基于非線性退化模型的加速度計壽命評估*

李 瑞， 汪立新， 周志杰， 趙曦晶

(第二炮兵工程大學控制工程系 西安，710025)

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基于非線性退化模型的加速度計壽命評估*

李 瑞， 汪立新， 周志杰， 趙曦晶

(第二炮兵工程大學控制工程系 西安，710025)

針對傳統性能退化模型難以對退化軌跡為非線性的設備進行有效壽命評估的問題，首先，建立了一種基于擴散過程的非線性模型，并將推導其失效閾值首達時間分布的問題轉化為推導標準布朗運動失效閾值首達時間分布的問題，得到了首達時間意義下的近似壽命分布；然后，提出了該模型未知參數的極大似然函數估計方法；最后，使用此模型評估分析了一組加速度計的壽命，并與傳統退化模型進行比對分析。實驗結果證明了模型的評估結果更為準確有效。

加速度計； 非線性； 退化過程； 壽命

引 言

作為飛行器慣導系統的核心部件，加速度計的健康狀態評價，主要取決于其標度因數的穩定性。在實際使用中，加速度計的傳感器、伺服電路及力矩組件等精密部件的性能隨工作時間而逐漸變化，最終影響輸出精度。同時，加速度計的性能也會因為工作環境(溫度、濕度)的變化而逐漸退化[1-2]。因此，有效評估加速度計壽命，對提高飛行器的安全性有著重要作用。

傳統的可靠性及壽命分析方法常基于歷史壽 命數據，但對于高可靠性或貴重設備而言，該方法存在時效差和成本較高的不足。針對該問題，基于性能退化的分析方法被引入，在設備性能隨時間退化積累到一定程度并最終導致設備失效(退化型失效)的過程中，性能參數隨時間退化的數據(性能退化數據)同樣含有可靠性信息，因此利用性能退化數據建立設備性能退化模型來刻畫失效過程是一種可行的方法。當前，基于退化數據的方法已成為設備可靠性及壽命分析的重要途徑之一[3-4]。

1990年，Nelson[5]總結了90年代以前的退化建模方法。Lu等[6]在1993年首次使用隨機系數回歸模型來描述退化過程。Meeker等[7]則使用極大似然分析法來處理退化數據。一般文獻都將退化模型的參數假設為固定參數或是服從某種分布的隨機變量，這意味著某一確定設備的退化過程參數一旦確定，其退化軌跡隨之固定，忽視了退化過程的不確定性。因此，有學者建議使用隨機過程來體現退化過程中的隨機性與動態性[8]。目前，常見的用隨機過程描述的性能退化模型常有兩種假定[3]：a.退化過程單調不可逆；b.退化軌跡是線性或是可以變換為線性的。這種假設有時在某些情況下無法滿足，因為:a.設備性能常因外部環境、內部動態結構等因素呈現不確定性，不能保證退化過程的單調性；b.復雜設備在性能退化過程中，各內部組件的性能退化規律不一致，且某些組件的退化軌跡本身就是非線性的，因而設備性能退化軌跡不能確保服從線性規律。因此，對于具有非線性退化過程的設備，使用具有非線性特征的隨機過程來描述其退化模型能更有效地評估其可靠性及壽命。

針對擺式加速度計標度因數隨工作時間增長而變化加劇且不穩定，有時退化軌跡不嚴格服從線性規律的問題，筆者建立了一種非線性擴散退化過程模型，將轉化為標準Brownian運動的首達時間概率密度，得到設備在首達時間意義下的壽命及可靠度。

1 非線性性能退化模型

基于在性能退化過程中設備的輸出并不總是一精確穩定值這一工程現象，擴散過程自然地成為了描述設備性能退化的選擇[9]。擴散過程類似于Wiener過程，但其漂移系數與擴散系數不再限于常數。許多情況下，由于噪聲和擾動的介入，設備的真實退化過程難以精確測量，而真實的擴散過程也無法直接測得，兩者雖然都無法直接測得，但卻都是由一定的趨勢驅動的，因此從這個出發點考慮，用擴散過程來描述具有連續波動且不可精確測量的退化過程具有可行性。利用非線性模型能更好地復現具有非線性退化特征的設備性能衰退過程，同時考慮到許多設備在實際測量中的性質較符合擴散過程，描述設備性能非線性退化過程的模型為

(1)

其中：Y(t)是由標準Brownian運動b(t)驅動的退化過程；a(t,α,β)為漂移系數，這里a(t,α,β)為時間的非線性函數；σb為擴散系數。

在描述某一類設備的性能退化過程時，需考慮到：首先，該類設備因為構造的差異，其性能退化過程會不同于其他種類的設備，因此在退化模型中需有一個參數反映這種差別；其次，即使同類型、同批次的設備，由于內部組件的微小差異，也將導致其性能退化過程有所不同。所以，這里使用隨機參數α來反映同類設備間的個體差異，用固定參數β反映某類設備的退化特性。

漂移系數a(t,α,β)的具體形式，一般根據性能退化軌跡來尋找合適的函數。筆者對以Wiener過程為基礎的線性退化模型進行拓展，令a(t,α,β)=αβtβ-1，當β=1時，式(1)變形為Wiener過程；當β≠1時，式(1)為非線性退化過程；因此，模型在處理退化數據時更有靈活性，可以同時處理線性及具有指數特征的退化數據。

2 壽命估計及可靠性分析

在進行壽命估計之前，需要給出壽命T的定義。在以往的文獻中，常將壽命定義為

T={t:Y(t)≥w}

(2)

其中：w為失效閾值。

當性能退化過程單調時這種定義是明確的，但是在引入隨機過程后，設備性能退化過程無法滿足單調的假設，此時可能出現t1w,Y(t2)

T=inf{t:Y(t)≥w}

(3)

即將壽命定義為退化過程Y(t)首次到達閾值w的時間(簡稱首達時間)。

當引入擴散過程后，對非線性退化過程進行壽命分析的難點在于如何求得Y(t)首達時間的概率密度函數。將Y(t)轉換成某種易求得首達時間概率密度函數的隨機過程，是一種解決該問題的途徑。Ricciardi[12]提出了如下理論。

對于漂移系數為μ(x,t)，擴散系數為σ(x,t)的擴散過程X(t)，令c1(t)和c2(t)為任意的時間函數，則當漂移系數μ(x,t)可以寫為

(4)

則存在

(5)

(6)

可以將擴散過程描述的X(t)變換為標準Brownian運動。其中：z為X(t)中的任意值；ti∈[0,∞)(i=0,1,2)；k1，k2，k3均為任意常數，k1>0。

根據以上理論，可將式(1)中的擴散過程變換為標準Brownian運動，變換過程如下。

首先，令Y(0)=0，于是有t0=0和z=0。同時，設k1=1，k2=k3=0。

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

根據以上的分析和假設，將式(10)和式(13)代入式(12)中，得到

(14)

漂移系數中的參數α是一個隨機參數，它反映了同類同批次設備個體間的差異。一般來講α～N(μα,σα)，所以利用全概率公式，由式(14)可得

(15)

(16)

將式(16)代入式(15)，得到擴散過程Y(t)的首達時間的近似概率密度函數fT(t)為

(17)

壽命的期望ET和可靠度函數計算式分別為

(18)

(19)

3 參數估計

假設有個N個待測設備，分別在t1,t2,…,tm時刻同時對待測設備測量。因此，第i個設備在tj時刻的性能指標可表示為

(20)

(21)

由于不同待測設備測量值之間相互獨立，于是對未知參數Θ=(μα,σα,σb,β)的對數似然函數可表示為

(22)

(23)

L(Θ|Y)分別對μα和σα求偏導數，得

(24)

(25)

令式(24)和式(25)為零，得到μα和σα的極大似然表達式為

(26)

(27)

將式(26)和式(27)代入式(22)中，得到關于σb和β的極大似然函數為

(28)

4 加速度計壽命與可靠性評估

筆者將對20世紀90年代初期引入我國的一組寶石軸承加速度計壽命進行分析。該批次加速度計引入后每月工作3次，每次通電時長約1 h，至今已累計約有700 h的工作時間。廠家給定的平均失效時間為1 400 h，但現已有部分產品已出現失效現象，為評估該產品的實際壽命情況，這里對一組未啟封的產品進行壽命分析，以提供參考。

該類型加速度計由擺組件、信號傳感器、直流力矩器和寶石支撐等主要部件構成。在長時間通電工作后，此類加速度計的信號傳感器與直流力矩器由于長期發熱的影響，組件性能會逐漸發生變化[15]，從而導致加速度計的系統性能下降。為衡量加速度計的性能表現，選取對輸出誤差影響較大的一次項標度因數K1進行評估。

為構建測試系統，筆者選用中國船舶工業集團第六三五四研究所研制的2WT-500型雙軸帶溫控箱速率位置轉臺(其回轉角精度為±1.5″，雙軸定位精度為±3″)和惠普公司的34401A型萬用表構成測試平臺，并用Labview搭建軟件系統。在測試系統構建好后，選取5套加速度計，共測試20次，各套加速度計的測量時刻相同。每次通電10h，取所采集數據的平均值。相鄰兩次測試間停機休息5h，以避免因長時間連續工作而導致的加速度計性能異常。5套加速度計均以第1次測試的K1為基準點，計算其余19次測試的相對漂移Dk1，失效閾值w=0.001。其漂移數據如表1所示。

表1 標度因數K1漂移量

圖1 標度因數漂移量Dk1Fig.1 Drift of scale factorDk1

圖2 加速度計壽命分布概率密度函數Fig.2 PDF of accelerometer′s life time

從表2 中可以看到，采用筆者方法分析得到該型加速度計的平均失效壽命為1 539h左右，較其他兩種方法更與廠家額定的數據相近。同時，模型擬合殘差的均方差(meansquarederror，簡稱MSE)反映出筆者方法與實際數據的擬合程度更好。在圖2中，由方法1得到壽命概率密度函數在700h左右達到峰值，設備出現失效現象的概率較高，這在實際情況中也有體現。以上幾點表明了筆者提出的方法能較好地反映加速度計的壽命情況。但應該注意到，一是由于樣本量小的限制，二是由于算法得到的概率密度函數是近似值，所以分析結果存在一定風險(這一點從概率密度函數分布相對發散可看出)。為了解決該問題，首先通過獲取更多的數據進行數據更新，然后在分析數據前減小噪聲干擾，使結果逼近真實情況。

表2 加速度計壽命期望及相關參數

圖3 加速度計可靠度Fig.3 Reliability of accelerometer

5 結束語

為解決對加速度計進行壽命預測與可靠性評估時無法對非線性退化軌跡準確描述的問題，建立了一種非線性擴散退化過程模型，將其首達時間分布概率密度轉化為標準Brownian運動首達時間概率密度，從而找到了其近似壽命分布函數，并通過一組加速度計的測試數據驗證了其有效性。由于三維搜索的計算量遠超二維搜索，因此在參數識別時要求不同設備的測試時刻要保持一致，同時這樣也有助于提高參數估計值的準確度。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.05.009

*國家自然科學基金資助項目(61174030)；二炮裝備技術基礎基金資助項目(EP114054)

2013-09-01；

2013-12-18

U666.1

李瑞，男，1984年6月生，博士生。主要研究方向為慣性敏感器件的可靠性分析及維護。曾發表《基于加速退化模型的加速度計非線性特征分析及貯存壽命預測》(《中國慣性技術學報》2014年第22卷第1期)等論文。

E-mail:lr_zeskr@163.com