應用Kronecker積的表里換層雙層組織矩陣設計

王 旭，袁惠芬，劉新華

(1.安徽工程大學紡織服裝學院，安徽 蕪湖 241000;2.安徽工程大學紡織行業科技公共服務平臺，安徽 蕪湖 241000)

應用Kronecker積的表里換層雙層組織矩陣設計

王 旭1，2，袁惠芬1，劉新華1，2

(1.安徽工程大學紡織服裝學院，安徽 蕪湖 241000;2.安徽工程大學紡織行業科技公共服務平臺，安徽 蕪湖 241000)

為提高雙層組織的設計效率，提出一種基于矩陣Kronecker積的表里換層雙層組織矩陣生成方法。按照表里換層雙層組織設計的構造原理，建立表、里組織矩陣、紋樣矩陣及叉積元，并運用Kronecker積實現了表里換層雙層組織矩陣的自動生成。結果表明:采用矩陣Kronecker積運算，可以方便地實現表里換層雙層組織矩陣的設計。隨表、里基礎組織矩陣、叉積元及紋樣矩陣的不同，可自動生成不同類型的表里換層雙層組織矩陣。這種方法豐富了表里換層雙層組織的設計思路，可提高設計效率。

雙層組織;Kronecker積;矩陣;表里換層組織

雙層組織由2個系統的經紗和2個系統的緯紗交織而成，其織物具有厚重、堅牢、耐磨性好等特點，在服用毛織物、鞋面織物、裝飾織物及產業用紡織品中應用廣泛。傳統手工方法進行雙層組織設計，費時且易出錯，如何提高設計效率已引起關注。已開展的研究以單層組織矩陣模型的建立為主，研究方法主要包括數學函數的組織異化法和矩陣變換法。數學函數的組織異化是通過函數曲線與組織圖方格的相互關系來建立織物組織［1］。如采用數學函數的組織異化法，可建立加強斜紋、復合斜紋等變化組織矩陣［2－3］。矩陣變換是通過對元素或向量進行移位、轉置、對稱、取反等操作，實現多種組織矩陣的建立［4］。和單層組織相比，雙層及多層組織矩陣模型的建立更復雜，傳統的手工設計容易出錯［5］。如多層織物組織設計，需要在組織圖上設置多種標記，以區別各層不同性質的組織點［6］。目前針對表里換層組織［7］，雙層組織矩陣模型［8］建立方法的研究尚不多見。其中矩陣Kronecker積對組織矩陣模型的建立具有較好效果［9－10］。本文通過對表組織、里組織矩陣及紋樣矩陣等進行Kronecker積運算，探討了雙層組織、表里換層雙層組織矩陣模型的建立。該方法拓展了雙層織物組織矩陣建模的設計思路，提高了設計效率。

1 表里換層雙層組織的矩陣表示

1.1 雙層組織的矩陣表示

雙層組織由2組經紗(表、里經)和2組緯紗(表、里緯)按照表、里組織交織規律和一定的排列比交織而成。為保證織物平整及織造過程順利，表、里組織交織次數應接近，一般采用相同且簡單的組織，如平紋斜紋和方平等。

單層組織由1組經紗和1組緯紗交織，交織規律可映射為二維布爾矩陣，元素1、0分別表示經、緯浮點。雙層及多層組織經、緯紗均不止1組，可采用三維矩陣反映多組經紗和多組緯紗在各層內及層間交織規律，但三維矩陣對織造操作不夠直觀，常轉換為二維矩陣，用不同的元素表示相應的信息。例如，圖1示出表里組織均為斜紋，表、里經，表、里緯排列比均為1∶1時，雙層組織及矩陣示意圖。矩陣元素對應浮點性質如下:表組織經、緯浮點分別采用元素1、0表示，里組織經、緯浮點可分別采用元素3、2表示，織里緯時表組織經紗全部提起產生的經浮點用元素5表示等。織表緯時表緯與里組織經紗交織處的緯浮點仍采用元素0表示。

1.2 表里換層組織的矩陣表示

表里換層雙層組織通過交換表、里2層的位置和紗線顏色的合理配置，實現不同的顯色單元，并進一步運用顯色單元的配置表現出織物的幾何紋樣。例如，圖2示出表里換層組織顯色單元組織及矩陣示意圖。矩陣元素對應的浮點性質，同圖1所示雙層組織。

圖1 雙層組織及矩陣示意圖Fig.1 Sketch of double-layer weaves and weaves matrix.(a)Face weaves;(b)Back weaves;(c)Double-layer weaves;(d)Matrix of face weaves;(e)Matrix of back weaves;(f)Matrix of double-layer weaves

圖2 表里換層顯色單元組織及矩陣示意圖Fig.2 Sketch of color unit of thread interchanging weaves and weaves matrix.(a)Color A unit;(b)Color B unit;(c)Matrix of color A;(d)Matrix of color B

表里換層組織通過顯色單元實現幾何紋樣。其中紋樣矩陣的每個元素表示一種顯色單元。為了簡化處理，紋樣矩陣可用布爾矩陣表示，其中1、0分別表示甲色和乙色單元，每個顯色單元均表示為表里換層矩陣中的一個子矩陣。例如，圖3(a)、(b)為顯甲色和顯乙色單元構成的兩色方塊紋樣和“H”紋樣，圖3(c)、(d)示出相應的紋樣矩陣。圖中元素1、0分別表示顯甲色單元和顯乙色單元。本文以圖3(a)為紋樣，表、里組織均為斜紋，表里經、表里緯排列比均1∶1，說明表里換層組織矩陣的構成方法。由圖3(c)得到圖3(a)的4×4紋樣矩陣，將元素1、0分別換成圖2(c)、(d)所示的8×8矩陣，這樣得到表里換層組織32×32矩陣，即完全組織經緯紗均為32根。織造時，表經、里經顏色從左到右，表緯、里緯顏色從下到上，均按照1甲色1乙色交替配置。

圖3 表里換層組織的紋樣矩陣Fig.3 Pattern matrixes of thread interchanging weaves.(a)Pattern 1;(b)Pattern 2;(c)Matrix of pattern 1;(d)Matrix of pattern 2

2 表里換層雙層組織矩陣的生成

2.1 矩陣的Kronecker積

若A為m行n列矩陣，aij為矩陣A的元素。B為p行q列矩陣，那么式(1)表示的m×p行，n×q列矩陣C為矩陣A和B的Kronecker積。

根據上述定義，結合雙層和表里換層組織的構作原理，并進行運算，即可建立雙層和表里換層組織的矩陣模型。

2.2 雙層組織矩陣的生成

本文以圖1所示的表里組織說明雙層組織矩陣的生成。雙層組織矩陣D的行和列為表組織矩陣A(或里組織矩陣B)行和列的2倍。首先將表組織矩陣A各元素，按次序放置在雙層組織矩陣D的偶數行和奇數列交點的位置。里組織矩陣B各元素，則按次序放置在雙層組織矩陣D的奇數行和偶數列交點的位置。最后將表經和里緯交織處，即矩陣D的奇數行和奇數列交點的位置全部賦值為5即可。上述過程可用Kronecker積實現，見式(2)。

式中，矩陣A、B分別對應圖1(d)、(e)所示的表里組織矩陣。矩陣C為與表里組織行列一致的、元素均為5的矩陣，其作用是和叉積元 K3進行Kronecker積運算后，使矩陣D奇數行和奇數列交點的位置全部賦值為5，表示織里緯時表經提起。矩陣C及叉積元K1，K2，K3分別如下:

2.3 表里換層組織矩陣的生成

根據表里換層組織的構做方法，首先由表、里基礎組織和表里經、表里緯排列比，建立顯甲色矩陣A1、顯乙色矩陣B1。由紋樣圖建立紋樣矩陣H。根據置換法，將紋樣矩陣H及其底片組織矩陣H'，分別和顯色組織矩陣A1、B1進行Kronecker積計算，并將計算結果相加，見式(3)，即可得到表里換層組織矩陣W。

式中，顯色矩陣A1，B1可根據式(2)進行計算，即:

式中:矩陣A、B分別表示表、里組織;矩陣C為全5元素矩陣，叉積元為

式中，叉積元為

2.4 實例

為了驗證Kronecker積進行雙層組織矩陣設計的效果，本文以實例進行說明。

若產生圖3(b)所示的H型紋樣，紋樣矩陣H為5×5，選定表里組織均為方平組織，表里經，表里緯排列比均為1∶1。那么紋樣矩陣每個元素將對應的顯色單元矩陣為8×8，則表里換層矩陣為40×40。根據式(3)，帶入相應矩陣，進行Kronecker積，即產生表里換層組織矩陣。圖5示出根據矩陣繪制的組織圖，其中元素0，2繪“□”，元素1繪“■”，元素3繪“×”，元素5繪“○”。

圖4 雙層組織矩陣實例Fig.4 Examples of double-layer weaves and weaves matrixes.(a)Face weaves;(b)Back weaves;(c)Double-layer weaves;(d)Matrix of face weaves;(e)Matrix of back weaves;(f)Matrix of double-layer weaves

圖5 表里換層組織設計實例Fig.5 Example of thread interchanging weaves

紋樣矩陣H如圖3(d)所示，其底片組織矩陣H'可由矩陣H進行元素1，0互換即可得到。顯色矩陣A1，B1參考2.3小節分別根據式(2)計算，其中表里組織矩陣A，B如圖4(d)、(e)所示。顯甲色組織及矩陣A1如圖6(a)、(c)所示，顯乙色組織及矩陣B1如圖6(b)、(d)所示。織造時，表經、里經顏色從左到右，表緯、里緯顏色從下到上，均按照“1甲色1乙色”交替配置。

圖6 表里換層組織顯色組織及矩陣Fig.6 Color units of thread interchanging weaves.(a)Unit of color A;(b)Unit of color B;(c)Matrix of color A;(d)Matrix of color B

3 結論

根據雙層組織的構做原理，討論了基于矩陣Kronecker積的表里換層雙層組織矩陣生成方法，并實現了相應矩陣模型的建立。結果表明，通過矩陣Kronecker積方法，可以快速生成雙層組織、表里換層雙層組織，該方法為簡化、加速該類組織設計過程提供了參考，為今后進一步研究接結雙層組織矩陣的自動生成打下基礎。

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Matrix design for thread interchanging double-layer weaves using Kronecker product

WANG Xu1，2，YUAN Huifen1，LIU Xinhua1，2
(1.College of Textile and Clothing，Anhui Polytechnic University，Wuhu，Anhui241000，China;2.The Science and Technology Public Service Platform for Textile Industry，Anhui Polytechnic University，Wuhu，Anhui241000，China)

To improve the efficiency for design double-layer weaves，the generation method of thread interchanging double-layer weaves matrix based on Kronecker product was studied.According to the design rule for thread interchanging double-layer weaves，the matrix of face weave，the matrix of back weaves，the matrix of pattern，and the Kronecker unit were established，and then the weave matrix resulted from double-layer with thread interchanging weaves was fulfilled by the Kronecker product method.The results indicated that the Kronecker product can be used to design thread interchanging double layer weaves.Meanwhile，different styles of thread interchanging double-layer weaves matrixes could be automatically generated with different face basic weave matrixes，back basic weave matrixes，Kronecker units and pattern matrixes.This method expands design idea and provides an effective tool for thread interchanging double-layer weaves.

double-layer weaves;Kronecker product;matrix;thread interchanging weaves

TS 105.1

A

10.13475/j.fzxb.20140302005

2014－03－10

2015－01－19

安徽省高等學校省級自然科學研究項目(KJ2013B024);安徽工程大學科研啟動基金項目(2012YQQ008)

王旭(1973—)，男，副教授，博士。研究方向為織物組織CAD設計。E-mail:wangxu_ahpu@hotmail.com。