非線性輪對陀螺系統的穩定性及分叉研究*

張 波， 曾 京， 董 浩

(西南交通大學牽引動力國家重點實驗室 成都，610031)

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非線性輪對陀螺系統的穩定性及分叉研究*

張 波， 曾 京， 董 浩

(西南交通大學牽引動力國家重點實驗室 成都，610031)

針對輪對陀螺效應，運用能量法分析了輪對蛇形運動機理，建立了蛇形運動能量流；基于打靶法分析了非線性輪對陀螺系統的Hopf分叉，并對比分析了陀螺系統和非陀螺系統的分叉解；最后，引入穩定性系數和陀螺力貢獻率，定量分析了陀螺力對蛇形運動穩定性的影響。研究結果表明，在輪對陀螺系統中，陀螺力不做功，但具有增穩功能。陀螺力對系統穩定性的影響隨速度的增大顯著變大，當輪對高速運行時，陀螺力影響較為顯著。因此，在高速列車穩定性分析中應將陀螺力作為一個重點分析對象。

陀螺效應； 蛇形運動能量流； 打靶法； Hopf分叉； 穩定性系數； 陀螺力貢獻率

引 言

隨著高速列車速度的提高出現了一系列的問題，車輛蛇行失穩就是其中的一個重要問題。蛇行穩定性是鐵路車輛系統輪軌關系本身的固有特性，直接決定了車輛能否高速安全運行。較高的蛇形臨界速度是高速列車必須的前提，否則將會對車輛的安全性和運行平穩性造成嚴重影響，甚至導致脫軌等安全事故。同時，劇烈的蛇行失穩時輪對的大幅橫向振動產生巨大的輪軌橫向力，造成線路破壞。

車輛系統的蛇行運動現象最初由英國的Stephenson等[1]發現，并進而對蛇形運動進行了初步研究。DePater[2]率先將車輛的蛇行運動創新性地考慮成動力學的運動穩定性問題。Wickens[3-4]引入了重力剛度并詳細研究了考慮重力剛度作用下磨耗型輪對和轉向架的線性穩定性，研究發現蠕滑力和車輪錐度是造成車輛系統不穩定的主要原因。Cooperider[5]引入縱向和橫向非線性蠕滑力，對車輛系統進行了非線性動力學行為研究。丹麥Trued[6]教授用延續算法對非線性車輛系統分岔問題進行了分析。Polach[7]總結出車輛系統非線性穩定性的分析方法和標準，討論了極限環的各種影響因素，全面分析了車輛系統的運動分岔特性。

國內，曾京[8]采用打靶法研究了車輛系統的Hopf分叉及極限環。孫桐林等[9]采用了非線性控制方法，將車輛系統的亞臨界Hopf分岔轉換為超臨界Hopf分岔，更有利于對車輛的失穩狀態進行預警、控制，保障行車安全。董浩等[10]通過范式方法建立了判斷系統的Hopf分叉類型的判別式，很好地區分了亞臨界與超臨界分叉。

關于陀螺穩定性，在機械領域已有很多研究[11-12]，但車輛系統陀螺穩定性研究則相對較少。黃世凱[13]研究輪對線性系統的陀螺力影響，并定義了陀螺力貢獻率，研究發現當速度低于300 km/h時，陀螺力影響較小可忽略，當高于300 km/h時陀螺力影響較大，不可忽略，但是沒有考慮非線性陀螺系統的分叉問題。筆者在此基礎上，考慮非線性輪對陀螺系統的分叉問題，重點研究陀螺力對系統穩定性及分叉的影響，對比分析陀螺力存在與否對系統分叉的影響。通過能量法定性闡述輪對蛇行運動的能量流，通過能量機理解釋陀螺力對穩定性的作用；最后引用陀螺力貢獻率對陀螺力的影響進行定量分析。

1 模型建立

高速列車具有陀螺效應，其陀螺效應的根源在于輪對的錐形踏面，故文中考慮簡單懸掛輪對系統，并考慮橫移y、搖頭φ運動和一系懸掛約束。假設輪對沿平直軌道以速度v運行，輪對做微幅振動，輪軌蠕滑較小，蠕滑率與蠕滑力規律可等效為線性關系，在此采用Kalker線性輪軌蠕滑理論[14]。考慮非線性輪軌接觸幾何關系，為了方便進行理論推導和解析求解，采用非線性函數擬合，α1和α2為非線性參數，α1和α2取值參考文獻[15]，圖1為輪對系統的幾何模型。

圖1 非線性輪對陀螺系統幾何模型Fig.1 The model of nonlinear gyroscopic wheelset system

若記x=(y,φ)T，則系統的運動方程為

(1)

其中

m為輪對質量；I，Iy分別為輪對搖頭和自旋轉動慣量；r0為滾動圓半徑；a為兩滾動圓間的距離之半；l為左右懸掛跨距之半；λe為踏面等效錐度；kx和ky為輪對橫向和縱向定位剛度；cx和cy為輪對橫向和縱向阻尼；f11為縱向蠕滑系數；f22為橫向蠕滑系數；f23為橫向自旋蠕滑系數；f33為自旋蠕滑系數；W為軸重。

各參數取值詳見表1。

表1 輪對參數表

由矩陣理論可知，對于任意矩陣A，有

A=(A+AT)/2+(A-AT)/2

(2)

令A1=(A+AT)/2,A2=(A-AT)/2，則有A=A1+A2，且A1為對稱陣，A2為反對稱陣。對方程(1)做上述變換，得到如下形式

(3)

D,K為對稱矩陣，G,E為反對稱矩陣。由于D和E不同時為零，則系統是非保守系統[16]。

2 基于能量觀點的穩定性分析

輪對蛇行運動過程中，能量的輸入會引起和加劇蛇形運動，輸入的能量一部分被阻尼元件轉化為熱能耗散掉，另一部分被存儲為機械能，即動能和勢能。依據能量法原理，如果在振動過程中系統的機械能不斷減小，那么系統振動最終將會收斂。如果系統的機械能不斷增加，系統振動將會加劇，振動幅度會變大，系統機械能儲能能力會隨之提高，阻尼器耗散功也會增加，系統會尋找到另外一個平衡點，即更大的極限環。但是如果這樣的點不存在，系統振動將會發散。如果系統機械能維持不變，系統將會維持一種持續穩定的周期振動。

現從能量的角度分析輪對蛇形運動時系統能量轉化關系，進行系統穩定性的定性分析，研究失穩機理。為便于分析，將阻尼矩陣D剖分為減振器阻尼DF和輪軌蠕滑部分DR兩個部分，剛度矩陣K剖分為懸掛剛度KF和輪軌蠕滑部分KR兩個部分，即

D=DF+DR

K=KF+KR

(4)

方程(3)可寫成如下形式

F(x)=0

(5)

(6)

對式(6)在t=0到τ積分可得

(7)

即

(8)

首先對系統的穩態運動狀態做如下假設

(9)

分別分析減震器阻尼項DF、陀螺項G、蠕滑部分的阻尼項DR、蠕滑部分的剛度項KR和循環矩陣E以及非線性項F(x)對系統的影響，積分時間取一個蛇行運動周期，即τ=2π/ω，則有

(10)

減震器阻尼項DF做負功，耗散能量；陀螺項G不做功，既不消耗系統的能量，也不向系統提供能量；蠕滑部分的阻尼項DR做負功，耗散能量；蠕滑部分的剛度項KR和循環矩陣E做正功，輸入能量；非線性項F(x)做負功，耗散能量。

當在一個蛇行運動周期內輸入能量小于耗散能量的時候，蠕滑力的輸入功小于系統的耗散功，系統總能量逐漸減小，運動狀態趨于穩定。

在一個蛇行運動周期內，當輸入能量大于耗散能量的時候，系統總能量開始增加，此時通過阻尼和彈簧力的作用一部分能量會轉移到構架和車體，使得構架、車體的振動幅度變大動能增加，同時彈簧的勢能也增加，減振器的耗散功也進一步增加，從而使輸入功和耗散功達到新的平衡，系統維持一種新的穩定狀態。此時如果輪對運行速度繼續提高，系統的總能量就會持續增加，系統就將尋找不到輸入能量和耗散能量的平衡狀態，輪對會發生發散的蛇行運動，直至系統失穩，輪緣貼靠鋼軌。

從以上分析可見，決定系統穩定性的因素主要有蠕滑力的輸入能量，耗散能量，減振器的耗散能量以及系統所能儲存的最大動能和勢能。在輪對蛇行運動中輪軌蠕滑力將本來用于輪對前進的能量轉化為輪對橫向振動能量。這是輪對發生蛇行乃至失穩的能量來源。輪對蛇行運動能量流可以用圖2來表示。

圖2 輪對蛇行運動的能量流Fig.2 The energy flow of wheelset hunting motion

綜上所述，輪對陀螺系統中，阻尼項D耗散能量；陀螺項G不做功；剛度項分為懸掛剛度KF和輪軌蠕滑部分KR，懸掛剛度KF項能量既不輸入，也不輸出，起到存儲能量的作用；輪軌蠕滑剛度項KR和蠕滑循環矩陣E輸入能量。

3 非線性輪對陀螺系統的分叉分析

筆者從能量的角度分析了輪對系統穩定性機理，分析發現陀螺力對系統不做功。為進一步分析，對系統(1)運用打靶法[8]進行數值求解，考察輪對橫移隨速度增大過程中的變化情況，畫出輪對橫移幅值分叉圖，分析陀螺力對輪對Hopf分叉的影響。

式(3)中，當陀螺矩陣G=0時，系統退化為非陀螺系統。通過打靶法計算其蛇形運動響應，將結果和原系統進行對比分析，對比結果如圖3所示。

圖3 陀螺力對Hopf分叉的影響Fig.3 Influence of gyroscopic force on Hopf bifurcation

由圖3可知，陀螺力使系統的線性臨界速度和非線性臨界速度增大，系統穩定性變好，且非陀螺系統相對陀螺系統，相同速度下輪對橫移幅值更大，更快失穩甚至貼靠輪緣，可見陀螺力具有增穩作用。

4 陀螺效應對蛇行運動穩定性的貢獻率

由第2,3節分析可知，陀螺力對系統不做功但具有增穩作用。但是在現有高速列車穩定性分析時，通常沒有考慮陀螺效應的影響，那么陀螺力對蛇形穩定性影響具體有多大，在什么情況下陀螺力可忽略，什么情況下應該考慮陀螺效應，這些問題的進一步分析對高速列車的安全運行至關重要。因此，作者引入陀螺力穩定性貢獻率[13,17]，定量分析陀螺力對蛇形穩定性的影響比重，以解決前述問題。

由陀螺矩陣G可知陀螺項和非線性項無關，故不考慮非線性項影響，考慮如下形式線性輪對陀螺系統

(11)

對于形如式(11)的完整力學方程，1952年，Metelitsyn[18]基于Routh-Hurwitz穩定性準則推導出一個系統漸進穩定的不等式判據。

d>0,me2-dge

(12)

需要指出，不等式判據(12)只是系統漸進穩定的一個充分非必要條件。且由于求解m，d，k，g,e時，需要使用特征向量u，然而當特征向量已知后穩定性問題也就迎刃而解了。因此，Metelitsyn不等式漸進穩定判據不能直接在工程中應用。

Seyranian等[19]在Metelitsyn的基礎上結合特征值極值推導，得出了可以在工程中實際應用的極值不等式判據。如果假設m>0,d>0,k>0，則系統漸進穩定的充分不必要條件為

(13)

其中：Mmin=λmin(M)≤m≤λmax(M)=Mmax,Dmin=λmin(D)≤d≤λmax(D)=Dmax，Kmin=λmin(K)≤k≤λmax(K)=Kmax,-Gmax≤G≤Gmax,-Emax≤e≤Emax。

由式(13)可定義含陀螺項的完整力學系統穩定性系數[13,17]

(14)

由方程(14)知，陀螺系統穩定的充分非必要條件為：at>1，即當at>1時，系統必定穩定；反之，當系統不穩定時，必然有at<1；但是at<1時，系統不一定失穩，故at=1不能作為系統失穩的臨界條件，文獻[13]將at=1作為系統失穩的臨界條件并進而得到臨界速度，筆者認為是值得商榷的。盡管如此，但不等式判據(13)仍然可以作為穩定性分析的一個比較有力的手段。

當不考慮陀螺項時，即陀螺矩陣G=0，則有Gmax=0，同理，可定義不含陀螺項的穩定性系數

(15)

非陀螺系統穩定的充分非必要條件為：a>1。

由方程(3)計算出各矩陣的特征值極值，結合參數表1，繪出系統穩定性系數曲線圖，如圖4所示。

圖4 穩定性系數曲線Fig.4 The stability coefficients

如圖4，穩定性系數at,a越大，系統穩定性能越好且恒有a

為了進一步研究陀螺效應在系統系統穩定性中的影響，此處引用陀螺力貢獻率[13,17]

(16)

陀螺力貢獻率T反映了陀螺力在輪對蛇形穩定性中作用的比例，T越小，表示陀螺力增穩作用越小。

如圖5所示，陀螺力貢獻率隨著輪對運行速度的增大而增大，低速時，陀螺力貢獻率較小。隨著運行速度的增大，陀螺力貢獻率逐漸增大。當速度高于56 m/s后，穩定性貢獻率超過10%，陀螺力影響將不可忽略。我國現有高速列車運行速度普遍超過200 km/h(55.6 m/s)，降速前甚至超過300 km/h，因此在高速列車穩定性分析時應該考慮陀螺力的影響。

圖5 陀螺力貢獻率曲線Fig.5 The gyroscopic contributory ratio

5 結 論

筆者建立了輪對陀螺非線性模型，從能量的角度分析了輪對蛇形運動時系統能量變化，闡述了輪對蛇行運動的能量流；用打靶法對比分析了非線性輪對陀螺系統和非陀螺系統的Hopf分叉；最后，定義了穩定性系數和陀螺力貢獻率，定量分析了陀螺力對系統穩定性的影響。綜合前述分析，得到如下結論：

1) 輪對陀螺系統中，阻尼項D耗散能量；陀螺項G不做功；剛度項分為懸掛剛度KF和輪軌蠕滑部分KR，懸掛剛度KF項能量既不輸入，也不輸出，起到存儲能量的作用；輪軌蠕滑剛度項KR和蠕滑循環矩陣E輸入能量。

2) 陀螺力具有增穩作用，陀螺力使系統的線性臨界速度和非線性臨界速度增大，系統穩定性變好，且非陀螺系統相對陀螺系統，相同速度下輪對橫移幅值更大，更快失穩甚至貼靠輪緣。

3) 陀螺力貢獻率隨著速度的增大而增大，低速時，陀螺力貢獻率較小。當輪對高速運行時，陀螺力影響較為顯著，陀螺力影響將不可忽略。

利用陀螺力增穩功能，合理設計車輛，有利于提高車輛運行速度，將對高速列車安全、高效運行起著至關重要的作用。此外，筆者僅分析了輪對系統的陀螺效應，整車陀螺效應研究工作尚未開展，整車陀螺穩定性問題可作為今后研究工作重點。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.05.025

*國家重點基礎研究發展計劃("九七三"計劃)資助項目(2011GB711106); 國家高技術研究發展計劃("八六三"計劃)資助項目(2012AA112001-02); 國家自然科學基金資助項目(51005189)

2014-09-12；

2014-11-21

U270.1+1

張波,男，1988年1月生, 博士生。主要研究方向為車輛系統穩定性。 E-mail: 726928350@qq.com