廣義切比雪夫濾波器有限傳輸零點提取和交叉耦合結構分析*

劉建廠

(海司信息化部 北京 100841)

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廣義切比雪夫濾波器有限傳輸零點提取和交叉耦合結構分析*

劉建廠

(海司信息化部 北京 100841)

與傳統濾波器相比,引入有限傳輸零點的交叉耦合廣義切比雪夫濾波器具有更好的帶外特性。傳輸零點的確定和提取是完成濾波器綜合的前提,根據確定的傳輸零點可以進行反射和傳輸多項式的綜合,進一步可以得到交叉耦合矩陣。耦合矩陣中含有濾波器元件的一些真實特性,對所得耦合矩陣進行相似變化,去掉不易實現的耦合,在保證濾波器性能不受影響的前提下,得到需要的拓撲結構。在確定傳輸零點時,使用了一種新的優化提取方法,并驗證了方法的有效性。

廣義切比雪夫濾波器; 傳輸零點; 交叉耦合; 優化方法; 拓撲結構

Class Number TN713

1 引言

與傳統濾波器[1]相比,廣義切比雪夫(Chebyshev)濾波器通過引入交叉耦合[2～3]結構,可以產生有限傳輸零點,能夠提高頻帶的選擇性,而不必增加濾波器的階數。在濾波器階數和有限傳輸零點已知的情況下,使用卡梅隆(Cameron)[4～6]的方法得到傳輸函數,進一步提取電路元件值,最后得到濾波器原型電路,實現這樣的轉換有兩種方法,一種是經典的電路綜合法,另一種是直接耦合矩陣綜合法。對得到的耦合矩陣進行旋轉變換,可以得到各種拓撲結構[7],比如折疊形、閉端形、輪形[8]等。一個N階不含源與負載直接耦合的廣義切比雪夫濾波器,最多可以實現N-2個有限傳輸零點。

文章利用傳輸零點和傳輸極點位置關系、傳輸極點與帶外衰減的關系直接確定傳輸零點,然后得到傳輸和反射多項式,進一步得到交叉耦合矩陣并對其進行化簡,完成廣義切比雪夫濾波器的綜合。

2 提取有限傳輸零點

2.1 廣義切比雪夫函數

廣義切比雪夫濾波器的傳輸函數表示為

(1)

式(1)中,CN(ω)為廣義切比雪夫函數,定義為

(2)

(3)

(4)

2.2 濾波器階數和零點的優化提取

廣義切比雪夫濾波器可以引入任意零點,通過交叉耦合在電路上實現。與傳統濾波器相比,由于零點的任意性,廣義切比雪夫濾波器的階數變得難以估計,有限零點的位置也直接影響濾波器的性能指標。濾波器階數越高,廣義切比雪夫濾波器的帶外特性越好,在階數一定時,零點數目越多,帶外特性越好[9]。

對于N階廣義切比雪夫濾波器,通帶內有N-1個極值點,帶外傳輸零點與傳輸極點個數相同,傳輸零點位置一旦確定,帶外傳輸極點的位置也就確定了。

下面給出廣義切比雪夫濾波器階數和零點位置優化提取過程:

1) 參數確定。首先明確優化提取過程需要的參數:阻帶截止頻率ωs,回波損耗RL,阻帶最小衰減As。

2) 初始化。根據最短路徑原理[4,7],對于非全規范濾波器[7],濾波器階數初始化為N=3,有限零點數目初始化為K=1。

3) 優化搜索步驟一。從兩個邊帶中的一側開始,將初始零點設為比阻帶截止頻率稍大,將ωs處衰減值設為目標函數,零點向阻帶移動,使用Matlab無約束優化函數fminsearch搜索零點位置。

4) 優化搜索步驟二。判斷零點外阻帶衰減值是否滿足指標要求,如果阻帶衰減指標不滿足要求,則增加一個傳輸零點,判斷是否滿足N-K≥2,如果滿足,將兩個零點之間的衰減值設為目標函數,繼續搜索新增零點位置;如果不滿足,增加濾波器階數,零點個數初始化為1,重新開始優化搜索。

2.3 應用實例

以一個濾波器為例[10]說明該方法的有效性,并在后文對該濾波器進行深入分析。

例:上邊帶阻帶截止頻率ωs1=1.3,阻帶衰減為20dB,下邊帶阻帶截止頻率ωs2=-1.4,阻帶衰減為50dB,回波損耗RL=20dB。

先從上邊帶開始搜索,然后再確定下邊帶零點,優化結果:濾波器階數為6階,傳輸零點為3個,分別為-1.6954、-1.4136、1.3602。完成階數和零點提取的(6-3)廣義不對稱切比雪夫濾波器衰減和回波損耗如圖1所示,圖中菱形表示阻帶截止頻率。

圖1 (6-3)不對稱切比雪夫濾波器低通原型的傳輸和反射特性

3 傳輸和反射多項式的綜合

濾波器階數和零點位置確定以后,就可以對其反射和傳輸多項式進行綜合了。作為二端口網絡的廣義切比雪夫濾波器,其反射參量和傳輸參量可表示為

(5)

其中,s是復頻率,ε是通帶波紋系數,對于非全規范濾波器,εR=1。

對于不對稱廣義切比雪夫濾波器而言,多項式E(s)、F(s)和P(s)有以下特點:

1)E(s)的零點關于實軸和虛軸均不對稱分布。

2)F(s)的零點關于虛軸不對稱分布。

3)P(s)的零點位于虛軸上(如果對群時延有要求,P(s)的零點還可以是關于虛軸對稱的成對復數)。

在進行多項式綜合時,由于實際得到多項式CN(s)首項系數不為1[7],故將波紋系數表示為

(6)

對于實頻率s=jω,通過令

(7)

表1 (6-3)不對稱廣義切比雪夫濾波器函數

4 交叉耦合矩陣的提取[6]

對于雙端均歸一化的濾波器網絡,其短路導納矩陣[YN]的多項式y21(s)和y22(s)可以根據前面綜合得到的傳輸和反射多項式S21(s)和S11(s)直接構造

(8)

其中

m1(s)=Re(e0+f0)+jlm(e1+f1)s+…

n1(s)=jlm(e0+f0)+Re(e1+f1)s+…

ei和fi,i=0,1,2,3,…,N分別是多項式E(s)和F(s)的復系數。矩陣[YN]用留數的矩陣表示為:

(9)

短路導納矩陣[YN]還可以根據全規范橫向網絡直接綜合,并聯橫向拓撲網絡的二端口[YN]由N個子單元網絡的y參數矩陣和含源-負載直接耦合的y參數矩陣疊加構成,可表示為

(10)

通過比較可建立參數之間關系

MSL=K∞,對于非全規范網絡K∞=0。

這樣便可以構造互易網絡的N+2橫向耦合矩陣M了,M第一行和第一列的1到N個元素為N個輸入耦合MSk,M最后一行和最后一列的1到N個元素為N個輸出耦合MLk。

雙端歸一化的二端口網絡的回路方程為E=Z′I,其中,E=eg[1,0,…,0]T,I=[1,0,…,0]T,Z′=jM+sU+R,U為單位矩陣,對于實頻率s=jω可以得到Z′=jZ,即:Z=M+ωU-jR,故可得到:I=-jZ-1E,則上面二端口網絡的散射參量

(11)

式(1)中,RS、RL分別為歸一化源和負載阻抗。

圖2 根據耦合矩陣得到的傳輸和反射特性曲線

根據前文得到的多項式E(s)和F(s)計算的N+2耦合矩陣M0如下

(12)

耦合矩陣M0含有N個輸入輸出耦合,實際中是無法實現的,可以通過相似變換[5,7]進一步得到折疊型矩陣,下折疊偶數階耦合矩陣與奇數階耦合矩陣的相似變化有所不同,化簡過程遵循每列自上而下,每行自右向左的順序,先化簡最右邊一列,然后化簡第一行,依次化簡的方法。按照這樣的思路,經過15次旋轉變換得到的折疊型矩陣M1如下:

(13)

可以看出,不需要的耦合項都變為零了,該耦合矩陣的傳輸和反射曲線如圖2所示,相應的耦合路徑如圖3所示。

這樣的矩陣還是不易實現,再對其進行相似變換,得到閉端型[11](cul-de-sac)耦合矩陣M2。

圖3 折疊型拓撲結構耦合路徑圖

(14)

相應的耦合路徑如圖4所示。

圖4 閉端型拓撲結構耦合路徑圖

至此,廣義切比雪夫濾波器從階數和有限傳輸零點的確定、傳輸和反射多項式的綜合、耦合矩陣的提取和化簡全過程完成了。

5 結語

文章利用廣義切比雪夫函數的特性,利用優化算法得到了濾波器的階數和有限傳輸零點,據此進行了傳輸和反射多項式的綜合、求得了N+2耦合矩陣,對該矩陣進行化簡,最終得到了易于實現的拓撲結構。下一步的工作重點是繼續研究零點提取和耦合矩陣化簡的優化算法。

[1] 黃席椿,高順泉.濾波器綜合設計原理[M].北京:人民郵電出版社,1978:37-270.

[2] Atia A E, Williams A E. Narrow-bandpass waveguide filters[J]. IEEE Trans. MTT,1972,20(4):258-265.

[3] Atia A E, Williams A E. Nonminimum-phase optimum-amplitude bandpass waveguide filters[J]. IEEE Trans. MTT,1974,22(4):425-431.

[4] Cameron R J. Fast generation of Chebyshev low-pass prototypes with asymmetrically prescribed transmission zeros[J]. ESA J,1982,6:83-95.

[5] Cameron R J. General coupling matrix synthesis methods for Chebyshev filtering function[J]. IEEE Trans. MTT,1999,47(3):433-442.

[6] Cameron R J. Advanced coupling matrix synthesis techniques for microwave filters[J].IEEE Trans. MTT,2003,51(1):1-10.

[7] Cameron R J, Kudsia C M, Mansour R R.通信系統微波濾波器—基礎、設計與應用[M].北京:電子工業出版社,2012:128-142,152-222.

[8] Bell H C. Canonical asymmetric coupled-resonator filters[J]. IEEE Trans. MTT,1982,30(9):1335-1340.

[9] Rong Ye, Qing-Xin Chu. Extraction of finite transmission zeros of general Chebyshev filters[C]//4thInternational Conference Microwave and Millimeter Wave Technology Procedings,2004:272-274.

[10] 白冰.廣義Chebyshev濾波器傳輸零點提取和優化[J].科技創新,2014,18:72-74.

[11] Cameron R J, Harish A R. Synthesis of advanced micro-wave filters without diagonal cross-couplings[J]. IEEE Trans. MTT,2002,50(12):2862-2872.

Extraction of Finite Transmission Zeros and Cross-Coupled Structure Analysis of General Chebyshev Filters

LIU Jianchang

(Information Department of Naval Headquarters, Beijing 100841)

Compared with the traditional filter, the introduction of finite transmission zeros of the cross-coupled general Chebyshev filter has better characteristics out of band-pass. The determination and extraction of transmission zeros is the precondition for the synthesis of the filter. According to the transmission zero point, the reflection and transmission polynomials can be integrated and the cross-coupled matrix can be obtained. The coupled matrix contains some real features of filter elements, The coupled matrix is changed and the coupling difficult to achieve is removed easily. The topological structure is obtained without the influence of the filter performance. A novel optimization method is used to determine the transmission zeros, and the validity of the method is verified.

general chebyshev filter, transmission zero, cross-coupled, optimization method, topology structure

2015年3月2日,

2015年4月27日

劉建廠,男,碩士,工程師,研究方向:電磁場數值計算、微波電路和天線的仿真與設計。

TN713

10.3969/j.issn.1672-9730.2015.09.015