分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）應(yīng)用題典型解題策略探析

曾志群

【摘 要】 分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題是把應(yīng)用題與分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的知識(shí)有機(jī)結(jié)合的數(shù)學(xué)問題，其解答的技巧是把分?jǐn)?shù)知識(shí)加以實(shí)際應(yīng)用的思維過程。作為整個(gè)小學(xué)階段應(yīng)用題中的難點(diǎn)之一，它有別于之前學(xué)過的整數(shù)、小數(shù)應(yīng)用題的解決技巧，分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題因其數(shù)量關(guān)系抽象，使學(xué)生不易掌握，如何正確引導(dǎo)學(xué)生靈活合理地分析解答分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題是教師教學(xué)的重點(diǎn)。本文從具體知識(shí)的教學(xué)實(shí)踐展開研究，以相關(guān)的教育理論為基礎(chǔ)，從具體數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)出發(fā)，從多年的教學(xué)實(shí)踐出發(fā)，對(duì)分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解題策略作了一些的概括，對(duì)分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）應(yīng)用題的教學(xué)工作有一定的現(xiàn)實(shí)意義和指導(dǎo)意義。

【關(guān) 鍵 詞】 分?jǐn)?shù)應(yīng)用題；解題；策略

一直以來，分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系都較為抽象、難于理解，難以使學(xué)生理解“分?jǐn)?shù)意義”的拓展認(rèn)識(shí)，僅憑記憶題型確實(shí)可以使很多學(xué)生迅速掌握這類問題的解決方法并能正確計(jì)算，但不利于培養(yǎng)學(xué)生分析問題和靈活應(yīng)用知識(shí)能力的培養(yǎng)。如何改進(jìn)和加強(qiáng)分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題教學(xué)，使其能有效地解決日常生活中的問題，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的目的性和實(shí)踐性，真正做到提高教學(xué)質(zhì)量是我們面臨的一個(gè)新問題。教學(xué)中，我探索出一些解決分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)問題的技巧和策略，將其運(yùn)用在常見的一些分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中進(jìn)行分析，使之有效地解決日常生活中的問題。

一、對(duì)應(yīng)法

對(duì)應(yīng)法是將兩個(gè)集合間的問題建立聯(lián)系，也就是把兩個(gè)集合元素之間建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。對(duì)于分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）應(yīng)用題，抓準(zhǔn)分率與實(shí)際數(shù)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系是解答的關(guān)鍵，由于其數(shù)量關(guān)系比較抽象，應(yīng)抓住“量”與“率”的對(duì)應(yīng)和“圖”與“式”的對(duì)應(yīng)。分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，每一個(gè)數(shù)量對(duì)于一個(gè)確定的標(biāo)準(zhǔn)（單位“1”的量）而言，都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的分率，明確誰是單位“1”的量，誰是對(duì)應(yīng)分率，可以幫助學(xué)生在復(fù)雜的條件和問題中，理清思路，找到解題線索，有利于發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力。

典型例題：五年級(jí)師生向希望小學(xué)捐書150本，六年級(jí)比五年級(jí)多捐，六年級(jí)師生捐書多少本？

方法指導(dǎo)：六年級(jí)比五年級(jí)多捐，單位“1”是五年級(jí)的捐書數(shù)量，是已知的，六年級(jí)比五年級(jí)多捐，也就是六年級(jí)的捐書數(shù)量是五年級(jí)捐書數(shù)量的1+=1，根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義就是求150的1是多少。

正確解答：150×

1+

=180（本）

對(duì)應(yīng)法，是一種很重要的數(shù)學(xué)方法。有很多問題，給定的數(shù)量和對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系是在變化的，應(yīng)用對(duì)應(yīng)法解題的時(shí)候要注意前提條件，對(duì)應(yīng)法的使用必須有2個(gè)不變的數(shù)量關(guān)系，在此基礎(chǔ)上再進(jìn)行對(duì)應(yīng)，找不同，以及相互關(guān)系。因此在教學(xué)中，必須加強(qiáng)尋找量率對(duì)應(yīng)關(guān)系的技能技巧的訓(xùn)練，量率對(duì)應(yīng)常常和畫線段圖結(jié)合使用，效果會(huì)更佳。

二、畫線段圖法

畫線段圖法是根據(jù)數(shù)學(xué)問題畫出線段圖等表達(dá)題意，幫助學(xué)生正確地審題、分析和檢驗(yàn)，從而使數(shù)學(xué)問題得以順利解決的策略。在分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）應(yīng)用題中，每一個(gè)分率都對(duì)應(yīng)一個(gè)具體數(shù)量，量率對(duì)應(yīng)，尋找對(duì)應(yīng)關(guān)系，必須充分利用半具體半抽象的線段圖作為解題工具。通過分析線段圖，明確誰是單位“1”，誰是對(duì)應(yīng)分率，它可以幫助學(xué)生在復(fù)雜的條件和問題中，理清思路，找到解題線索，有利于發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力。

典型例題：果園里有60棵蘋果樹，梨樹的數(shù)量是蘋果樹的，桃樹的數(shù)量是梨樹的，果園里有多少棵桃樹？

方法指導(dǎo)：本題的數(shù)量關(guān)系可以用下面的線段圖來表示，觀察下圖可以看出，梨樹的數(shù)量=蘋果樹×，桃樹的數(shù)量=梨樹×，即桃樹的數(shù)量=蘋果樹××。

[60棵][棵][蘋果樹][梨樹][桃樹]

正確解答：60××=30（棵）

數(shù)形結(jié)合是研究數(shù)學(xué)問題的重要思想，畫線段圖能將題目中抽象的數(shù)量關(guān)系，直觀形象地表示出來，進(jìn)行分析、推理和計(jì)算，從而降低解題難度。畫線段圖法常常與其他解題方法結(jié)合使用，可以說，它是學(xué)生弄清分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）應(yīng)用題題意、分析其數(shù)量關(guān)系的基本方法。

三、方程法

方程法是把題中的未知量設(shè)為字母x，找出等量關(guān)系，然后把x作為已知量參與運(yùn)算，最終得到等式，求出未知量的過程。用方程解分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）應(yīng)用題適用于單位“1”的量是未知的，把單位“1”的量設(shè)為X，把未知數(shù)x與已知數(shù)放在一起，分析應(yīng)用題所敘述的數(shù)量關(guān)系，再根據(jù)數(shù)量關(guān)系和方程的意義，列出方程式。

典型例題：加工一批零件，第一天加工了總數(shù)的，第二天加工了總數(shù)的，第一天比第二天多加工了300個(gè)，這批零件一共有多少個(gè)？

方法指導(dǎo)：根據(jù)“第一天比第二天多加工了300個(gè)”可以列出等量關(guān)系式，即“第一天加工的—第二天加工的=300個(gè)”。

正確解答：解：設(shè)這批零件一共有X個(gè)？

X-X=300

X=3600

列方程式其核心就是要尋找給出條件存在的數(shù)量關(guān)系，建立等量寫出等式，未知數(shù)與已知數(shù)用運(yùn)算符號(hào)相連接，從整體上反映數(shù)量關(guān)系的各個(gè)方面，用方程解題要比用算術(shù)的方法簡單，且解題方式靈活多樣，可以從最簡單的入手，循序漸進(jìn)，適用面廣，用來解答那些反敘的問題會(huì)更方便。

四、抓不變量法

分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）應(yīng)用題中有許多數(shù)量前后發(fā)生變化的題型，一個(gè)數(shù)量的變化，往往引起另一個(gè)數(shù)量的變化，但總存在著不變量。解題時(shí)抓住始終不變的數(shù)量，分析不變的數(shù)量與其他數(shù)量之間的關(guān)系，從而找到解題突破口，把問題解答出來。

典型例題：故事書和科技書共450本，其中故事書占總數(shù)的30%，后來又買來一些故事書，現(xiàn)在故事書占總數(shù)的50%，后來買了多少本故事書？

方法指導(dǎo)：此題可以抓住不變量“科技書的數(shù)量”來解答，原來有科技書450×（1-30%）=315（本），又買來一些故事書后，科技書的對(duì)應(yīng)分率是（1-50%），用科技書的數(shù)量除以對(duì)應(yīng)分率（1-50%），得出的結(jié)果是現(xiàn)在圖書的總數(shù)，即可求出又買來多少本故事書。

正確解答：科技書：450×（1-30%）=315（本）

315÷（1-50%）=630（本）

630-450=180（本）

抓不變量解分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）應(yīng)用題，前后對(duì)比，問題得解，量率對(duì)應(yīng)，問題得解，已知不變量找出其變化后的對(duì)應(yīng)分率，求出變化后的另一個(gè)變量，找出其變化前后的數(shù)量，算出數(shù)量差，幫助學(xué)生溝通已知和未知的關(guān)系，打開解決問題的通道，提高了學(xué)生解決問題的技巧。

五、對(duì)比法

在解決實(shí)際問題的過程中，找出數(shù)量之間的不同點(diǎn)、相似點(diǎn)或相同點(diǎn)，通過分析和比較，找到解決問題的策略。

典型例題：某服裝店同時(shí)以每件60元的價(jià)格售出了兩件衣服，其中一件贏利25%另一件虧損25%，則這次買賣中總的情況是賺了還是賠了？

方法指導(dǎo)：想要知道店主是賺還是賠，應(yīng)計(jì)算出這兩件衣服的進(jìn)價(jià)，然后與售價(jià)進(jìn)行比較。這題不管是盈利還是虧損，所對(duì)應(yīng)的單位“1”都是進(jìn)價(jià)，單位“1”是未知的。

正確解答：60÷（1+25%）=48（元）

60÷（1-25%）=80（元）

兩件衣服的進(jìn)價(jià)：48+80=128（元）

兩件衣服的售價(jià)：60×2=120（元）

128>120該服裝店賠了。

六、轉(zhuǎn)化法

在解答一些復(fù)雜的、陌生的問題時(shí)，可以根據(jù)題目中存在的相等關(guān)系，把新問題通過換角度、換方式、換敘述、換處理方式的辦法進(jìn)行變化，把新的問題和復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為已學(xué)問題或容易解決的問題，最終使問題獲得解決的思維策略。

典型例題：六年級(jí)（1）班共有學(xué)生54人，男生人數(shù)的75%和女生的80%都參加了學(xué)雷鋒做好事活動(dòng)，而未參加的男、女人數(shù)剛好相等，這個(gè)班的男、女生各有多少人？

方法指導(dǎo)：由“未參加的男、女人數(shù)剛好相等”可以理解到：

男生×（1-75%）=女生人數(shù)×（1-80%）

男生×25%=女生人數(shù)×20%

男生人數(shù)：女生人數(shù)=4：5

正確解答：女生人數(shù)：54÷

1+

=30（人）或：54×=30（人）

男生人數(shù)：54—30=24（人）或：54×=24（人）

復(fù)雜的分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）應(yīng)用題，常常含有幾個(gè)不同的單位“1，根據(jù)題目的具體情況，將不同的單位“1轉(zhuǎn)化成統(tǒng)一的單位“1，通過適當(dāng)?shù)淖兓D(zhuǎn)化成另一個(gè)數(shù)學(xué)問題來進(jìn)行思考、求解，從而實(shí)現(xiàn)從繁到簡、由難到易的轉(zhuǎn)化使隱蔽的數(shù)量關(guān)系明朗化。

我認(rèn)為，在教學(xué)分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）應(yīng)用題時(shí)，一定要結(jié)合具體情境，在實(shí)踐教學(xué)中，在逐層學(xué)習(xí)的過程中，通過分析交流和適量的練習(xí)使大部分學(xué)生能夠掌握各自的方法，從而能夠輕松地根據(jù)分?jǐn)?shù)乘、除法意義的不同解決問題，體會(huì)分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，幫助學(xué)生愉悅地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

【參考文獻(xiàn)】

[1] 劉麗輝. 淺談小學(xué)數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題解答路徑[J]. 新課程（中），2011（5）.

[2] 蔣明玉. 應(yīng)用題“畫”出來[J]. 數(shù)學(xué)大王，2009（9）.

[3] 王生. 分?jǐn)?shù)應(yīng)用題常見錯(cuò)誤剖析[J]. 第二課堂（小學(xué)版），2007（10）.