中美職前小學教師“教學用數學知識”的發展比較
——以分數乘除法為例

段素芬，Xianwei Yuan Van Harpen

（1．淄博師范高等專科學校 數理科學系，山東 淄博 255130；2．University of Wisconsin-M ilwaukee, M ilwaukee, WI, U.S.A）

中美職前小學教師“教學用數學知識”的發展比較
——以分數乘除法為例

段素芬1，Xianwei Yuan Van Harpen2

（1．淄博師范高等專科學校 數理科學系，山東 淄博 255130；2．University of Wisconsin-M ilwaukee, M ilwaukee, WI, U.S.A）

中美職前小學教師對分數乘除法運算法則較熟悉，但知識的教學之用及發展存在一定差異：（1）知識方法維度：中國學生對分數乘除法運算的算法明確、結果準確，美國學生對分數乘除法的概念性理解有局限，有時出現一定偏差．（2）理解表征維度：美國學生的知識理解和表征是發散的、多樣化的，中國學生的知識表征和運算方法則比較單一．中國學生傾向于數字和符號的計算，美國學生則關注和擅長于圖形與問題情境的表征．（3）教學策略維度：中美學生的教學用數學知識有進步，但進步的幅度不大，美國學生的進步則更明顯．中美學生對分數乘除法運算的程序性知識較好，但數學知識的教學實踐之用是“捉襟見肘”的．

教學用數學知識；分數乘除法；職前小學教師；發展比較

1 問題提出

美國學者舒爾曼（Shulman）1986年提出[1]，教師在教學中僅有學科知識和教學知識是不夠的，必須具有學科知識與教學知識的融合知識，也就是學科教學知識PCK（Pedagogical Content Know ledge）．PCK理論強調，教師能夠“用學生易于理解的方法來表達學科內容的知識”，將所教的學科內容知識以學生易懂的方式加工、轉化、表達并傳授給學生．PCK的理論提出之后，引起了教育研究者的高度關注[2～3]．在具體的學科領域，如數學，就出現了數學學科教學知識（Mathematical Pedagogical Content Know ledge）[4～7]．著名學者范良火的研究指出[8]，教師教學知識的最重要來源是“自身的教學經驗和反思”以及“與同事的交流”，而“作為學生時代的經驗”以及“職前培養”卻是最不重要的來源．這對職后教師培訓與教師專業發展提供了重要的借鑒，卻同時給教師教育的職前培養提出了深刻的思考：難道教師教育的職前培養在教師教學知識的專業發展中無能為力？無用武之地？

職前教師培養是教師教育的源頭和起點，在教師專業成長與發展中具有基礎而重要的決定作用．知識處于教師專業發展的核心地位，職前教師的專業知識決定著他們今后專業發展的基礎和方向．當然，教師具有“學生易于理解、易于接受的方式或策略”的知識是無可厚非的，甚至是理所當然的，是教師專業發展中應著重努力的方向．但要想“用學生易于理解的方法來表達學科內容的知識”，教師首先要對所教學科內容知識有真正的專業理解，因為只有當教師深刻理解后，才有可能深入淺出地講解，包括對學科概念、定理的形成過程，蘊涵的思想方法、本質含義，各知識命題之間的相互關系及嚴密的知識網絡體系等等，要有深刻的、本質的理解，這在教師的職前培養中是需要重點達成的．Ball開創了“教學用數學知識”（Mathematical Know ledge for Teaching）的研究[9～10]．她指出，對數學知識性質的不透徹理解，將使世界范圍內改善教師教育質量的良好意愿受挫[11]．為今后的教學做對教學有用的數學知識上的準備，這與沈文選教授提出的“教育數學”的思想（作為教育的數學）有一定的相近性[12]．

他山之石，可以攻玉．研究者從中外實踐取向比較的視角來關注職前教師的教學用知識，更重要的是研究職前教師的教學用知識發展的比較．為了使比較有意義，比較單位之間應該有一定的相似性，惟其如此，才能使得研究內容表現出的差異更有意義．研究中選取的中美兩國個案分別是中國山東一所師范高等專科學校和美國伊利諾伊州一所大學．中國的山東省乃是孔子文化的發源地，政治經濟較為發達，教師教育亦屬領先創新，這所師范高等專科學校已有六十多年的建校歷史，為省內外培養了無數優秀的小學師資，是山東省教師教育基地．美國的伊利諾伊州是美國經濟、政治和文化都相對發達的一個地區，伊利諾伊州的教師教育在美國也位于發端之列，這兩所高校的小學教師教育都能較好地代表兩個國家小學教師教育的水平．

2 概念界定

3 研究設計

3.1 研究對象

近年來，盡管大量的研究者做了對教學知識的研究，但由于時間和地域的原因，對中美兩國職前小學教師的比較是很少的．這里將涉及兩國高校小學教師教育大學新生和畢業班的學生，盡管這樣的選擇比不上跟蹤同一批學生在整個高師教育過程中的進步情況，但由于時間的限制，這種選擇將在最大程度上體現高師小學教師教育對職前小學教師教學知識的影響．

對中美職前小學教師教學用數學知識的發展比較，是通過調查大學新生和臨近畢業的師范生來實現的．中國被試是山東省一所師范高等專科學校的數學教育專業（小學教育方向）的師范生，美國被試是指伊利諾伊州一所大學的小學教育專業的師范生．在兩國的兩所高校分別選取兩個年級的師范生，共發放400份問卷，收回有效問卷373份．373名調查對象中，中國大學新生96名，畢業生89名；美國大學新生100名，畢業生88名．

3.2 研究內容

研究教學用知識必然涉及到具體的學科知識內容．張景中院士曾提到：教育數學可以著眼于兩點——難點和新點[14]．分數作為學生在學習了整數的概念與運算基礎上的新點，更是小學生學習過程中遇到的最為復雜的概念之一[15]，當屬小學數學教與學的難點，理所當然成為職前小學教師準備的重點．有研究表明，教師對于分數概念與運算的學科教學知識狀況讓人堪憂．Post等對小學教師研究表明，約有四分之一教師在分數基本運算上存在困難；Stoddardt對小學職前教師研究發現，半數教師無法正確解決分數乘除法的問題；Li等研究表明，93%的職前教師能正確計算分數除法，但將問題換一種問法（如四分之三里面有幾個二分之一？），則正確率降低至52%；Ball研究了教師教學分數除法表達式的能力，發現教師僅僅知道計算規則和程序，卻不能把這種程序性知識轉化成有助于學生理解的形式．Orton研究了分數概念的表達，發現大多數教師嚴重依賴于程序性的符號表達式，而不是依賴于有助于理性認識的表達方式[16]．這說明教師在理解分數概念和分數運算的意義上存在困難，在數的運算概念與運算程序上存在著知識和理解的間斷性和不完整性[17]．

借鑒以上研究，以分數乘除法為例，對中美職前小學教師的教學用數學知識的發展狀況進行調查比較，具體是：（1）中美兩國大學新生對分數乘除法的認識和理解．（2）中美兩國畢業生對分數乘除法的認識和理解．（3）中美兩國師范生對分數乘除法認識和理解的發展狀況的差異．

3.3 研究方法與過程

研究通過問卷調查法與訪談法，以中美職前小學教師為研究對象，針對分數乘除法運算知識，通過兩個情境題（分別圍繞分數乘除法設計，情境題要求師范生設想在特定的小學數學教學環境下教授分數的乘除法知識），對他們的教學用數學知識進行了比較．依據教學用數學知識的內涵，考慮知識評價框架，分別在知識方法維度（一般的數學知識）、理解表征維度（一般的教學知識與深刻的教學知識）和教學策略維度（聯系的數學知識與深刻的教學知識），對中美兩國職前小學教師的掌握情況及其發展狀況進行比較分析．

在參考有關專家的研究工具的基礎上[18]，研究者自行設計了調查問卷．采取集中調查的方式，在兩國兩所高校請調查對象在統一時間和地點填寫問卷，時間以保證調查對象能夠完成全部題目為準．2011年春季，研究獲得美國IRB的批準；2011年秋季，對中美大一新生進行了調查，并進行了訪談錄音；2012年春季，進行了中美兩國畢業生的調查，并進行了深度訪談．

問卷收回后，對每道情境題的回答進行得分級別編碼和賦分．兩道情境題除了做不同得分級別的編碼，還對答案類型編碼，由中美兩名研究者分別編碼．首輪編碼后，兩道情境題的編碼的一致性分別為96.6%、97.4%，隨后對編碼不一致的題目答案進行審議，直至得到一致的編碼結果．所有數據采用軟件SPSS13.0進行錄入、處理與分析．

4 結果與分析

4.1 分數乘法的比較

情境一：人們通常會這樣求解分數的乘法：

設想您是一位小學數學老師，您會怎樣給一個五年級的小學生解釋另外一種求解以上乘法的方法？

情境一回答類型與人數描述統計及相關研究如表1～表3所示．

表1顯示，中美兩國師范生中選擇先約分再相乘或先相乘再約分方法的人數是最多的，這也是大多數人在面對分數乘法時使用最為普遍的方法．其中，從A、B策略中，可以看出中國學生明顯注意到約分能使計算簡單，美國學生大部分是計算到最后才約分，這樣在計算過程中就要應付較大的數字．這可能體現出中國老師在教育中更注重計算的速度和正確性．從策略C可以看出，兩國學生都有明顯進步，而美國學生進步更大，體現出很多新生甚至不知道什么叫“解釋另外一種方法”．到了畢業生，大部分學生都較明確．從策略F可見，美國畢業生采用畫圖解釋人數是最多的，這是美國畢業生的顯著不同之處，中國畢業生沒有幾個能這樣想的，原因主要在于美國師范生的課程里強調畫圖．研究者認為，策略F和G是最能幫助小學生理解分數乘法概念的解釋，美國學生在這兩種回答上都超過中國學生，但是人數仍然很少．總之，中美師范生顯然對常規分數乘法運算的法則都比較熟悉，但中國學生的熟悉度明顯更高．在知識方法維度，中國學生解題正確率極高而且方法高度一致，而美國學生解題方法多樣，但正確率較低．雖然約分法也是畢業生中使用最多的方法，但總體來講，畢業生使用的方法策略稍多于新生．在理解表征維度：美國學生具有發散的、多樣化的知識理解和表征，盡管有時具有一定偏差；而中國師范生的教學用知識雖然比較準確，但知識的呈現和運用較為單一．這也顯示出美國文化教育的注重個性化與創新性，相對而言，中國是比較“整齊劃一”的．在教學策略維度：美國畢業生做得較好，有近四分之一的人用畫圖的方式來解釋分數乘法運算，有近十分之一的人用加法詳細解釋分數乘法運算的本質，這在所有的調查對象中比例是最突出的．

表1 情境一回答類型與人數描述

表2 情境一方差分析

表3 情境一多重比較

由表2可以看出，中美師范生對分數乘法的運算策略具有顯著性差異．表3顯示，中國兩級師范生、美國兩級師范生各自之間的差異不顯著，p值均大于0.05的顯著性水平．但中美新生之間、中美畢業生之間的差異較顯著．具體是美國畢業生中有較多的人數用畫圖方法解釋或表征分數的乘法，有的畢業生將分數乘法的理解聯系到乘法就是加法的實質意義上來解釋，這是美國畢業生在情境一的亮點．這說明，美國畢業生已經能夠使用普遍方法之外的其他表征，并能從分數乘法的本質意義上來解釋算法的合理性，也即能將算法聯系到本原的算理意義上．這一點，比較可貴，體現了美國畢業生在教學用數學知識上的進步．相比較而言，中國的學生卻稍遜，中國學生都很少使用約分之外的其它解釋或表征方法．訪談中，中國畢業生認為，題目會做而且做對是沒有問題的，但作為畢業生是很少考慮知識本原的理解以及面向小學生的教學用的知識．

4.2 分數除法的比較

情境二：問題(a) 人們在做分數的除法時方法不一．您會怎樣解答以下這個除法？

問題(b) 設想您是一個小學數學老師．為了使學生理解數學的意義，很多老師會用現實世界中的情境或者故事來幫助學生看到某一數學內容日常生活中的應用．您能給上面這個除法運算編一個好的故事嗎？

4.2.1 問題（a）的比較

此情境使用了馬力平的測試題目，考查學生對分數除法的運算和理解．在小學數學中，分數被認為是最復雜的數，分數除法被認為是對最復雜的數作最難的運算．對問題（a），中國絕大部分學生的解答方法是首先將被除數的帶分數轉化成假分數，然后將分數除法轉化成分數乘法，最后按照分數乘法法則進行計算，而且中國學生的計算結果幾乎都正確，只是幾個學生沒有將最后結果進行化簡約分．美國學生計算分數除法的程序性知識就遠遠不如中國學生，他們有的是思路正確，但結果錯誤；有的是思路本身就有誤；有的是帶分數轉化成錯誤的假分數；有的是分數除法轉化成錯誤的分數乘法；有的是分數乘法出現錯誤，有的是最后結果沒有約分化簡，關于師范生回答策略與人數描述的統計見表4．

表4 情境二（a）回答策略與人數描述

表5 情境二（a）成對樣本檢驗（顯著性水平α=0.05）

4.2.2 問題（b）的比較

為了使學生理解數學的意義，很多老師會用現實世界中的情境或者故事來幫助學生看到某一數學內容在日常生活中的應用．中國學生編出了多種多樣的文字題目，絕大部分是具有一定實際意義的．而美國學生幾乎很少編出，寫出想法的少數學生也在分數的意義、分數除法的意義上出現了錯誤，但美國學生編的文字題的實際背景的范圍卻比中國學生的寬泛．這個情境問題是中美學生差異最大的一個題目．這表明中國師范生對分數除法的運算法則、通分約分的運算有非常好的程序性知識的掌握，但中美新生與畢業生所使用的方法略有區別．情境二（b）回答類別及百分比描述見表6．

表6 情境二（b）回答類別及百分比描述

從表6可以看出，中美師范生編制的分數除法的文字題錯誤率較大，有的是數學上出錯了，有的是問題情境不合適．中國總樣本的正確率為43.8%（僅指所編文字題目數學上正確，情境也較合適的．比如：小明的爸爸買了3份一樣的蛋糕，爸爸吃了一份不夠，又吃了另一份的3/4，小明吃了一份的1/2，問：爸爸吃的是小明吃的多少倍？），中國大學新生和畢業生的正確率分別為26%和55%，相差29個百分點．美國總樣本的正確率是28.2%，（例如：A person has to walk (1 and 3/4) of a m ile around a ? m ile track. How many times does he need to walk around to get (1 and 3/4) mile?）美國新生和畢業生的正確率則更低，分別為15%和38%．這一點上，中美師范生的差異是比較顯著的（見表7）．情境二（b）回答錯誤類別示例見表8．

表7 情境二（b）方差分析

表8 情境二（b）回答錯誤類別示例

表8是中美職前小學教師情境二（b）回答錯誤類別示例．值得一提的是，在錯誤類別B中，中國新生占25%，畢業生占34%；而美國新生僅占1%，美國畢業生更是0．這說明中國學生更多地傾向于數學上計算性的熟悉，而對計算背后的情境支撐則不太擅長；相反，美國學生編的文字題目更看重情境性里的數學．與此一致的是，在錯誤類別C中，美國畢業生（50%）比中國畢業生（7%）高出43個百分點．從這兩個錯誤類別中可以明顯看到，盡管中國學生的正確率高于美國學生，但中國學生關注且擅長于數字和符號的計算，相反美國學生關注且擅長于問題情境的表征，這也是中美學生在數學學習中的一個比較顯著的差異．另外沒有編出文字題的師范生中，美國學生較多（新生29%，畢業生10%）．該情境題目主要分析分數除法的含義以及分數除法與乘法的關系入手，處理錯誤的師范生在這方面存在困難．

5 結 論

針對分數乘法和除法運算，訪談中，學生對分數乘法和除法的計算法則幾乎都能流利說出，但問及計算法則的意義，則理解欠佳，不能將乘法是加法的簡便運算，以及除法是乘法的逆運算的道理聯系起來．但相對來說，中美畢業生的理解是優于大學新生的．

5.1 教學用數學知識是有進步的但進步的幅度不大

從分數乘除法的情境題來看，中美畢業生的教學用數學知識的使用意識相對大學新生是比較明確的，這體現在：分數乘法中，在畫圖與利用加法來解釋乘法的意義時，畢業生對于分數乘法的本質意義的理解是優于新生的；分數除法中，也是在畫圖與利用分數除法的本質意義來解釋運算的法則，畢業生的理解也是優于大學新生的；而編制適當的分數除法的文字題，畢業生在“數學上正確，情境也較合適”更勝于大學新生，他們能夠從數學上把握分數除法的正確性，還能將分數除法的意義放在合適的語境中使小學生學習和掌握．

此外，大學新生大多使用符號表征，較少使用言辭表征，畢業生則綜合使用了言辭表征或符號表征，能夠使用適當的語言解釋或說明符號、圖形、表達式的意義．橫向來看，美國師范生使用直觀表征要好于中國學生，這表現在美國學生更傾向于用畫圖的方式來解釋分數乘除法，盡管他們在解釋中出現了不同的錯誤．中國學生雖然計算正確，卻高度一致地使用符號表達式來進行分數乘除法的法則運算，其中也有很少的圍繞寫出的運算表達式進行語言解釋．研究發現，在使用言辭表征和符號表征的師范生中，使用固有的分數乘除法的運算法則去解釋這兩個情境問題的人數是比較多的，大學新生尤為突出．師范生對于分數乘除法運算法則的程序性知識非常熟悉，并非他們對運算法則理解較為深刻，而是先前的學習經驗和學習基礎只“記住”了法則之下的如何進行分數的乘除法運算，正如學生在訪談中所言：“我們對分數乘除法的運算法則根深蒂固”，但就是這樣“根深蒂固”的知識，是否可以采用不同的表征和策略加以解釋或理解，師范生們卻“望而卻步”．可見，師范生對于算法的理論依據——算理并非真正理解，大多停留在“算法”的方法操作層面上．

5.2 教學用數學知識的理論形態尚可但實踐形態欠佳

研究表明，師范生的教學用數學知識帶有明顯的傳統知識的色彩，無論是畢業生還是新生，大部分學生對分數乘除法的運算法則比較熟悉，即使在運算操作的過程中有時是有誤的，但作為未來小學數學教師來講，更豐富、更系統的關于分數乘除法的教學操作與實踐形態的知識則是比較欠缺的．這表現在畢業生在處理分數乘除法運算的方法和策略，比新生做得要好，他們更多地使用畫圖以及從乘除法的本質意義上去解釋運算的合理性，而美國畢業生在畫圖方面則表現更為突出，但總體來講，這部分畢業生所占比例卻很少，雖有意識但不具有普遍性．在分數除法文字題的編制中，畢業生把分數除法的意義放在合適的語境中做得也是比較好的．遺憾的是，畢業生雖然顯現了一定的教學用數學知識的意識以及應用，但這部分的比例尚小，畢業生雖然能從分數乘除法的本質意義上去進行運算，但面對具體的分數乘除法知識，作為小學數學教師面對教學時的具體實踐知識是比較欠缺的．這種情形表面上類似于“茶壺里煮餃子——有口倒不出”，但實際上師范生對于分數乘除法的本質意義的理解還是不到位的，即學生感受到了情境卻可能沒有體會到分數概念的必要性以及分數運算的意義，順利地進行了操作活動卻可能沒有涉及分數的本質[19]．這表現在畢業生面對分數乘除法的教學時，仍很大比例的將運算法則直接教給小學生，而考慮小學生的學習心理以及接受知識的表征方式卻很少．畢業生仍將教學用數學知識大面積的理解并應用于“運用法則、求出結果”即可，只是將所教知識“是什么”教給了小學生，而“為什么”、“怎么樣”卻很少涉及，甚至是在教學中“置之不理”．這種所謂的“理論”，面對教學實踐之用是“捉襟見肘”的．

6 啟示與思考

教師教育的職前培養是面向未來的教師，是為未來教師的知識和技能做準備的，其宗旨是培養未來教師的“教的知識和教的能力”，而教學用的知識則是教師從教知識與能力的綜合體現，它不但要求教師要解答和學生一樣的數學題，還要求教師分析學生的特殊解法，更要求教師對數學知識或關系做出合理解釋．針對具體的分數乘除法來說，職前教師要準備的不單單是算法，更要準備算理，算法和算理是相輔相成的，算理是算法的理論依據，算法是算理的提煉和概括[20]．目前美國的課程體系比較注重數學的基礎性和與數學的縱橫聯結[21]，而中國高師教育的課程方案中都包含具體學科的知識以及教育學心理學的知識，但關于學科知識與教學知識的融合卻比較少，或者說是成效不彰．雖然有小學數學課程與教學論、小學數學教學案例、小學數學教學研究等數學與教育學融合的課程開設，但師范生教學用的數學知識卻根基不牢、本質不清，如何在高師教育中彰顯教學用學科知識的效力，真正發揮教師教育職前培養的功能，是當前亟需解決的現實問題．

從重視基礎教育，到關注教師教育，再到重新審視教師職前教育．研究者認為，職前小學教師培養是一個戰略上關鍵的階段．在這個階段中，職前小學教師應該發展對小學數學基礎知識的深刻理解，應該發展對“教學用數學知識”的本質理解，應該發展基礎數學與高等數學之間的聯系知識．盡管中美職前小學教師對教學用的數學知識存在一定差異，但總的來看，職前小學教師對學科知識與學科教學知識的構建卻都存在著不同程度的缺失．小學數學作為數學學習的開始，為進一步學習數學或教學數學打下了“根”與“源”的基礎．作為職前小學教師的準備，應重視初等數學的基礎性與高等性之間的聯系，從而加深對數學基礎知識的深刻理解，不僅僅是對小學數學有很好的概念性理解，而且還包含對小學數學內在的概念結構和基本的數學態度的掌握．

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Comparison of Development of Pre-Service Elementary School Teachers’ Mathematical Know ledge for Teaching in China and The United States——W ith the M ultiplication and Division of Fractions as an Example

DUAN Su-fen1, Xianwei Yuan Van Harpen2
(1. Department of Mathematical Sciences, Zibo Normal College, Shandong Zibo 255130, China; 2. University of Wisconsin-M ilwaukee, M ilwaukee, W I, U.S.A)

The pre-service elementary school teachers are fam iliar w ith the algorithm for multiplication and division of fractions whether in China or America, but the use of know ledge in teaching and its development are different: (1) Know ledge Method dimension. For Chinese students, they are clear about the algorithm for multiplication and division of fractions and their computation results are correct. The American students’ comprehension of its concept has lim its and sometimes has deviation. (2) Dimension of understanding representation. The American students’ understanding of know ledge and representation are divergent and diversified. For Chinese students, their understanding of know ledge and representation are heterogeneous. Chinese students are skilled in the calculation of numbers and symbols. The American students are supposed to be good at representing the problem situation. (3) Dimension of teaching strategy. American and Chinese students’ mathematical know ledge for teaching is extending, but the extending level is modest. By contrast, The American students’ progress is evident. Both of them have preferable procedure know ledge of the operation of the multiplication and division of fraction, but their mathematical know ledge for teaching practice is deficient.

mathematical know ledge for teaching; the multiplication and division of fractions; pre-service elementary school teachers; the Comparison of development

G40-059.3

：A

：1004–9894（2015）01–0038–07

[責任編校：周學智]

2014–10–05

山東省教育科學“十二五”規劃課題——小學教師教育U-S合作課程資源開發研究（2013GG216）；淄博師范高等專科學校教學改革項目——基于學科教學知識視角的師范生教學能力培養的研究與實踐（12JG004）

段素芬（1974—），女，內蒙古烏蘭察布人，副教授，碩士，主要從事數學教育和教師教育研究．