現代計算機軟件在壓力容器計算上的應用

于 暉 張 莉 姚 迪

(中國核電工程有限公司，北京 100840)

?

現代計算機軟件在壓力容器計算上的應用

于 暉 張 莉 姚 迪

(中國核電工程有限公司，北京 100840)

在經典彈性力學的基礎上，將現代化的計算機軟件(MAPLE，MATLAB和ANSYS)運用到柱狀容器在軸對稱溫度場作用下的熱應力計算中，并將三種計算機軟件獲得的計算結果與經典彈性力學計算結果進行對比，對比結果顯示：現代計算機軟件的計算結果與經典彈性力學的計算結果非常吻合，可以有效的提高計算的效率和精度。

MAPLE，MATLAB，ANSYS，柱狀容器，高溫作用

0 引言

本文將在經典彈性力學[1,2]的基礎上結合現代計算中的解析解軟件(MAPLE，MATLAB)和仿真計算軟件(ANSYS)進一步討論完善關于柱狀容器在軸對稱溫度場作用下的熱應力計算與分析，其中的MAPLE和MATLAB適用于解析解計算而ANSYS適用于有限元仿真計算。為柱狀容器的計算提供便捷、可信的計算方法和途徑。

1 柱狀容器的受力分析

柱狀容器在溫度作用下(假設內部溫度高于外部溫度)，主要承受環向應力σθ、徑向應力σr和豎向應力σz的作用(見圖1)。

由文獻可知同性同向材料(E，υ)的物理方程如下所示：

(1)

(2)

(3)

幾何變形方程：

(4)

將式(2)求導后可得：

(5)

將式(1),式(2)，式(5)代入到式(4)中，得到最終的變形公式如下：

(6)

柱狀容器的平衡方程如下：

(7)

由此，我們可以獲得由變形方程(6)與平衡方程(7)的方程組。

關于溫度場的計算可以參考文獻中提供的公式，即：

(8)

其中,Ta,Tb分別為厚壁柱狀容器的內壁和外壁溫度。

方程組所對應的邊界條件為：在高溫作用下柱狀容器內壁和外壁的徑向受力為零。

通過上述計算公式的推導，將工程結構的計算轉化為數學方程組的求解，由此我們可以通過現代計算機軟件MAPLE和MATLAB快速、高效的解決此類計算。

柱狀容器在軸對稱溫度場作用下的應力平面分析圖見圖1。

圖1中，a，b分別為筒體的內、外半徑;r0為彈性狀態下的中性層半徑;T(r)，T分別為溫度場，溫度;E為彈性狀態下的彈性模量;υ為彈性狀態下的泊松比;σr(r)為彈性狀態下的徑向應力;σθ(r)為彈性狀態下的環向應力;σz(r)為彈性狀態下的豎向應力。

2 軟件MAPLE的計算結果

MAPLE是Wsterloo公司推出的一種計算機代數系統，是目前廣泛使用的數學計算工具之一，MAPLE不但可以進行簡單的加、減、乘、除計算，還可以求解代數方程和微分方程及方程組。

為方便計算，首先把方程組中的表達式轉化為MAPLE能夠識別的數學符號，即：sigmar(r):=x(r)，sigmat(r):=y(r)；其次調用MAPLE中自帶的軟件包和可用于求解微分方程組的相關命令，同時將已知的參數(常數)以及邊界條件代入方程組中，具體的程序如下所示：

>V:=0.1;

>alpha:=10^(-5);

>PDEtools[de]clare〗((x, y)(r),prime=r);

sigmar(r):=x(r),sigmat(r):=y(r)

>sys0:=diff(x(r),r)+(x(r)-y(r))/r=0,diff((1-V*V)*y(r)/E-(V+V*V)*x(r)/E+(1+V)*alpha*(100*ln(84/r)/ln(84/55)+50*ln(55/r)/ln(55/84)), r)+(y(r)-x(r))*(1+V)/(r*E)=0;

>init0:=x(55)=0,x(84)=0;

>sol0:=dsolve([sy]s0,init0〗);

>r:=55;E:=5.27*10^5;

>map(simplify,sol0);

>simplify(map(simplify,sol0),′assume=real′);

x(5.50*10)=-4.34*10-6,y(5.50*10)=-1.67*102,

最后的計算結果顯示：當r=55 cm時，σr=-4.34×10-5=0,σθ=-16.7 MPa,不同半徑的應力計算結果見表2。

3 軟件MATLAB的計算結果

MATLAB源于Matrix Labortary，即矩陣實驗室，其內部豐富的函數庫可以方便的實現用戶各種科學計算和數據處理功能。MATLAB與MAPLE擁有相同的數值庫(即數值計算引擎)，但是MAPLE多用于符號計算，而MATLAB更多用于數值計算。

MATLAB計算時，采用的是“龍格—庫塔(Runge-Kutta)”計算方法，這種計算方法源于“泰勒公式”和“使用斜率近似表達微分”，它在積分區間內計算幾個點的斜率，然后進行加權平均，用作下一個點的依據，從而構造出精度更高的數值積分的計算方法。根據MATLAB計算軟件的要求，將方程組改寫為可用于MATLAB計算的數學表達式，同時調用MATLAB內部的ODE45函數，并假設σθ(55)=c，具體程序如下：

syms c;%假設未知函數為c

delta1=’-(delta(1)-delta(2))/r’;

delta2=’-7.598750156*10^(-8)*(-1.316005895*10^7*delta(1)+1.316005895*10^7*delta(2)-9.098280761*10^9)/r’;

QQ=ode45YUHUI([‘[]‘,delta1,’,’,delta2,’〗’〗,’r’,’delta’,[0,]c〗,[55]∶0.1∶84〗,0);

通過計算可以得到不同位置上含有未知參數c的環向應力σθ(c)和徑向應力σr(c)，如表1所示，其中r=84 cm的計算結果如下：

σr|r=84=0.285 6×c+47.648 29;

σθ|r=84=0.714 35×c+245.129 48。

表1 MATLAB含有未知參數c的計算結果

4 軟件ANSYS的計算結果

ANSYS與MTALAB，MAPLE的主要區別在于：MTALAB和MAPLE適用于數值計算(主要包括：普通數學計算、微積分計算、方程組的計算等等)，而ANSYS主要是通過建立實體模型模擬各種荷載工況下獲得的計算結果。

由于柱狀容器屬于軸對稱結構，在計算中選用軸對稱單元PLANE77，對應的材料參考在MAPLE和MATLAB中的取值。計算步驟為：1)建模(見圖2a))；2)劃分網格(見圖2b))；3)施加溫度荷載；4)通過計算獲得溫度場(見圖2c))；5)將熱分析單元轉化為結構單元；6)將已獲取的溫度場作為荷載；7)對柱狀容器施加軸對稱約束；8)完成計算獲得各個位置上的環向應力σθ和徑向應力σr(見圖2d)，圖2e)，表2以及圖3)。

表2 柱狀容器在溫度作用下通過不同計算方法獲得的計算結果

通過表2和圖3的數據對比可知：現代計算軟件可以完成柱狀容器在溫度作用下的計算，其中，利用MAPLE和MATLAB獲得的解析解計算結果與經典彈性力學給出的計算結果完全一致，而通過有限元法(ANSYS)獲得的計算結果與解析解獲得的計算結果也相差不大，符合計算的要求。

5 結語

本文闡述了不同計算軟件(MATLAB，MAPLE，ANSYS)對由同性同向材料組成的柱狀容器在高溫作用下的計算方法與結果分析，計算結果顯示現代計算機軟件與經典彈性力學的計算結果非常吻合，并且驗證了理論解析解與有限元計算的正確性，符合計算的要求。現代計算機軟件可以高效、精確的完成計算，在此基礎上為以后更深入的研究由各項異性材料組成的柱狀容器在高溫、高壓、核輻射以及地震等作用下的線性與非線性計算提供可靠的依據和計算方法。

[1]王瑞富，陳國榮.溫度場和溫度應力.北京:科學出版社,2004.

[2]Лехницкий С. Г. Анизотропная теория упругости. / С.Г. Лехницкий.М.Наука,1977：415 c.

[3]馬開平，馮 緯，潘申梅.Maple高級應用和經典實例.北京：國防工業出版社,2002.

[4]趙海濱.MATLAB應用大全.北京:清華大學出版社,2002.

[5]刑靜忠,王永崗,陳曉霞.ANSYS7.0 分析實例與工程應用.北京：機械工業出版社,2004.

[6]辛文彤,李志尊,胡仁喜.ANSYS13.0熱力學有限元分析從入門到精通.北京:機械工業出版社,2011.

Modern computer software used in the calculation of the pressure vessel

Yu Hui Zhang Li Yao Di

(ChinaNuclearPowerEngineeringCo.,Ltd,Beijing100840,China)

According to the classical elasticity mechanics, this paper uses three different kinds of modern computer software (MAPLE,MATLAB, and ANSYS) to simulate and investigate the thermal stress of cylindrical vessel under the axisymmetric temperature field. The comparison results of numerical methods with the classical elasticity mechanics method showe that calculation results of numerical methods agree well with the theoretical results and modern computer software can effectively improve the efficiency and accuracy of calculation of pressure vessels.

MAPLE, MATLAB, ANSYS, cylindrical vessel, high temperature effect

1009-6825(2015)01-0043-03

2014-10-28

于 暉(1983- )，男，博士，工程師； 張 莉(1988- )，女，碩士，助理工程師； 姚 迪(1983- )，男，碩士，工程師

TP316

A