單位，讓分數“數”出來

錢建兵

摘要：數，源于數，是對數量的抽象。無論是整數、小數，還是分數，都有著相同的結構——從數的組成來講，都是計數單位累加的結果。計數單位是計數的基本部件，計數法是將基本部件進行組合的規則。從結構化教學的角度思考，分數的教學中還需要建立起分數和整數之間的聯系，從數的角度去認識分數。《分數的意義》一課，從定標準——單位“1”，到定單位——分數單位，再到計個數——數單位，有效建立整數與分數之間的聯系，凸顯分數作為一種數的本質屬性。

關鍵詞：分數;數的意義;單位; 《分數的意義》

本文系江蘇省教育科學“十三五”規劃立項課題“促進理解的小學數學結構化學習的實踐研究”（編號：D/2020/02/138）的階段性研究成果。一、教學思考：《分數的意義》教學中數的維度容易缺失

蘇教版小學數學教材中，分數是在整數、小數之后需要系統認識的數，雖然小數的意義是借助分數建立的，深入認識分數卻安排在小學認數的最后一個階段。整個認識分數的過程也經歷了較長的時間：從平均分一個物體、幾個物體組成的整體起，初步建立對分數的認識，在此基礎上抽象單位“1”及分數的意義，系統地學習分數。這樣的編排，比較注重基于“分”與“取”的動作表征引入分數，再運用面積、集合、數軸等直觀模型幫助學生認識分數，從關系維度（即比的維度）理解分數的意義。

而在小學階段，分數的意義有比和數兩個基本維度。實踐發現，學生在理解分數意義時，由比的維度向數的維度的跨越并非一帆風順。

比如，學習《假分數的認識》一課時，不少學生難以理解：超過整體，如何還能去“取”？以至于學生在用涂色的方式表示出一個假分數時，是猶豫的。雖然教學中，教師在表述分數意義時，會將學生習慣表述的“取其中的一份或幾份”，糾正成“表示其中的一份或幾份”，但學生不明就里：老師為什么要把“取”改成“表示”？

再如，學習分數與除法的關系時，學生很不習慣用分數表示結果。對于“10米的繩子等分成8份，每份長多少米？”這樣的問題，學生更習慣寫成125米，而不是用分數表示結果。如果改成平均分成3份，相當多的學生會取近似值卻不用分數——要讓學生確定分數是一個數的地位，似乎相當困難。

數，源于數，是對數量的抽象。無論是整數、小數，還是分數，都有著相同的結構——從數的組成來講，都是計數單位累加的結果。計數單位是計數的基本部件，計數法是將基本部件進行組合的規則。這是學生在整數、小數學習過程中形成的對“數的認識”的結構性認知。從結構化教學的角度思考，分數的教學中還需要建立起分數和整數之間的聯系，從數的角度去認識分數。

二、教學實踐：立足單位，凸顯分數作為一種數的本質屬性

基于以上思考，《分數的意義》的教學不僅僅需要從學生已有的知識經驗出發，在學生已經認識了一個物體、一個整體的幾分之幾的基礎上，抽象概括出單位“1”，帶領他們經歷抽象的過程，概括出分數的意義，理解一個分數表示的實際意義;也需要將《分數的意義》的教學置于數的認識的整體結構中，突出數的共同屬性，幫助學生認識分數單位，并理解分數單位的價值，建立與整數中計數單位的聯系。具體教學過程如下：

（一）引出整數的基本單位——“1”

師（出示一根彩帶）我們怎樣可以知道這根彩帶的長度？

生用尺子量。

師要測量長度，需要1個長度單位。有了1個計量長度的單位，如1米，我們就可以量這根彩帶的長度了。有了1米這個長度單位，我們還可以量出許許多多個整米數。（板書：計量單位）有了1千克，我們就可以——

生稱出物體有多重。

師有了自然數1，我們就可以數出——

生千千萬萬的數。

師“1”看起來很小，其實作用大著呢。數的王國里，很多數都跟這個小小的“1”有關系呢。

鄭毓信教授指出，面對“數”的擴展，我們決不應將所涉及的各種數，包括原來的自然數以及后來學習的小數及分數等，看成互不相干的，而應將它們納入到同一個數系之中，后者正是將所有這些都看成“一個真正的‘數’”的主要含義。鄭毓信.小學數學教育的理論與實踐：小學數學教學180例[M].上海：華東師范大學出版社，2017：87。計數同測量一樣，都是對客觀世界進行定量刻畫的工具與方法，需要確定統一的標準。測量的標準是計量單位，計數的標準是計數單位。通過測量長度，引出整數的基本單位“1”，構建整數是單位（自然數1）的累加的模型。將計數的教學放在“數系擴展”的高觀點之下，有利于促進學生的深度理解。

（二）抽象單位“1”

1.引出分數，喚醒舊知

師（出示下頁圖1）這個長度能直接用1米這個單位量出來嗎？為什么？

生不能，因為它比1米短。

師那怎么用1米這個長度單位去量出它的長度？

生把1米平均分成幾份，再用1小份去量。

師（板書：平均分）估一估，可以用哪個分數表示它的長度？

生2/3米。

生3/4米。

生5/6米。

師（課件演示測量結果，如圖2）把1米平均分成4份，表示這樣的3份，就是——

生3/4米。

2.體會分數的價值

師剛才在測量的時候需要用到分數，你還知道在生活中什么時候需要用到分數嗎？

（學生回答。）

師人們在分東西或進行測量時，往往會出現結果得不到整數的情況。于是，漸漸就產生了分數。

3.自主表示分數，抽象單位“1”

師剛才我們把1個計量單位平均分成了4份，表示出了3/4。你還想表示哪個分數？請同學們寫出一個自己喜歡的分數，然后用兩種不同的畫圖方法表示出你喜歡的分數，并說說這個分數的含義。

（學生完成學習任務后交流。教師根據學生的回答板書：一個物體、多個物體。）

師這里，一個物體（一個計量單位）、多個物體組成的整體，都可以用一個自然數1來表示，通常叫作單位“1”。

從度量引出分數，引導學生回顧已學知識，對分數的價值形成更全面的認識：分數產生的實際意義不僅僅是在分東西時，也可以是出于度量的需要。此外，從度量入手，更利于學生體會分數是分數單位的累加結果。單位“1”的抽象是教學的難點。這里實際上是兩次抽象：先讓學生用不同的方法表示同一個分數，通過比較不同點，將平均分的對象分成“一個物體”和“多個物體”兩類;在此基礎上，完成第二次概括，抽象出單位“1”。

（三）概括分數的意義

師說一說你寫的分數把誰看作了單位“1”？

（學生回答。）

師用單位“1”說一說你所表示的分數的意義。

（學生回答。）

師（出示圖3）把這些桃（8個桃）看成1，這些桃（涂色的6個桃）不足1，可以用34表示。那么2、3又如何表示呢？

（教師根據學生回答出示圖4。）

師（出示數軸）可以把0到1之間的長度看作單位“1”嗎？

生可以。

師要在數軸上確定分數58的位置，先要找到哪個分數？為什么？要確定35的位置呢？

（學生回答。）

師要找到一個分數，先要找到表示1份的分數，表示1份的分數就是分數單位。（出示練習：1.五年級1班學生中，會打乒乓球的占59;2.地球表面有71100被海洋覆蓋;3.一節課的時間是23小時）說一說這些題目中分數的分數單位是多少，各由幾個分數單位組成。

（學生回答。）

師看，有了分數，我們數家庭里就又增加了很多新的成員。（出示圖5）估一估，數軸上的點可以用哪個分數表示？

（學生回答。）

師（出示圖6）數軸上的同一個點，為什么可以用不同的分數表示？還可以用哪些分數表示？

（學生回答。）

師有了分數單位16，還可以數出哪些分數？

生76。

師（出示圖7）可以一直數下去嗎？

生可以。

師這些分數都是由一個個16加起來的，由這個單位可以生出多少個分數？

生無數個。

師“道生一，一生二，二生三，三生萬物?！比f萬千千的分數就是這樣產生的。

通過數形結合，進一步強化學生對單位“1”的理解，發現單位“1”是連接整數和分數的紐帶。通過估一估，進一步強調分數單位，即平均分的份數對分數意義的重要作用。通過數一數，幫助學生體會單位累加，并延伸至假分數，深刻理解分數單位是構成分數的基本部件。

本課的教學試圖打通學生認數的通道的“最后一公里”，建立完整、連續的知識結構。首先，將認數的教學置于計量的高觀點下，從定標準——單位“1”，到定單位——分數單位，再到計個數——數單位，有效建立了整數與分數之間的聯系，凸顯了分數作為一種數的本質屬性。