不等式約束平差在GPS數據處理中的應用

李 鵬

(1.重慶市勘測院，重慶 400020； 2.重慶巖土技術研究中心，重慶 400020)

。

minf(x),x∈R。

。

cT=[0.]0104 0.1894 -0.4157 0.1781〗。

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不等式約束平差在GPS數據處理中的應用

李 鵬1,2

(1.重慶市勘測院，重慶 400020； 2.重慶巖土技術研究中心，重慶 400020)

結合實例說明了應用不等式約束平差對GPS數據進行處理的方式，并分析了近似求解統計性質的過程，指出在解決不等式約束最小二乘問題時，采用MATLAB的優化工具箱進行計算，結果可靠，同時減少了繁瑣的編程工作。

不等式約束平差，凝聚約束法，最優化，GPS數據處理

0 引言

在非線性規劃中，一種特殊的處理多約束問題的方法稱為代理約束方法，該方法是將多個約束化為一個代理約束，該代理約束是原多個約束的加權和，權系數非負、和為1。用原約束集的最大約束作為代理約束，可以證明這兩種方案的可行域完全一致。根據最大熵原理，導出了能夠逼近最大約束的可微凝聚函數。在原約束集中，至少有一個約束將是“緊”約束 (active constraint)，因此，作為不等式的凝聚函數約束就變為等式。因而，具有不等式約束的非線性規劃問題就變成了具有等式約束的非線性規劃問題，且得到了深入的研究與應用。本文也將用該方法來研究不等式約束最小二乘問題。

1 最優化問題

最優化問題的數學模型一般形式為：

根據實際問題的不同要求，最優化模型有不同的形式，但經過適當的變換都可以轉換成上述一般的形式。只要在問題中存在任何約束條件，就稱為約束最優化問題。只有等式約束時該一般式稱為等式約束最優化問題。只有不等式約束時，該一般式稱為不等式約束最優化問題。如果既有等式約束，又有不等式約束，則稱為混合約束問題。如果問題中無任何約束條件，則稱為無約束最優化問題。

無約束最優化問題的數學模型為：

minf(x),x∈R。

2 凝聚函數方法

求非線性規劃問題最優解的方法較多，常用的有單純形方法、最小最大解法、貝葉斯解法等。這些方法均存在明顯的缺陷。本文著重介紹另一種方法：凝聚函數法。

非線性規劃問題的數學模型為：

(1)

式(1)可表示為帶一個不光滑約束的優化問題，其數學模型為：

(2)

3 應用實例

該例子中的已知數據是經過GPS預處理后的高程數據，其約束條件既有不等式約束B0x-d0=w≤0，也有區間約束-0.1≤xi≤2(i=1,2,3,4)。表1列出了本例的已知數據。我們將在MATLAB環境下，采用凝聚函數法進行最小二乘求解。

表1 已知數據和殘差

3.1 MATLAB優化工具箱簡介

MATLAB是由美國MathWorks公司推出的用于數值計算和圖形處理的科學計算系統環境。在MATLAB環境下,使用者可以方便地進行程序設計、數值計算、圖形繪制、數據的輸入輸出、文件管理等各項操作。

優化工具箱(Optimization Toolbox)位于安裝目錄下optim目錄下，用于解決函數的極值問題或設計參數的優化問題。在簡單情況下，優化問題可以是隨自變量x變化系統參數的極大或極小值；在復雜情況下，是構筑滿足不等式約束或參數約束的極大值目標函數f(x)。

3.2 在MATLAB環境下應用凝聚函數法

1)新建一個M文件，定義目標函數myfun=(Ax-y)TP(Ax-y)。具體的定義如下M文件：

function f=myfun(x);

f=(……); %輸入已知數據%

2)同上建立一個約束函數的M文件:

function [c,]ceq〗=confun2(x);

c=log(exp(1000000*(0.2027*x(1)+0.2721*x(2)+0.7467*x(3)+0.4659*x(4)-0.5251))+exp(1000000*(0.1987*x(1)+0.1988*x(2)+0.4450*x(3)+0.4186*x(4)-0.2026))+exp(1000000*(0.6037*x(1)+0.0152*x(2)+0.9318*x(3)+0.8462*x(4)-0.6721)))/1000000;

ceq=;

3)運行如下命令：

[x,] fval〗 =fmincon(@myfun,[0]0 0 0〗,,,,,[-0].1 -0.1 -0.1 -0.1〗,[2 ]2 2 2〗,@confun2,options)按回車得如下結果：

Warning:Large-scale (trust region) method does not currently solve this type of problem,switching to medium-scale (line search).

>In fmincon at 260

Optimization terminated: magnitude of directional derivative in search

direction less than 2*options.TolFun and maximum constraint violation is less than options.TolCon.

Active inequalities (to within options.TolCon = 1e-006)：

Lower upper ineqlin ineqnonlin 1

x =

-0.1000 -0.1000 0.2137 0.3518

fval =

0.1673

其計算方法和步驟如下：

>>A=[0.]951 0.7602 0.6153 0.4057;0.2311 0.4564 0.7919 0.9354;0.6088 0.0185 0.9218 0.9169;0.4859 0.8214 0.7382 0.4102;0.8912 0.4447 0.1762 0.8936〗；%輸入系數矩陣A%

>> Q=(A'*A)^(-1) %計算方差協方差陣%

Q=

經計算:

cT=[0.]0104 0.1894 -0.4157 0.1781〗。

c=[0.]0104;0.1894;-0.4157;0.1781〗;

n=[2.]4016 -1.5548 0.4490 -1.3688;

q=n^(-1)-((c'*n^(-1)*c)^(-1))*(n^(-1))*c*c'*n^(-1)

3.3 小結

整理以上計算結果，見表2。

表2 計算結果

由表2中數據可知，凝聚函數法不僅能得到最小二乘解，還提供了計算并研究有關統計性質的途徑。

4 結論

凝聚函數方法等式約束轉換成一個等式約束，使解能夠表示為觀測的明顯不等式。其有關統計性質與最優性的結論如下：

1)不等式約束最小二乘估計能夠表示為觀測的明顯表達式，是無偏估計；

2)解的方差協方差具有比無約束最小二乘解更小的方差；

3)凝聚函數方法是一種計算不等式約束最小二乘問題并研究其統計性質的有效方法。

另外，本文采用MATLAB進行計算，在矩陣計算方面顯示了其優越性，而測量數據處理中用得最多的就是矩陣計算，所以在進行測量平差處理時，可以多采用MATLAB工具。

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Application of adjustment with inequality-constrained for GPS data processing

Li Peng1，2

(1.ChongqingSurveyInstitute,Chongqing400020,China；2.ChongqingGeotechnicalTechnologyResearchCenter,Chongqing400020,China)

Combining with the example, the paper indicates the treatment of GPS data by adopting inequality-constrained adjustment, analyzes the process for the similar solution of statistic properties, adopts its problems, adopts the optimal tool box of MATLAB, and proves by the result that it is reliable and reduces complicated programming.

adjustment with inequality-constrained, condensed constrained method, optimization, GPS data treatment

1009-6825(2015)01-0207-03

2014-10-25

李 鵬(1988- )，男，助理工程師

TU198

A