潛射戰術導彈水彈道測量中的算法應用研究*

單玉浩 施建禮 彭文輝

(海軍潛艇學院 青島 266041)

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潛射戰術導彈水彈道測量中的算法應用研究*

單玉浩 施建禮 彭文輝

(海軍潛艇學院 青島 266041)

現有潛射戰術導彈射擊訓練中,對于導彈彈道的監控只有出水之后的空中彈道,而水中段尚無有效的監測手段。而在訓練打靶過程中,水中段是最薄弱環節,導彈最易出現故障且故障原因難以確定,水彈道測量將為這些問題的解決提供依據。論文將MEMS慣性傳感器應用于潛射戰術導彈水彈道測量中,以捷聯慣導姿態更新中最惡劣的工作環境——錐運動作為仿真環境,分析四階龍格庫塔法和畢卡算法的優劣,并以梯形公式計算畢卡算法中的角增量,仿真得出的結論有很好的工程實用價值。

潛射武器; 捷聯算法; 畢卡算法; 四階龍格庫塔算法

Class Number TJ630.33

1 引言

隨著現代戰爭的需要,高精度制導武器迅速發展起來,潛射戰術導彈作為潛艇的主戰武器,其射程已達到幾百甚至上千公里,因此要求其具有相當高的制導精度。慣導技術從產生到發展,已廣泛應用到軍事領域,其不受外界環境的限制,不需要接收外界數據,可靠性高。而且隨著靜電陀螺、光纖陀螺等高精度陀螺的產生,慣導系統正朝著小型化、高精度的方向發展[1]。

潛射戰術導彈打靶監控手段較多,諸如差分GPS技術、靶場光電經緯儀交會測量技術,但是這只是針對導彈出水后空中段彈道的測量,對于其在水中段的監控目前尚未形成有效手段,考慮導彈內部空間小,水下段時間短的問題,傳統的GPS等手段已不能滿足測量需求,本文考慮將捷聯式慣導系統應用于潛射戰術導彈水彈道測量上。捷聯式慣導系統以數學平臺代替物理平臺,其體積小、質量輕、易于安裝,因此廣泛應用于潛射戰術導彈上。這類慣導系統雖然略去了復雜的物理平臺,但其相應的算法就變得相當復雜,優化捷聯算法可以保證數學平臺的求解精度和快速性。捷聯慣導中陀螺輸出的解算是整個系統運動參數解算的基礎[2],其精度決定了整個系統的精度,因此研究系統的姿態解算算法可以很大程度提高整個武器系統的反應能力和精度。

MEMS技術應用在慣性技術上就產生了各種MEMS慣性傳感器,其中比較突出的體現就是硅微加速度計和硅微陀螺,這種慣性器件體積小、質量輕、成本低、可靠性高、易于安裝[3],被廣泛應用到民航及戰術導彈領域。潛射戰術導彈水下發射時間短,因此要求運動參數解算速度足夠快且慣導系統體積質量足夠小,不會影響導彈的力學環境和其他設備的正常工作,因此選用MEMS慣性測量組件作為水彈道測量元件。

2 姿態解算算法

武器系統制導精度不僅取決于慣導系統的硬件精度,而且很大程度上更取決于算法的精度。姿態陣的計算是捷聯算法中最重要的部分[4],捷聯式慣導系統的姿態解算算法主要包括方向余弦法、歐拉法、四元數法和旋轉矢量法,其中四元數法算法簡單,計算量比較小,易于實現,因此在工程上較為實用。

2.1 四元數微分方程

表征地理坐標系至載體坐標系的旋轉四元數微分方程可表示為[5]

(1)

其中

2.2 定時采樣的畢卡算法

畢卡算法是通過角增量來計算四元數的一種算法,但MEMS陀螺的輸出一般為角速度信息,因此必須用合適的方法將角速度轉換為角增量。

采用定時采樣法,采樣時間間隔一定,tk+1時刻旋轉四元數的解為[1]

(2)

其中

在實際計算中,由于指數形式和三角運算的計算復雜,因此為減少運算的復雜程度,對eA進行泰勒級數展開:

(3)

所以

代入式(3)可得四元數的各階近似算法。

一階近似算法為

Q(tk+1)=(I+A)Q(tk)

二階近似算法為

三階近似算法為

四階近似算法為

角速度與角度之間存在如下關系:

(4)

由上式可得角增量的近似值為

Δθ(tk)=h·ω(tk)

(5)

其中h為更新周期,h=tk+1-tk。通過各時刻的角速度信息的輸出,利用歐拉式(5)即可得到各時刻的角增量信息。

通過角速度得到角增量也可以通過數值積分來完成,對微分方程(4)兩端在區間[tk,tk+1]上積分,得

(6)

若用梯形公式計算式(6)右端,即

Δθ(tk) =Δθ(tk+1)-Δθ(tk)

(7)

2.3 四階龍格庫塔算法

假設姿態更新時間間隔為h,用四階龍格庫塔法解式(1),得遞推形式為

(8)

四元數與坐標變換矩陣及姿態角的關系可表示為[6]

通過求解四元數微分方程,可以不斷得到姿態四元數,進而可以確定姿態矩陣,結合真值表就可以計算出航向角、俯仰角和橫滾角的真實值[7～8]。

3 圓錐運動下算法的可靠性驗證

對捷聯陀螺來說,圓錐運動是最惡劣的工作環境,它會引起數學平臺的嚴重漂移[9],因此,如果能保證在圓錐運動條件下算法的可靠性,那么其他環境下算法也是可靠的。

在實現過程中,將圓錐運動的姿態四元數的解析表達式作為真值,分別檢驗采用梯形公式的四階畢卡算法和四階龍格庫塔法的精度。

1) 仿真條件取圓錐運動的半錐角為a=1*pi/180;旋轉角速度為w=pi/3(rad/s),姿態更新周期為h=0.01s

當轉軸在yoz平面時,地理坐標系至載體坐標系的旋轉四元數為

角速度為

得到兩種算法的姿態角誤差分別如圖1～圖6所示。

圖1 畢卡算法的橫滾角誤差

圖2 畢卡算法的偏航角誤差

圖3 畢卡算法的俯仰角誤差

圖4 龍格庫塔法的橫滾角誤差

圖5 龍格庫塔法的偏航角誤差

圖6 龍格庫塔法的俯仰角誤差

當轉軸在xoy平面上的圓錐運動,地理坐標系至載體坐標系的旋轉四元數為

角速度為

得到兩種算法的姿態角誤差分別如圖7～圖12所示。

圖7 畢卡算法的橫滾角誤差

圖8 畢卡算法的偏航角誤差

圖9 畢卡算法的俯仰角誤差

圖10 四階龍格庫塔算法的橫滾角誤差

圖11 四階龍格庫塔算法的橫滾角誤差

圖12 四階龍格庫塔算法的橫滾角誤差

當轉軸在xoz平面上,地理坐標系至載體坐標系的旋轉四元數為

角速度為

得到兩種算法的姿態角誤差分別如圖13～圖18所示。

圖13 畢卡算法的橫滾角誤差

圖14 畢卡算法的偏航角誤差

圖15 畢卡算法的俯仰角誤差

圖16 四階龍格庫塔法的橫滾角誤差

圖17 四階龍格庫塔法的偏航角誤差

圖18 四階龍格庫塔法的俯仰角誤差

可以看出,在取角速度為w=pi/3(rad/s),姿態更新周期為0.01s時,60s內錐運動的龍格庫塔法和畢卡算法的姿態計算誤差都在10-7數量級上,針對錐運動的旋轉軸不同可以看出,繞轉軸的姿態角計算誤差會逐漸發散,算法產生嚴重漂移,且畢卡算法的發散速度更快。

2) 上述條件仿真出的結果能滿足精度要求,考慮增大圓錐運動的半錐角[10],轉軸在yoz平面內,半錐角為a=20*pi/180時,旋轉角速度為w=pi/3(rad/s),姿態更新周期為0.01s。

隨著錐運動的半錐角的增大,兩種算法的漂移也相應地增大,俯仰角的漂移最快,橫滾角和偏航角的誤差也逐漸發散,但龍格庫塔法的算法漂移相對畢卡算法的速度較慢,在60s的時間內兩種仿真精度在一個數量級上。

圖19 畢卡算法的橫滾角誤差

圖20 畢卡算法的偏航角誤差

圖21 畢卡算法的俯仰角誤差

圖22 龍格庫塔法的橫滾角誤差

圖23 龍格庫塔法的偏航角誤差

圖24 龍格庫塔法的俯仰角誤差

4 結語

當振動比較小,運動較平穩時,四元數法中的畢卡算法和四階龍格庫塔法的精度相當,但隨著振動加劇,環境條件更加惡劣時,四階龍格庫塔法精度要優于畢卡算法,算法漂移率較小,從運算精度上來講,可選擇四階龍格庫塔算法,但其在每步更新過程中需多次計算四元數微分方程式(1)右端的值,算法實現比較復雜,快速性和實時性略次于畢卡算法。Matlab仿真過程中使用tic、toc函數監測算法運行時間,四階龍格庫塔算法和畢卡算法的平均計算時間分別為1.0703e-04s和5.9295e-05s,畢卡算法的效率明顯高于四階龍格庫塔算法,從運算速度上來講,可選擇畢卡算法。

對于潛射戰術導彈來說,其水下發射環境惡劣,水下彈道時間短,對其彈道測量來講,實時性和精度都是至關重要的,基于硬件系統考慮,在高采樣率下要求同時進行捷聯解算,這就需要算法相對簡單,同時從本文的結論發現四元數法中的四階龍格庫塔法和畢卡算法的精度在同一數量級上,因此考慮使用畢卡算法作為姿態更新算法。由于捷聯慣導器件直接固聯在載體上,受載體的角振動影響大,引起誤差發散很快,而且對于導彈這種高速運動體,振動環境惡劣,由高過載產生的非線性誤差大且不易補償,提高采樣頻率和姿態更新頻率是保證解算精度行之有效的方法。

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Algorithm Application of Water Trajectory of Submarine-launched Missiles

SHAN Yuhao SHI Jianli PENG Wenhui

(Navy Submarine Academy, Qingdao 266041)

Aerial trajectory can be measured merely in the launch trainings of submarine-launched missiles, and underwater trajectory is not yet measured at present. Underwater trajectory is the most vulnerable in the whole trajectory and the breakdown reason is difficult to confirm. Measure of the underwater trajectory provides the possibility of breakdown analysis. The paper applies MEMS inertial sensors in underwater trajectory measurement, considering conical motion as attitude updating simulation environment. Trapezoid formula is used to calculate angle increment of Pirkanmaa algorithm, and analyse advantages and disadvantages of fourth order Ronge-Kutta method and Pirkanmaa algorithm. Ultimately conclusion by simulation is commendable to engineering application.

submarine-launched weapons, strapdown algorithm, Pirkanmaa algorithm, four order Ronge-Kutta

2015年3月1日,

2015年4月23日

單玉浩,男,碩士研究生,研究方向:圖形圖像處理。施建禮,男,副教授,碩士生導師,研究方向:維修與檢測。彭文輝,男,講師,研究方向:硬件設計與實現。

TJ630.33

10.3969/j.issn.1672-9730.2015.09.035