表1給出了幾組常用偽距組合和最優偽距組合對應加權噪聲因子。

表1 幾種組合的加權噪聲因子Tab.1 The weighted noise level for several combinations

2.3 雙差電離層延時實時估算及消除

電離層延時誤差是影響geometry-free模型TCAR算法整周模糊度固定最主要的誤差源。特別在長基線條件下，由于空間相關性降低，雙差電離層延時誤差顯著增大，甚至可達數米，嚴重制約著長基線條件下的高精度相對定位應用。因此若能對電離層延時誤差進行實時高精度估計，則可大幅度提高模糊度固定的成功率。

Feng提出利用兩組已固定的EWL/WL整周模糊度對f1頻點雙差電離層延時

由于線性組合放大了觀測噪聲，上述方法估計精度較低，估計方差約為60εΔΦ。而多歷元平滑在提高估計精度的同時會降低估計的實時性和對電離層延時瞬態變化的敏感度。本文引入Hatch濾波對電離層延時誤差的實時估計值和歷元間電離層延時遞推估計值進行加權平滑，則t時刻電離層的估計值可由式(19)計算［10］。

式中:ω為平滑因子，一般取1/n，n為需平滑的歷元個數為電離層延時歷元間變化量，可由B1和B3頻點的載波相位的線性組合在歷元間作差獲得，如式(20)所示。

2.4 基礎模糊度解算

在相對定位應用中，為了獲取高精度觀測信息，更關心基礎整周模糊度(ΔN1，ΔN2，ΔN3)。

假設已知三組線性無關組合系數對應的組合整周模糊度，則可通過非奇次線性方程組求解基礎模糊度。

表1給出的EWL/WL整周模糊度的組合系數均滿足i+j+k=0，因此只需再確定一組組合系數滿足i+j+k≠0對應的整周模糊度，即可通過式(22)求解基礎模糊度。但是，當組合系數滿足i+j+k≠0時，組合后的觀測誤差較大，難以滿足單歷元直接固定的需求。而由公式(21)可見，在消除電離層延時誤差后，模糊度固定的誤差僅與偽距、載波相位的觀測誤差及其組合系數相關，此時可通過選取最優組合系數并利用多歷元平滑來提高模糊度的固定成功率。

3 實例分析

利用2015年1月22日長、短基線BDS三頻實測數據對算法性能進行驗證，長基線數據采用位于長沙和三亞的兩臺監測接收機對天實測數據，兩站距離相距約1154km;短基線數據為位于長沙相距約1km的兩臺監測接收機對天實測數據。三臺接收機天線均放置在樓頂，周圍無樹木和高大建筑物，采用扼流圈天線及鋪設吸波材料的方法來減小多徑效應。

圖2和圖3分別給出短基線和長基線條件下最優偽距組合ΔPopt和傳統偽距組合ΔP(0，0，1)求解的衛星2與衛星8雙差整周模糊度ΔN(0，-1，1)和ΔN(1，0，-1)浮點解精度。

圖2 EWL整周模糊度ΔN(0，-1，1)的浮點解Fig.2 Float ambiguity resolution for EWL ΔN(0，-1，1)

圖3 WL雙差整周模糊度ΔN(1，0，-1)的浮點解Fig.3 Float ambiguity resolution for WL ΔN(1，0，-1)

可以看出，最優偽距組合的模糊度浮點解方差小于傳統偽距組合，特別在長基線條件下，部分組合對應的浮點解方差可減小35%以上。表2采用統計的方式(共視仰角大于20°衛星整周模糊度成功固定的歷元數與總歷元數之比)對比了給出的幾組最優偽距組合和傳統偽距組合求解EWL/WL整周模糊度的固定成功率。

表2 幾組EWL/WL整周模糊度固定成功率Tab.2 Success probability for EWL/WL ambiguity resolution

當載波相位組合系數滿足條件i+j+k≠0時，電離層延時誤差和組合后的測量誤差嚴重制約著整周模糊度的固定，必須對上述誤差進行消除。圖4通過整周模糊度ΔN(-2，2，1)的浮點解精度反映了長、短基線條件下基于Hacth濾波電離層估計的改進算法和基于多歷元平滑電離層估計的傳統算法對組合觀測量中電離層延時誤差估計和消除的性能，其中，偽距組合采用最優偽距組合ΔPopt，并利用30s歷元平滑降低組合觀測量中的測量誤差。由于存在電離層高階項延時誤差、多徑誤差等影響，長基線條件下改進算法的ML模糊度也會出現固定失敗的情況。

圖4 ML整周模糊度ΔN(-2，2，1)的浮點解和整數解(電離層修正后)Fig.4 Float and integer solution for ML ΔN(-2，2，1)(with eliminating ionospheric delay)

表3給出了不同電離層修正算法的求解ML整周模糊度ΔN(-2，2，1)的固定成功率。

表3 電離層延時修正后的ML ΔN(-2，2，1)固定成功率Tab.3 Success probability for ML ΔN(-2，2，1)with eliminating ionospheric delay

可以看出，基于Hatch濾波的電離層改進算法對于ML模糊度固定成功率的提升明顯優于傳統基于歷元間平滑的電離層估計算法，30s歷元平滑后的模糊度固定成功率可達90%以上，較傳統算法提高10%～18%，進而等效地提高了基礎模糊度的固定成功率。

4 結論

本文分析了幾何無關(geometry-free)模型TCAR算法的制約因素，針對BDS系統，給出了一種基于實時最優組合求解的改進TCAR算法。該方法有以下幾點改進:第一給出了加權組合噪聲因子的定義，采用加權的方式降低電離層延時誤差等有偏誤差對模糊度固定的影響;第二，針對各衛星、各頻點偽距測量誤差和電離層延時誤差的大小不同，通過實時估計上述參數，給出最小加權噪聲因子對應的最優偽距組合系數的求解方法;第三，將Hatch濾波應用到TCAR算法的電離層延時誤差估計及消除中，提高了電離層延時的估計精度，進而提高了基礎模糊度解的固定成功率。最后用BDS實測數據對算法性能進行了驗證，結果表明，所提出改進算法較傳統算法降低了組合后的噪聲因子，特別在長基線條件下，顯著提高了模糊度解算的成功率。

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