反例作用的實驗研究
——以高一數學教學為例

曾春燕，姚 靜

（1．廣東石油化工學院 高州師范學院 數學系，廣東 茂名 525200；2．華南師范大學 數學科學學院，廣東 廣州 510631）

反例作用的實驗研究
——以高一數學教學為例

曾春燕1，姚 靜2

（1．廣東石油化工學院 高州師范學院 數學系，廣東 茂名 525200；2．華南師范大學 數學科學學院，廣東 廣州 510631）

對實驗班與對照班實施不同的教學策略，探討反例對中學數學教學的影響．結果表明：反例的恰當使用使得教學效果得到了改善．主要表現在以下幾個方面：（1）反例的使用加深了學生對數學概念的理解；（2）反例的使用更好地幫助學生理解和運用定理、法則、公式；（3）反例的使用有助于提高學生發現和糾正數學中的錯誤和漏洞的能力；（4）反例的使用有助于提高學生解題的能力與解題速度；（5）反例的使用有助于培養學生的創造思維能力．

數學反例；概念；構造；實驗研究

1 問題提出

新課改對反例提出了新的要求．例如《普通高中數學課程標準（實驗）》：“教學中應通過實例，引導學生運用合情推理去探索、猜測一些數學結論，并用演繹推理確認所得結論的正確性，或者用反例推翻錯誤的猜想．”“評價對數學的理解，可以關注學生能否獨立舉出一定數量的用于說明問題的正例和反例”；《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》：“能通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數學猜想，并進一步尋求證據、給出證明或舉出反例．”而且教育理論認為“概念或規則的正例傳遞了最有利于概括的信息，反例則傳遞了最有利于辨別的信息”和心理學的觀點認為“在教學中利用反例是一種比較．比較能確定其與被比較對象的共同點和不同點．有比較才有鑒別，才能容易把握住所研究對象的本質特征”．

為了探討反例對中學數學教學的影響，對實驗班與對照班實施不同的教學策略，希望引起教師對反例的重視，并為數學教學改革和教材編寫提供一些參考．

2 研究方法

2.1 被 試

廣東省某市某校高中一年級一班34人（男19人，女15人），作為實驗班；高中一年級二班31人（男17人，女14人），作為對照班．總計65人，其中沒有學生之前參加過培訓或自己學習了這本書的內容，對初中的涉及函數的內容的掌握情況相當，基礎相當．大部分的學生初中都是在同一個學校學習．而且這里的學生都沒有自己預習課本的習慣，沒有提前自學課本的習慣．

2.2 要 求

分別用一個學期的時間，使用自己編寫的教案基本上完成教育部《普通高中數學課程標準（實驗）》規定的高中數學必修1的教學任務，學生對該學期的教學內容的掌握程度與運用能力達到或超過同年級．具體要求是：（1）對書本的概念的理解加深，能夠辨別概念；（2）能夠正確地理解和運用定理、法則、公式；（3）能夠懂得使用反例來發現數學問題中的錯誤和漏洞；（4）運用反例解選擇題和判斷題．

2.3 數據處理

對于實驗數據，采用SPSS軟件進行統計．

2.4 方 法

2.4.1 在試驗前的測試

開學前，對實驗班和對照班的學生都進行了一個前測．入學考試試卷就作為前測試卷．該試卷主要的特點是全面考察高一的學生入學以前的數學基礎水平．

2.4.2 在教學中實施的策略

（1）平時教學過程中適當使用反例加深概念定理理解．①“集合的含義及其表示方法”的教學片段．

研究者在講授了集合的含義與集合中元素的特點，并給學生舉了一些正面的例子后，給出了如下的例題：

例1 判斷下面的元素是否能構成集合

① 大于6而小于10的整數；② 我國的大河流；③ 身材比較苗條的人；④ 1，2，3，3，4，5；⑤ 4～10以內的整數；⑥ 好心的人；⑦ 很大的實數．

答案：①能；②不能，因為我們不能確定怎樣才叫“大”，即這些元素不滿足“確定性”，所以這些元素不能構成集合；③不能，因為我們不能確定怎樣才叫“比較苗條”，比如說你們可能認為A就是叫身材比較苗條，B不能說是比較苗條，但是我卻認為B也叫比較苗條，因此“身材比較苗條”沒有一個明確的標準，所以這些元素不能構成集合．④不能，因為這些元素不滿足互異性，所以這些元素不能構成集合；⑤能；⑥不能，理由同③；⑦不能，理由同③．

師：既然大家都知道了集合的元素要滿足三性．我們可以看到只要不滿足其中某一性質，這些元素就不能構成集合．這樣你們能不能舉一些元素不能構成集合呀？

生：身材比較高大的人．

……

② “函數的概念”的教學片段．

研究者的學生片面地認為：“一個變量隨著另一變量的變化而變化，它們之間的關系就是函數關系．”為糾正這個錯誤，在教學中研究者提出如下反例：人的體重隨著年齡的變化而變化．通過討論，學生發現：雖然人的體重與人的身高有關，但是，人的體重不是由年齡唯一確定的，所以人的體重和年齡變化的相依關系不是函數關系．

在學習“函數的表示法”后，為了加深學生對函數概念中“如果對于x的每一個值，都有唯一的值與它相對應”的理解，教學中利用下列選擇題幫助理解．

例2 下列圖像，可以表示函數的是（）

師：分析函數的定義，我們必須注意這些字眼“任意的一個數x”和“唯一確定”．即如果有某個x有兩個或以上的y與之對應，這就不是函數．例如，我們的B的x在圖像上有兩個y與之對應，故不是函數的圖像．

③ “函數奇偶性”的教學片段．

在學習了偶函數的定義并給學生舉了一些正面的例子后，研究者一再強調偶函數的定義中不能忽略了“定義域內”和“任意”，否則就不是偶函數．接著給出了如下的例題．

例3 判斷下列函數是不是偶函數．

分析：①是，根據定義；②不是，定義域雖關于原點對稱，但f(x)≠f(- x)；③不是，定義域不關于原點對稱．

最后，研究者與學生一起總結出偶函數必須同時滿足“定義域一定關于原點對稱”和“在定義域中任取一點x，有f(x)=f(- x)”．

④ “指數函數”的教學片段．

在講授了指數函數的定義后，研究者安排了如下例題．

例4 判斷下列函數是不是指數函數，為什么？

所以研究者與學生一起總結得出：“一個函數是否是指數函數要滿足：① a>0，且a≠1，a 為常數；② ax的系數為1或者可以化為1；③ 該函數一定能化成形如y=ax的形式；④ 定義域一定為R．”

研究者還補充了“指數函數的定義中的a>0，且a≠1不能少，少了就不正確”．并且對此舉了這樣的反例：

若a=0，當x＞0時，ax等于0；當x≤0時，ax無意義．

若a=1，y =1x=1，是一個常量，沒有研究的意義．……

（2）使用“反例教學法”來幫助獲得學生獲得整體性、全面性的知識的方法．

在學習的整個過程中，研究者在適當的時候實施了“反例教學法”．其實施過程如下：

① 選編反例．

研究者本著如下幾點原則來選擇和編排實施“反例教學法”的反例：第一，反例必須從教學實踐中來，真實、生動，符合客觀實際．第二，反例必須精煉．第三，反例必須典型．第四，反例必須有針對性．第五，反例必須具有系統性．

② 呈現反例．

在講完一個單元或一個章節基礎知識之后呈現這些反例．呈現的方式是以給每個學生印發一份文字反例，并利用多媒體技術呈現反例．

③ 分析反例．

對于同一個反例，每個學生可以發表出不同的看法．教師要引導學生發現揭示反例的本質錯誤．分析反例的關鍵是學生和教師共同努力，把反例中的內容與相應的一個或幾個知識點聯系起來．

④ 評價反例．

這是對反例分析的總結．一般由教師來完成，教師可以指出學生分析反例的成績和不足，進行補充與提高性講授．

（3）在平時教學過程中遇到反例類型的題目時使用反例來幫助解題．

例如，在研究者給學生評講練習冊時，《高中同步精練與測試》中P49有這么一道選擇題：“若函數f(x)滿足f(a)?f( b)＜0，則函數f(x)在區間[a,b]上（ ）．A. 一定沒有零點；B. 至少有一個零點；C. 只有一個零點；D. 零點的情況不能確定．”研究者對照了書本的定義，發現少了這么一句話“函數f(x)在在區間[a,b]上的圖像是連續不斷的一條曲線”．顯然這個選擇題有3個選項是根據學生的泛化律設定的．通過舉反例（反例略）可以引導學生排除其它錯誤的選項．

（4）在作業評講課上使用反例來糾正學生的錯誤．

對于學生作業和練習冊上出現的錯誤，研究者找出比較典型的錯法，安排專門的作業講評課使用反例來糾正學生的錯誤．

以上策略，只在實驗班實施，對照班不實施．

2.4.3 在試驗后的測試

在講完所有新課后使用自行設計的測試卷對實驗班和對照班進行后測．后測卷的維度見表1．

表1 后測卷的維度

3 結果及分析

3.1 前測試卷的結果與分析

對在實驗前的測試試卷的數據分析表明，雖然實驗前實驗班的成績（M=35.68，SD=11.98）略低于對照班（M=37.00，SD=12.47），但是經過獨立樣本t檢驗的結果表明，實驗前實驗班和對照班的成績水平之間的差異并不顯著，t(63)=-0.436，p=0.665．這更進一步表明實驗前實驗班和對照班的數學基礎水平差不多，從而進一步確認后面教學效果的改善是由于實驗的啟動所造成的．

前測試卷實驗班和對照班的總成績見表2．

表2 前測試卷實驗班和對照班的總成績

3.2 后測試卷的結果與分析

實驗期滿后，根據實驗的要求，對實驗班和對照班進行了全面的測查，結果如下：

（1）反例對概念理解的影響．

后測卷的第1，2，3題主要是測試反例對數學概念理解的影響．第1題通過讓學生辨認集合的正反例子，從而幫助學生認識到“集合要滿足確定性”：A答案中的“性格開朗”、B答案中的“與1接近”和D答案中的“高個子”都是模棱兩可的，是沒法確定下來的，因此它們中的例子都不是集合；第2題辨認函數相等的正反例子，從而加深學生對函數相等的理解，即函數相等要求定義域和法則都相同；第3題要求學生掌握指數函數的定義．

在教學集合、函數相等和指數函數時，在實驗班里，教師不僅運用正面的例子來深刻闡明其本質屬性，而且靈活借助反例加深了學生對概念中的關鍵詞和本質特征的認識，強化對概念的理解；而在對照班里教師沒有借助反例幫助學生理解．

因此對于實驗班在維度1的得分率為74.71%，對照班在維度1的得分率為59.78%，而他們的得分率相差了14.93%，可以認為是由實驗引起的．

后測實驗班和對照班對概念理解的成績見表3．

表3 后測實驗班和對照班對概念理解的成績

而且對后測實驗班和對照班對概念理解的成績進行獨立樣本t檢驗的結果表明，實驗班的成績水平高于對照班，其差異達到了顯著差異水平，t(63)=3.022，p=0.004．這說明，反例的使用對數學概念理解的影響是顯著差異的．

由此可推斷：反例有助于加深學生對數學概念的理解．

（2）反例對規則理解和運用的影響．

后測卷的第4、5題就是考察反例對定理、法則、公式的理解和運用的影響．

由于學生在學習過程中，受知識的負遷移及思維定勢的消極影響，常常不注意定理、法則、公式的適用的范圍，或只是死記結論，或濫用命題的等效性，或忽略它們的前提條件，往往鬧出很多錯誤．所以在簡易邏輯和對數的運算的教學中針對某些定理給出一些相關命題，構造出一些反例，判斷其不真；而在對照班里教師沒有借助反例幫助學生理解．

因此對于實驗班在維度2的得分率為71.47%，對照班在維度2的得分率為57.42%，而他們的得分率相差了14.05%，可以認為是由實驗引起的．

后測實驗班和對照班對規則理解運用的成績見表4．

表4 后測實驗班和對照班對規則理解運用的成績

而且對后測實驗班和對照班對定理、法則和公式的理解運用的成績進行獨立樣本t檢驗的結果表明，實驗班的成績水平高于對照班，其差異達到了顯著差異水平，t(63)=3.069，p=0.003．這說明，反例的使用對定理、法則和公式的理解運用的影響是顯著差異的．

由此，可以推斷：反例的使用更好地幫助學生理解和運用定理、法則、公式．

（3）反例對發現錯誤能力的影響．

后測卷的第6、9題就是考察反例對學生發現和糾正數學中的錯誤和漏洞的能力的影響．

第6題表面看來是一道求值題，實際上它是一道錯題，當我們可以取a=b=c=0，否定了問題的嚴密；第9題是一道糾錯題，要求學生發現某種算法的錯誤．

學生在解題過程中囿于對知識掌握的不深刻、對問題思考的不全面、以及一些緊張情緒等等，這一切導致了學生解題的錯誤．對于這種錯誤，在實驗班里教師利用反例來辨析錯誤中．

現階段關于數學的習題集很多，難免良莠不齊，而且就算在一些權威性的書中也時時出現錯題．這給解題者帶來很大的障礙，在實驗班里教師注重通過考察題目中題設的完全性、結論的可能性、概念的準確性、以及題設結論之間的和諧性來構造出反例，讓學生不再迷信書本，加強批判性思維，達到自我的肯定．而在對照班里教師只是從正面糾正錯誤．

因此對于實驗班在維度3的得分率為84.41%，對照班在維度3的得分率為65.81%，而他們的得分率相差了18.60%，可以認為是由實驗引起的．

后測實驗班和對照班發現錯誤能力的成績見表5．

表5 后測實驗班和對照班發現錯誤能力的成績

對后測實驗班和對照班對發現錯誤能力的成績進行獨立樣本t檢驗的結果表明，實驗班的成績水平高于對照班，其差異達到了顯著差異水平，t(63)=2.720，p=0.008．這說明，反例的使用對學生發現錯誤的能力的影響是顯著差異的．

由此，可以推斷：反例的使用有助于提高學生發現和糾正數學中的錯誤和漏洞的能力．

（4）反例對解題速度的影響．

后測卷的第7、8題就是考察學生使用反例來幫助解題的能力．

第7題由于考察的知識點學生沒有學過，但是要是用反例來解就很容易了．第8題舉出一個反例即得命題不成立．

在實驗班中，教師介紹解選擇題時利用反例可排除選項中不合題意的項和解判斷題可以通過舉一個反例來否定一個命題的方法．在對照班中不講這兩種方法．

因此對于實驗班在維度4的得分率為73.24%，對照班在維度4的得分率為60.32%，而他們的得分率相差了12.92%，可以認為是由實驗引起的．

后測實驗班和對照班解題速度的成績見表6．

表6 后測實驗班和對照班解題速度

而且對后測實驗班和對照班對解題速度的成績進行獨立樣本t檢驗的結果表明，實驗班的成績水平高于對照班，其差異達到了顯著差異水平，t(63)=2.696，p=0.010．這說明，反例的使用對學生解題的能力與解題速度的影響是顯著差異的．

由此，可以推斷：反例的使用有助于提高學生解題的能力與解題速度．

（5）反例對創造思維能力的影響．

后測卷的第9題通過讓學生構造出反例來推翻某種解法來考察學生的創造思維能力．

文[7]中提到：在尋找、構造反例的過程中，學生的創造性得到了最大限度地發揮；長期訓練學生構造反例，就是在訓練學生的思維創造能力．因此在實驗班中教師重視學生構造反例能力的培養，而對照班卻不重視這個．

因此對于實驗班在維度5的得分率為50.88%，對照班在維度5的得分率為39.68%，而他們的得分率相差了11.20%，可以認為是由實驗引起的．

后測實驗班和對照班創造思維能力的成績見表7．

表7 后測實驗班和對照班創造思維能力的成績

而且對后測實驗班和對照班創造思維能力的成績進行獨立樣本t檢驗的結果表明，實驗班的成績水平高于對照班，其差異達到了顯著差異水平，t(63)=2.214，p=0.032．這說明，反例的使用對培養學生創造思維能力的影響是顯著差異的．由此，可以推斷：反例的使用有助于培養學生的創造思維能力．

然而學生的創造思維能力是受到多方面因素的影響，反例的構造只是在一定程度影響了學生的創造思維能力．而且學生的創造思維能力不是一兩天就能促成的，而是長時間的積累促成的．因此實驗對學生的創造思維能力的檢驗具有一定的局限性．

（6）總分．

實驗班總分的得分率為78.41%，對照班總分的得分率為62.58%，而他們的得分率相差了15.83%．后測實驗班和對照班的總成績見表8．

表8 后測實驗班和對照班的總成績

而且對后測實驗班和對照班總成績進行獨立樣本t檢驗的結果表明，實驗班的成績水平高于對照班，其差異達到了顯著差異水平，t(63)=3.150，p=0.002．這說明，反例的使用使得教學效果得到了改善．

后測試卷驗證了我們的設想，即反例的使用使得教學效果得到了改善．

4 結論與建議

4.1 反例在中學數學中的作用

由對后測卷的結果分析可以總結得到，反例在中學數學中的作用主要有以下5點：

（1）加深對數學概念的理解；

（2）幫助學生理解和運用定理、法則、公式；

（3）發現和糾正數學中的錯誤和漏洞；

（4）培養了學生的創造思維能力；

（5）提高了學生解題的能力與解題速度．

4.2 關于反例的使用問題

（1）注意主次．教學中主要講授概念、定理和方法，對于基本的命題和結論應予以嚴格的證明和推導．但舉反例重在說明結構、辨清是非，故學生對反例的掌握要求不能太高，它應是圍繞主要內容進行的有效的輔助手段．

（2）注意適當．反例應是經過挑選的，既要簡單又能說明問題．讓學生構造的反例難度應該適當，以免浪費很多時間和精力，且使學生有挫敗感．不同的教學內容、授課類型,應運用不同的反例，有不同的要求．

（3）教師選擇反例必須符合學生實際水平，不宜過難，要深入淺出．若例子難度太大，會使學生忽視概念的關鍵，強調了事物的無關因素，效果不好．例如，判斷命題“若3條直線a、b、c兩兩都是異面直線，則與a、b、c都相交的直線不一定存在”該判斷顯然不正確．這里是以學生們熟知的平行六面體為例來說明已知命題為假命題的．

（4）教師無須經常開展數學反例教學專題課，只要在在平時教學過程中適當的穿插使用反例，或者在平時教學過程中遇到這類型的題目時和在作業評講課上使用，并能偶爾開展幾次專題課即可．

（6）不要過分強調通過反例來幫助學生學習，一方面是因為學生更多的是通過正面接受知識的，再就是反例的構造確實有一定的難度．

4.3 對于恰當發揮反例的作用的建議

（1）教師方面．

① 教師應主動去了解反例，認識反例的重要性，掌握反例的構造方法．學校應多組織這種類型的學習，多鼓勵教師去參加相關內容的學習，并聚集教師一起交流．

② 教師最好多讀書，多思考，從多渠道積累反例．同時，也要注意總結反例的使用經驗．在教學中逐步向學生滲透反例的思維，從而使學生在不斷反駁與肯定中達到自我思維的肯定、知識體系的完善．同時，在教學中逐步教給學生尋找、構造反例的方法．使得學生的創造性得到最大限度地發揮．

③ 因為高質量的數學反例參考書很少，所以需要教師根據自己的經驗去構造相類似的反例．即教師本身就要掌握構造反例的方法．

④ 要熟知學生的數學能力，以班級的數學能力水平選擇好的、合適的數學反例．

⑤ 注意培養學生反例的思維和指導學生逐步體驗構造反例的方法．

（2）學生方面．

① 多相信自己的能力，多肯定自己的想法，多懷疑，多從正反兩面思考，多問為什么，多與老師討論．

② 主動訓練構造反例，訓練思維創造能力．

③ 學會利用反例來解題的方法．特別是解答選擇題時可以考慮從“特例”、“反例”上下功夫．

④ 構造反例是比較困難的．所以學生不能有畏難的情緒，因為能力是逐步培養起來的．

[1] 馬克杰．高中數學中的反例[M]．濟南：山東教育出版社，1988．

[2] 普通高中課程標準實驗教科書·數學必修1 [M]．北京：人民教育出版社，2006．

[3] 中華人民共和國教育部．全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）[M]．北京：北京師范大學出版社，2001．

[4] 中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標準（實驗）[M]．北京：北京師范大學出版社，2004．

[5] 曾春燕，姚靜．反例在中學數學教學中使用情況的調查研究[J]．數學教育學報，2012，21（3）：51．

[6] 藺小林，劉侃，李仲博．反例教學法在職業技術學院學生數學課堂中的應用[J]．西北成人教育學報，2013，（2）：13-14．

[7] 楊逸峰．初等數學中反例的作用和構造[J]．數學通報，2004，（11）：36-37．

[8] 張鑫浩，盧蕊，華芳．反例在數學教學中的作用[J]．鎮江高專學報，2005，（1）：93-95．

[9] 劉卓雄．加強文化素質教育[J]．寧德師專學報（自然科學版），2000，（3）：161-163．

[10] 謝愛云，王鵬飛．反例方法的功能與施教時機[J]．商洛師專學報，1997，（2）：16-17．

[11] 高中數學“反例教學法”的模式研究[DB/OL]．http://yangxj.cixiedu.net/info_Show.as p?ArticleID=405, http://www. sxpyzx.com/ReadNews.asp?NewsID=1106

Experimental Study on Effect of Counterexamples to Mathematics Teaching in Grade one of Senior High School

ZENG Chun-yan1, YAO Jing2
(1. Department of Mathematics and Computer, Gaozhou Normal College, Guangdong University of Petrochem ical Technology, Guangdong Maoming 525200, China; 2. Department of Mathematics, South China Normal University, Guangdong Guangzhou 510631, China)

Through the implementation of different teaching strategies in the experimental class and the control class, discusses the impact of counterexamples to the m iddle school mathematical teaching. The results show that: the appropriate use of examples make the teaching effect is improved. Mainly in the follow ing aspects: (1) a counterexample using enhance the students understanding of mathematical concepts; (2) better use of counterexamples help students understand and use theorem, formula, rule; (3) better use of counterexamples improve students finding and correcting errors and loopholes in mathematics; (4) better use of counterexamples help students improve the ability of solving problems and solving speed; (5) better use of counterexamples improve students finding and correcting errors and loopholes in mathematics; (4) better use of counterexamples contribute to the cultivation of students' creative thinking ability.

mathematical counter examples; concept usage; construction; experimental study

G420

：A

：1004–9894（2015）01–0077–05

[責任編校：周學智]

2014–09–05

廣東教育研究院院2014年度教育研究課題——專家—新手教師教學準備的比較研究（GDJY-2014-A-b216）；廣東石油化工學院高州師范學院2013年度教育科學“十二五”規劃課題——專家—新手教師備課的比較研究（2013GSKT08）

曾春燕（1984—），女，廣東信宜人，講師，主要從事數學教學研究．