漸變剛度鋼板彈簧的非線性有限元分析*

王 勇， 李舜酩， 張袁元， 曹倩倩

(1.南京航空航天大學能源與動力學院 南京，210016) (2.南京工程學院汽車與軌道交通學院 南京，211167)

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漸變剛度鋼板彈簧的非線性有限元分析*

王 勇1， 李舜酩1， 張袁元2， 曹倩倩1

(1.南京航空航天大學能源與動力學院 南京，210016) (2.南京工程學院汽車與軌道交通學院 南京，211167)

針對傳統的鋼板彈簧設計計算方法難以考慮鋼板彈簧實際的工作狀況，綜合考慮鋼板彈簧實際工作過程中的大變形、各簧片及墊片之間的接觸和摩擦等非線性因素，基于有限元分析方法對某汽車后懸架漸變剛度鋼板彈簧的剛度及強度特性進行分析。其剛度及強度試驗結果表明，考慮非線性因素后建立的鋼板彈簧有限元模型精度比較高。在模型驗證精確的基礎上，利用瞬態動力學分析方法求解鋼板彈簧在簡諧載荷激勵下的動態響應，獲得其動態特性隨激勵載荷頻率與幅值的變化規律。該建模方法能有效地模擬鋼板彈簧實際工作狀態，可為鋼板彈簧結構進一步的優化提供前提。

鋼板彈簧； 非線性； 建模； 有限元分析； 動態特性

引 言

鋼板彈簧是汽車懸架系統中重要的彈性元件及導向裝置，具有結構簡單、工作可靠、成本低廉和維修方便等優點，在汽車懸架系統中廣泛應用。

傳統的鋼板彈簧設計計算方法[1]，如共同曲率法及集中載荷法，難以考慮鋼板彈簧實際工作過程中的接觸及摩擦情況，計算得到的鋼板彈簧剛度及強度特性與試驗值相差較大，實際情況中必須經過某種修正才能滿足設計計算的要求。近幾年來，利用有限元軟件分析鋼板彈簧的剛度及強度特性逐漸成為主要研究方法。文獻[2-3]考慮了鋼板彈簧各簧片之間的接觸與摩擦特性，分析了鋼板彈簧在靜態載荷作用下的剛度特性。文獻[4-6]分析了復合材料鋼板彈簧的剛度及強度特性。文獻[7]分析了鋼板彈簧的遲滯特性與等效阻尼隨激勵載荷的變化規律。文獻[8-9]考慮鋼板彈簧各簧片之間的接觸，建立了鋼板彈簧動力學模型。

筆者考慮鋼板彈簧實際工作過程中的大變形、各簧片及墊片之間的接觸和摩擦等非線性因素，利用有限元軟件Hypermesh及Ansys對某汽車后懸架漸變剛度鋼板彈簧的靜態特性(剛度及強度)進行分析，進而通過鋼板彈簧的剛度和強度試驗驗證有限元模型的精確性。在有限元模型驗證精確的基礎上，利用Ansys瞬態動力學法分析鋼板彈簧在簡諧載荷激勵下的動態特性，研究其動態特性隨激勵載荷頻率與幅值的變化規律。

1 鋼板彈簧靜力學分析

1.1 鋼板彈簧有限元模型建立

鋼板彈簧模型為某汽車后懸架漸變剛度鋼板彈簧，由6片鋼板彈簧組成，上四片鋼板彈簧為主簧，下兩片鋼板彈簧為副簧，主簧截面尺寸為8 mm×60 mm，副簧截面尺寸為16 mm×60 mm。6片鋼板彈簧之間用中心螺栓連接并用U形螺栓夾緊在汽車橋殼上。由于此鋼板彈簧為非對稱式鋼板彈簧，所以需整體考慮分析，并且考慮各簧片之間墊片的影響以滿足實際情況。

鋼板彈簧總成模型是一個實體組合模型，考慮鋼板彈簧實際工作過程中的受力情況，用8節點三維實體單元SOLID45來模擬鋼板彈簧。鋼板彈簧各簧片在U形螺栓之外的部分仍可以相互接觸或分離，考慮鋼板彈簧各簧片之間的接觸為非線性問題，需要采用不同的單元類型來進行模擬計算，利用Ansys中的Target170和Contact174兩種三維接觸單元來模擬鋼板彈簧各簧片之間及墊片間的接觸，這兩種單元能充分體現接觸單元之間的柔性特征。在鋼板彈簧的有限元模型中共定義了14個接觸對。建立的鋼板彈簧有限元模型如圖1所示，整個網格單元數為99 102，節點數目為87 053。

圖1 鋼板彈簧有限元模型Fig.1 Finite element model of the leaf spring

1.2 鋼板彈簧模型約束及求解設置

鋼板彈簧總成在中部用U型螺栓夾緊在汽車橋殼上，利用多節點約束單元MPC單元將第6片鋼板板簧U型螺栓區域處的節點連在一起，在中心節點處施加載荷，方向垂直向上。利用MPC單元將鋼板彈簧中心螺栓處的節點連在一起，模擬中心螺栓的作用。鋼板彈簧兩端卷耳部分處的約束為：鋼板彈簧的支承方式為一端固支的卷耳，另一端采用鉸支的吊耳。鋼板彈簧施加約束后的有限元模型如圖2所示。

圖2 鋼板彈簧施加約束后的有限元模型Fig.2 Finite element model of the leaf spring when the constraints are imposed

1.3 鋼板彈簧有限元計算結果及分析

按照實際工況，考慮鋼板彈簧各簧片及墊片間的摩擦，此時鋼板彈簧各簧片之間的摩擦因數μ=0.2，對鋼板彈簧施加載荷18 000 N，與試驗所加載荷一致，方便進行模型驗證分析。求解時分100個子步加載，求解完成后得到鋼板彈簧的剛度及強度特性。圖3為鋼板彈簧總成變形圖，圖4為鋼板彈簧總成Von Mises等效應力云圖，圖5為鋼板彈簧各簧片Von Mises等效應力云圖。

圖3 鋼板彈簧總成變形圖Fig.3 Deformation figure of the leaf spring assembly

圖4 鋼板彈簧總成Von Mises等效應力云圖Fig.4 Von Mises equivalent stress cloud figure of the leaf spring assembly

分析鋼板彈簧等效應力分布云圖結果，第1片鋼板彈簧兩端通過鉸接的方式連接，限制了鋼板彈簧的橫向移動自由度。鋼板彈簧中部通過U型螺栓壓緊在橋殼上，不發生變形，以前后端鋼板彈簧中部應力值最大。鋼板彈簧材料為60Si2Mn，許用應力值為1 210 MPa，第1片鋼板彈簧的最大應力值小于材料的許用應力值。

第2，3，4片鋼板彈簧的應力分布規律相似。鋼板彈簧端部通過尼龍墊片與上一片鋼板彈簧相接觸，應力值較小。各鋼板彈簧中部通過U型螺栓和壓板壓緊在車橋上，應力值較低，前后端鋼板彈簧中部應力值最大，該區域的等效應力為720～1 200 MPa，最大應力值小于材料的許用應力值。

最后兩片鋼板彈簧由于施加載荷作用區域的緣故，與其他各片鋼板彈簧的應力分布略有不同，小部分區域出現應力集中，第6片鋼板彈簧的應力集中區域的最大應力值大于材料的許用應力值。

利用Matlab處理得到鋼板彈簧的載荷-變形曲線如圖6所示。鋼板彈簧模型的主簧剛度加緊狀態有限元計算結果為57.32 N/mm，復合簧剛度加緊狀態有限元計算結果為138 N/mm。

圖6 鋼板彈簧載荷-變形曲線Fig.6 Load-deformation curve of the leaf spring

2 鋼板彈簧變形試驗及結果分析

從振動力學的觀點看，鋼板彈簧總成可以簡化為一個質量-彈簧-阻尼系統，該系統的動力學方程[10]具有以下形式

(1)

其中：F為施加于鋼板彈簧上的載荷；y=Δy+y0為鋼板彈簧中部的位移；m為鋼板彈簧的等效質量；C(y,t)為鋼板彈簧的等效阻尼(等效阻尼是一個與鋼板彈簧正壓力，各簧片之間的摩擦，簧片的變形量等有關的非線性函數，是鋼板彈簧加載卸載一個循環中的能量損耗的度量，鋼板彈簧阻尼的非線性主要是由摩擦所致)；K(y,t)為鋼板彈簧的等效剛度；y0為鋼板彈簧的變形量，反映了鋼板彈簧所承受的靜載荷。

鋼板彈簧剛度及強度特性試驗如圖7所示，對鋼板彈簧緩慢連續施加載荷18 000 N，再緩慢連續卸載，得到鋼板彈簧在各載荷作用下的變形量。鋼板彈簧試驗剛度特性曲線如圖8所示。除了驗證鋼板彈簧的剛度外，鋼板彈簧所受應力也必須通過試驗來驗證。在鋼板彈簧第1片主簧表面及最后一片鋼板彈簧的對應位置沿縱向軸線的方向貼上電阻應變片。試驗時各測點位置及應變如圖9，10所示。各測點距中心螺栓距離如表1所示。

當鋼板彈簧承受載荷比較小時，只有主簧起作用；當載荷比較大時，主簧和副簧充分接觸，共同起作用。鋼板彈簧試驗時的主簧剛度加緊狀態為53 N/mm，復合簧剛度加緊狀態為136 N/mm，有限元計算結果與試驗結果相比，誤差分別為-8.15%,-1.47%，鋼板彈簧有限元計算的剛度值誤差在允許誤差范圍內。

圖7 鋼板彈簧剛度及強度特性試驗Fig.7 Stiffness and strength experiment of the leaf spring

圖8 鋼板彈簧試驗剛度特性曲線Fig.8 Experimental stiffness characteristic curve of the leaf spring

圖9 試驗鋼板彈簧各測點位置Fig.9 Each measuring point of the experimental leaf spring

圖10 試驗鋼板彈簧各測點應變圖Fig.10 Strain diagram of each measuring point of experimental leaf spring

測點距離/mm測點距離/mmP1378P6212P2308P7370P3180P8437P456P9110P550P10135

鋼板彈簧各測點應力試驗值與有限元計算應力值對比如表2所示。

表2 各測點應力試驗值與有限元值對比

從表2中可看出，各測點應力值有限元計算結果與試驗測點的應力值相比，誤差比較小，說明建立的有限元模型精度比較高，能夠模擬實際鋼板彈簧的受力情況。產生誤差的原因有：a.應變片測量的是鋼板彈簧在該測點位置附近區域的應變值，而有限元計算結果提取的是某一節點的應力值，兩者容易造成誤差；b.在Ansys中的材料屬性設置為各向同性材料，而鋼板彈簧在實際加工中受到熱處理和噴丸等工藝處理，材料很難達到絕對的各向同性。

3 鋼板彈簧動態特性分析

3.1 鋼板彈簧動態特性有限元模型

鋼板彈簧在動態載荷下抵抗變形的能力稱為動剛度，即引起鋼板彈簧單位振幅所需要的動態力。

當鋼板彈簧承受周期變化的正弦載荷時，鋼板彈簧也會產生周期性的正弦變形。由于鋼板彈簧各簧片之間及墊片之間存在摩擦，鋼板彈簧變形時摩擦會消耗一定的能量，表現為鋼板彈簧的變形常落后于載荷，變形的正弦波與載荷的正弦波之間存在相位差，即為損耗因子或滯后角，表現在載荷-變形曲線上形成了一個遲滯回線，如圖11所示。鋼板彈簧的動剛度可用以下的式子簡單計算

(2)

圖11 遲滯回線Fig.11 Hysteresis loop

其中：A為鋼板彈簧最大變形量在遲滯回線上的雙幅長度；B為與最大變形量對應的載荷在遲滯回線上的雙幅長度；a為橫坐標中單位長度代表的位移；b為縱坐標中單位長度代表的力；FT為鋼板彈簧最大變形量達到最大值時的載荷。

由靜力學有限元計算結果與試驗結果對比分析可知，建立的鋼板彈簧有限元模型精度比較高，在此基礎上研究鋼板彈簧的動態特性。

動力學計算的載荷為交變載荷，載荷的頻率設定要包含鋼板彈簧的前幾階固有頻率。通過計算鋼板彈簧在約束狀態下的模態得到鋼板彈簧的前四階固有頻率在50 Hz以內，設置交變載荷的最高頻率為50 Hz。載荷的加載方式分為兩種：a.各激勵頻率下的載荷幅值一定，對比加載不同頻率下的鋼板彈簧動態特性規律;b.激勵頻率一定，對比加載不同載荷幅值下的鋼板彈簧動態特性規律。

3.2 鋼板彈簧動態特性規律分析

3.2.1 鋼板彈簧動態特性隨載荷頻率變化的規律分析

鋼板彈簧動態載荷大小設計為F=1 500+300×sin(2πft)，加載頻率f分別為5,10,20,50 Hz。由于當時間t為0時，載荷F為1 500 N，1 500 N的載荷是一個比較大的沖擊載荷，會造成有限元計算不收斂，所以分兩個載荷步加載。第一載荷步加載靜態載荷1 500 N；第二載荷步在第一載荷步的基礎上加載一個周期的正弦垂向載荷。載荷加載頻率為5 Hz時的鋼板彈簧位移變化曲線如圖12所示。不同頻率下鋼板彈簧的位移隨動態載荷加載卸載的變化曲線如圖13所示。鋼板彈簧的動剛度及最大應力值隨動態載荷頻率變化趨勢如表3所示。

圖12 加載頻率為5 Hz時的鋼板彈簧位移變化曲線Fig.12 Displacement curve of the leaf spring when the load frequency is 5 Hz

圖13 不同激勵頻率下鋼板彈簧的位移隨動態載荷加載卸載的變化曲線Fig.13 Displacement curves of the leaf spring with the change of loading and unloading for the dynamic load under different load frequencies

f/Hz動剛度/(N·mm-1)最大應力值/MPa552.37173.41054.44165.52062.34163.45062.82150.6

從圖12,13中可看出，當動態載荷頻率變化時，位移與載荷并不同步，鋼板彈簧在簡諧載荷激勵下，其位移響應有明顯的滯后，即產生遲滯現象，在加載和卸載狀態下鋼板彈簧的位移變化是不同的，這是因為鋼板彈簧各簧片及墊片之間存在摩擦，摩擦做功損失能量造成的。

從表3中可看出，鋼板彈簧的動剛度隨動態載荷頻率的增加而增加。動態載荷頻率在較低頻率時，動剛度接近于靜剛度；動態載荷頻率在5～20 Hz變化時，動剛度隨頻率增加急劇增大，即鋼板彈簧的動剛度受頻率變化表現敏感；動態載荷頻率高于20 Hz時，隨著頻率的增加，鋼板彈簧的動剛度增加緩慢，受載荷頻率變化影響較小。而鋼板彈簧的最大應力值隨著動態載荷頻率的增加而逐漸減小。3.2.2 鋼板彈簧動態特性隨載荷幅值變化的規律分析鋼板彈簧動態載荷大小設計為F=1 500+A×sin(5πt)，加載幅值A分別為150，300，450，600 N。不同動態載荷幅值下鋼板彈簧的位移隨動態載荷加載卸載的變化曲線如圖14所示。鋼板彈簧的動剛度及最大應力值隨動態載荷幅值變化趨勢如表4所示。

圖14 不同載荷幅值下鋼板彈簧位移隨動態載荷加載卸載變化曲線Fig.14 Displacement curves of the leaf spring with the change of loading and unloading for the dynamic load under different load amplitudes

幅值/N動剛度/(N·mm-1)最大應力值/MPa15051.75161.230052.37173.445052.48184.460052.84192.7

從表4中可看出，當鋼板彈簧動態載荷的加載頻率一定時，隨著載荷幅值的增加，鋼板彈簧的動剛度逐漸增大，最大應力值也相應增加。

4 結束語

筆者考慮了鋼板彈簧實際工作過程中的大變形、各簧片及墊片之間的接觸和摩擦等非線性因素，建立的鋼板彈簧非線性有限元模型精度比較高，能夠模擬實際鋼板彈簧的受力情況。利用瞬態動力學分析方法分析了鋼板彈簧的動態特性隨激勵載荷頻率與幅值的變化規律。當激勵載荷幅值一定時，鋼板彈簧的動剛度隨頻率的增加而增加，而鋼板彈簧的最大應力值隨著頻率的增加而逐漸減小。當激勵載荷頻率一定時，鋼板彈簧的動剛度隨著載荷幅值的增加而增大，最大應力值也相應增加。

筆者提出的建模方法能有效地模擬鋼板彈簧的靜態和動態特性，可為鋼板彈簧結構進一步的優化提供前提。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.05.003

*江蘇省研究生培養創新工程資助項目(KYLX_0243)；中央高校基本科研業務費專項資金資助項目

2013-07-04；

2013-08-30

U463.33

王勇，男，1989年6月生，博士生。主要研究方向為車輛振動分析與控制。 E-mail：wangy1921@126.com