陣列協方差矩陣與FOCUSS算法的DOA估計方法*

李前言 康春玉

(1.海軍大連艦艇學院研究生隊 大連 116018)(2.海軍大連艦艇學院信息作戰系 大連 116018)

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陣列協方差矩陣與FOCUSS算法的DOA估計方法*

李前言1康春玉2

(1.海軍大連艦艇學院研究生隊 大連 116018)(2.海軍大連艦艇學院信息作戰系 大連 116018)

傳統的波達方向(DOA)估計方法往往受到Nyquist采樣定理與“瑞利限”的限制,對快拍數、陣元數及信噪比等條件的要求較高,并且不能準確估計信號源的幅度信息。基于目標在空域的稀疏性,針對多維觀測向量模型,提出一種正則化的FOCUSS稀疏重構算法,可以有效提高低信噪比條件下的估計性能。陣列接收矩陣快拍數大,含噪聲信息多,對高分辨的DOA估計影響較大,而通過對陣列的協方差矩陣求高階次冪的方法可以有效逼近信號子空間,減小噪聲子空間的影響。以陣列接收數據的協方差矩陣作為待分解的數據向量構造稀疏模型,能夠使重構信號具有較高的分辨率,對快拍數、陣元數及信噪比等條件的要求更低,對旁瓣抑制效果更好,能夠較為準確地估計出信源的幅度信息,且不需要對信源數目進行預估計,體現出明顯的優勢。

波達方向估計; 正則化FOCUSS算法; 稀疏重構; 協方差矩陣

Class Number TP301.6

1 引言

信號的波達方向(Direction of Arrival,DOA)估計在雷達、通信、聲納等諸多領域都發揮著重要作用,也是陣列信號處理領域研究的重要內容。常規波束形成(CBF)方法與最小方差無失真響應(MVDR)方法利用不同陣元接收信號間的時間延遲實現方位估計,此類方法對快拍數的需求較大,且受到“瑞利限”的限制,分辨率較低。子空間類方法(MUSIC方法、ESPRIT方法)將接收數據分解成信號子空間和噪聲子空間,利用二者的正交性構造出“針狀”空間譜實現DOA估計,此類方法雖然估計精度與分辨率都較高,但需要預估信源數目,在實際應用中存在一定的不足。

壓縮感知理論是一種新興的信號處理理論,目前已有許多學者在著手研究壓縮感知方法在DOA估計中的應用,并且已取得了一定的成果。壓縮感知理論的核心問題就是稀疏重構算法的選擇與應用問題,目前應用較多的是凸優化類算法與匹配追蹤類算法。這些方法的估計思想都有較大差異,但都必須以單快拍的陣列接收數據位待分解的向量構造稀疏模型,再以多塊拍平均的方法得到信源的方位信息,而FOCUSS方法能夠實現多維觀測向量(MMV)模型的稀疏重構[1],具有計算量小、采樣數少、收斂速度快的優勢,正則化的FOCUSS方法又能夠大大改善DOA估計效果[2]。

直接利用陣列接收數據的稀疏分解進行DOA估計極易受到噪聲的影響,對陣列接收數據進行奇異值分解(SVD)能夠有效減弱噪聲的影響,但此方法需要已知信源數目,當信源數過估計或欠估計時,性能顯著下降[3]。陣列接收數據的協方差矩陣包含有接收數據的大部分信息,且能夠使矩陣的維數顯著降低[4],對協方差矩陣求高階次冪(HOP)的方法可以有效逼近信號子空間,減小噪聲子空間,用此矩陣作為待分解的稀疏向量可以有效減少噪聲帶來的影響,并且避免了對信源數目的估計和對接收矩陣的特征值分解[5]。

2 DOA估計的數學模型

2.1 陣列信號數學模型

假設均勻線列陣由M個等間距陣元構成,陣元間距為d,空間存在N(N

(1)

式中,ym(t),si(t),nm(t)分別表示t時刻第m陣元的接收信號,第i個目標源信號和第m陣元上的加性噪聲,τim表示t時刻第m陣元相對參考點接收到第i個信號的時間延遲,可以表示為

(2)

式中,c為聲波在水中的傳播速度。

將式(1)寫作矢量形式為

Y(t)=A(θ)S(t)+N(t)

(3)

式中,Y(t)為t時刻采集的陣列數據,S(t)為信號源,N(t)為噪聲,A(θ)為陣列導向矢量矩陣,可表示為

A(θ)=[a(θ1),a(θ2),…,a(θN)]

(4)

a(θi)=[e-j2πf0τi1,e-j2πf0τi2,…,e-j2πf0τim]T

i=1,2,…,N

(5)

2.2 多維觀測矩陣的壓縮感知DOA估計模型

假設空間中僅存在少量有限個遠場目標源,這樣就使得目標源在空間上是稀疏的,滿足壓縮感知理論的前提條件。

將整個空間均勻劃分為{θ1,θ2,…,θH}(H?N),則根據假設,空間中只在一些位置上存在信號源(N個),在大多數可能的位置并不存在實際的信號源,因此,可以構造稀疏矩陣Aα,表示為

Aα(θ)=[α(θ1),α(θ2),…,α(θH)]

(6)

α(θi)=[e-j2πf0τ1i,e-j2πf0τ2i,…,e-j2πf0τmi]T

i=1,2,…,H

(7)

同時構造出一個空間H×1維信號s,即:

s=[s1,s2,…,sH]T

(8)

s中僅有N個非零元素,其余H-N個元素均為零,且H?N。對于多維觀測矩陣(MMV)的壓縮感知模型來說,若陣列接收信號Y有K個快拍,則需要構造出一個與Y維數相同(M×K)維的矩陣x

x=[s(1),s(2),…,s(k)]

(9)

則MMV的壓縮感知DOA估計模型為

Y=Aαx

(10)

可以看出,待估計的陣列流形A(θ)是完備陣列流形Aα(θ)的子集,而向量s也是矩陣x的其中一列,即也是x的子集。壓縮感知的核心問題就是要解決以下的凸優化問題

(11)

對矩陣x的每一列進行求和平均后便可得到信源的空間譜估計

(12)

通過P(θ)可以實現多快拍的目標方位估計。

3 正則化的FOCUSS重構算法

早在1997年,Gorodnitsky與Rao等研究學者就提出了FOCUSS算法,后經不斷改進形成現有的多測量矢量欠定系統聚焦求解(Multi-vectors FOCal Undetermined System Solver,M-FOCUSS)算法。該方法的本質是利用最小2范數來逼近最小0的解,在迭代中加入一個權值W來優化重構函數,首先初始化一個與陣列接收矩陣相同維數的全1陣x,再通過以下迭代求解過程重構原始信號[2]

1)Wk=diag(xk-1)

2)qk=(AαWk)TY

3)xk=Wkqk

(13)

以上的迭代過程是在無噪聲環境下推導出的,針對接收矩陣中存在噪聲的系統,應用正則化的FOCUSS算法(Regularized-FOCUSS)可以顯著減弱噪聲影響,使系統更加穩健,正則化的FOCUSS迭代過程為[7]

1)Wk=diag(xk-1[i]1-2/p)

2)Ak=AαWk

3)qk=AkH(AkAkH+γI)-1Y

4)xk=Wkqk

(14)

式中,p∈(0,1]為稀疏因子,γ為正則化因子。

利用正則化的FOCUSS算法可以實現MMV模型的壓縮感知DOA估計,并且可以有效抑制噪聲,提高估計性能。

4 基于陣列協方差矩陣的DOA估計方法

直接利用陣列接收的快拍數據進行DOA估計容易受到噪聲影響,Malioutov等提出了1-SVD方法,對陣列接收矩陣進行奇異值分解(SVD),然后利用最小1范數的約束條件重構原始信號。此方法對抑制噪聲有能夠起到較好的效果,但需要較為準確地估計出信源數目,在實際應用中存在一定的不足。

而利用接收數據協方差向量的稀疏表示方法來實現DOA估計可以明顯提高估計性能。

陣列接收數據的協方差矩陣可以通過K次快拍數據估計得到,表示為

(15)

此時,R為一個M×M的矩陣,若對協方差矩陣進行特征值分解,則R可表示為

(16)

式中,ES、EN分別代表信號子空間和噪聲子空間,ΛS、ΛN為其相應特征值,而協方差矩陣的特征值又有如下特點

λ1≥λ2≥…≥λN?λN+1≥λN+2≥…≥λM

(17)

可以看出,信號子空間對應的特征值大于噪聲子空間對應的特征值,只要設法增大協方差矩陣中的大特征值,減小小特征值,就可以有效抑制噪聲,提高估計效果。

但通常情況下,協方差矩陣特征值的區分程度并不明顯,噪聲特征值往往比較發散。對于式(16),若對協方差矩陣求其m次階冪,可得到

Rm=ESΣSESH+ENΣNENH

(18)

式中,ΣS=diag{λ1m,λ2m,…,λNm},ΣN=diag{λN+1m,λN+2m,…,λMm}。

由于經過高階冪的運算后,大特征值增加的幅度遠遠大于小特征值增加的幅度,即λ1m≥…≥λNm?λN+1m≥…≥λMm,因此高階冪的協方差矩陣中的小特征值可以忽略不計,表示為

(19)

這就表示陣列協方差矩陣在經過m次階冪后已經逼近于信號子空間,噪聲子空間已經可以忽略不計,這就使得矩陣Rm可以最大程度地逼近于原始信號。而實際應用中,參數m并不需要取到極限,只需要取有限次的整數就完全能夠滿足收斂要求[8]。

5 實驗仿真驗證

假設均勻線列陣陣元間隔為0.5m,兩個遠場窄帶相干信號源的方位分別為10°和15°,頻率均為1400Hz,采樣頻率為25kHz,聲速為m/s,{θ1,θ2,…,θH}的角度間隔為1°。

5.1 正則化FOCUSS方法中正則化因子的選取

假設均勻線列陣中陣元數為32,快拍數位128,噪聲為高斯白噪聲。考慮FOCUSS算法中正則化因子γ對估計效果的影響,計算信噪比在-20dB,-15dB,-10dB及-5dB四種情況下,隨著γ數值的變化,FOCUSS算法估計出的方位與真實目標方位的均方根誤差(RMSE),得到四條曲線如圖1所示。

圖1 隨著γ的變化FOCUSS算法的RMSE曲線

從圖1可以看出,采取正則化的FOCUSS方法能夠有效減小均方根誤差,提高估計準確性,但隨著γ數值的進一步增大,均方根誤差不會有明顯的改善,反而有可能增大,因此再此方針背景下,選擇γ在2左右為宜。

為了準確反映空間譜信息,增加快拍數至1024,令γ的值為2,得到CBF方法、MVDR方法、FOCUSS方法及正則化FOCUSS方法的空間譜如圖2所示。

圖2 四種估計方法的空間譜

從圖2可以看出,在有噪聲干擾的情況下,未正則化的FOCUSS方法無法準確估計目標的方位,而正則化的FOCUSS方法卻明顯能夠改善估計效果。且相對于CBF方法與MVDR方法,正則化的FOCUSS方法對噪聲的抑制效果更好,對方位的估計更加準確。

5.2 協方差矩陣高階冪方法中冪指數的選取

在與5.1節相同的方針背景下,假設兩目標的歸一化強度均為1,隨著冪指數m的變化,得到HOP-FOCUSS方法在不同信噪比情況下的RMSE曲線如圖3所示。

圖3 隨著m的變化HOP-FOCUSS方法對相同強度目標的方位信息估計的RMSE曲線

從圖3可以看出,利用陣列協方差矩陣作為待分解的稀疏向量可以顯著提高方位的估計準確率,減小估計誤差,尤其在低信噪比條件下有較好的效果,冪指數取到合適的值可以使均方根誤差達到最小,但在較高信噪比情況下,協方差矩陣的高階冪方法對方位信息所起到的作用并不明顯。

在實際的空域信號中,目標的強度往往是不同的,且伴隨著較多的干擾噪聲,若無法準確估計目標的強度,則對區分目標與噪聲會造成一定的困難,因此對目標的幅度信息較為精確地估計對方位估計也具有重要的意義。此節討論HOP-FOCUSS方法估計出目標的幅度信息與真實目標的幅度之間的均方根誤差。假設兩目標的歸一化強度分別為1和0.9,其他仿真條件與5.1節相同,得到HOP-FOCUSS方法在不同信噪比情況下對目標幅度信息估計的RMSE曲線如圖4所示。

圖4 隨著m的變化HOP-FOCUSS方法對不同強度目標的幅度信息估計的RMSE曲線

從圖4可以看出,在任何信噪比條件下,對協方差矩陣取高階冪都能夠有效提高對目標的幅度信息的估計效果,但隨著冪指數的增大,估計效果趨于穩定,不會再得到明顯改善。結合圖3與圖4,可以看出,在此仿真背景下,取冪指數在5左右可以達到最好的估計效果。

假設兩個目標的歸一化強度分別為1和0.9,快拍數為1024,m的值為5,其余仿真條件與5.1節相同。在此仿真背景下,得到CBF方法,MVDR方法,壓縮感知正交匹配追蹤(CS-OMP)方法,正則化FOCUSS方法(Re-FOCUSS),高階冪正則化FOCUSS(HOP-Re-FOCUSS)方法的空間譜如圖5所示。

圖5 目標強度不同時五種方法估計的空間譜

從圖5中可以看出,CBF方法與MVDR方法的方位估計值與真實值有一定的誤差,且旁瓣的幅度值很高,影響估計效果,而CS-OMP方法對旁瓣的抑制效果也較差。而直接使用陣列接收數據進行稀疏分解的方法對方位的估計較為準確且能夠有效抑制旁瓣,但無法準確估計目標的幅度值,在遇到較強干擾的情況下,無法有效區分目標信號與干擾信號,對準確的方位估計造成較大影響,因此利用協方差矩陣高階冪進行的DOA估計具有更好的估計效果。

5.3 不同陣元數條件下的比較

固定信噪比為-3dB,陣元數從2～32變化,快拍數為1024,圖6表示陣元數變化時CBF方法、OMP方法、FOCUSS方法、HOP-FOCUSS方法得到的二維方位歷程。

圖6 陣元數變化時四種方法估計的二維方位歷程

從圖6可以看出,CBF方法在陣元數為20時才可以分辨兩個目標,且波束寬度較寬,OMP方法與FOCUSS方法在陣元數達到16個時就可以分辨兩個目標。而HOP-FOCUSS方法在陣元數達到8個時就可以有效分辨兩個信號。同時,由于陣列的協方差矩陣是M×M維的矩陣(M為陣元數),因此利用協方差矩陣的高階冪作為待分解的稀疏向量,可以使運算的快拍數從1024個減少至M個,從而大大降低運算量,加快估計速度,使之更適應于實際應用。

5.4 不同信噪比條件下的比較

固定陣元數為32,信噪比從-30dB～0dB變化,快拍數為1024,圖7表示信噪比變化時CBF方法、OMP方法、FOCUSS方法、HOP-FOCUSS方法得到的二維方位歷程。

從圖7可以看出,CBF方法、OMP方法、FOCUSS方法在信噪比達到-15dB的情況下才能有效分辨兩個目標,且對旁瓣的抑制效果較差,在低信噪比時存在較多的虛警。而HOP-FOCUSS方法在-20dB的情況下就能夠有效分辨兩個目標,且對旁瓣抑制效果更好,兩個目標在歷程圖上的顯示更加明顯。

圖7 信噪比變化時四種方法估計的二維方位歷程

6 結語

針對空域目標的稀疏性,著眼于壓縮感知理論中的FOCUSS重構算法及以陣列協方差矩陣的特點,通過對兩者計算方式的結合并加以改進,得到HOP-FOCUSS方法對空域目標進行有效的DOA估計。實驗仿真證明,FOCUSS方法實現了壓縮感知中的MMV模型,降低了運算次數,正則化的FOCUSS方法以及對陣列協方差矩陣求高階次冪的方法能夠有效提高對目標的估計性能,HOP-FOCUSS方法在低信噪比、少陣元數條件下依然能夠體現出對目標的方位信息及幅度信息較好的估計效果,對旁瓣抑制效果更好,且能夠顯著減少計算快拍數,降低運算量及運算時間,在目標估計與探測領域具有較好的應用前景。但同時,本文還存有較多問題尚未解決,如在不同仿真背景下的參數選擇,在多目標源,多干擾源情況下本文方法的適用性,尤其是當目標信號源強度較小,噪聲干擾較大的,陣列協方差矩陣中的大特征值與小特征值區分極不明顯的情況下本文方法的適用性還有待于進一步研究論證。

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Direction of Arrival Estimation Method Based on Array Covariance Matrix and FOCUSS Algorithm

LI Qianyan1KANG Chunyu2

(1. Graduate Student Division, Dalian Navy Academy, Dalian 116018) (2. Department of Information Operations, Dalian Navy Academy, Dalian 116018)

Traditional direction of arrival estimation method is always limited with Nyquist sampling theorem and Rayleigh limit, requires better condition such as snapshot number, sensor number and SNR. It also can’t estimate amplifier information of source accurately yet. Based on spatial sparsity of targets, aiming at multiple-dimension vectors model, regularized FOCUSS sparse reconstruction algorithm can improve performance of DOA estimation in the condition of low SNR effectively. Array received matrix has large snapshot number and lots of noise information and it may affect higher resolution DOA estimation deeply. High power of the covariance matrix can approach signal subspace effectively, decrease the influence of noise subspace. Taking the covariance matrix of array received data as data vector to be resolved construct sparse model can improve resolution of reconstructed signal, and requires less snapshot number, less sensor number and lower SNR. This method can also restrain sidelobe better and estimate amplifier information of source accurately. Moreover, it doesn’t need to pre-estimate the number of sources, reflects obvious advantage.

direction of arrival estimation, regularized FOCUSS algorithm, sparse reconstruction, covariance matrix

2015年3月2日,

2015年3月27日

李前言,男,碩士研究生,研究方向:水聲信號處理。

TP301.6

10.3969/j.issn.1672-9730.2015.09.016