弱s*-擬正規(guī)嵌入子群對有限群結構的影響*

李春浦，錢方生

(哈爾濱師范大學)

0 引言

利用弱化正規(guī)性條件來研究有限群，得到有限群的結論，一直是群論研究者感興趣的課題之一．該文在前人的基礎上，利用弱s*-擬正規(guī)嵌入性，研究了有限群的構造，獲得了有限群為p-冪零群和p-超可解群的一些充分條件．文中G總表示有限群，符號和術語都是規(guī)范的．

1 預備知識

定義1［4］稱H在G中弱s*-擬正規(guī)嵌入，如果存在群G的正規(guī)子群T，使得HT?—G且H∩T≤Hse，Hse是包含在H中的G的一個s-擬正規(guī)嵌入子群．

引理1［4］設G是群，則下列結論成立:

(1)設H≤L≤G，若H在G中弱s*-擬正規(guī)嵌入，則H在L中弱s*-擬正規(guī)嵌入．

(2)設N?G，且N≤H≤G，H在G中弱s*-擬正規(guī)嵌入當且僅當H/N在G/N中弱s*-擬正規(guī)嵌入;

(3)設H為G的π-子群，N為G的正規(guī)π'-子群，若H在G中弱s*-擬正規(guī)嵌入，則HN/N在G/N中弱s*-擬正規(guī)嵌入．

引理2［5］設群G非p-冪零但它的所有真子群均p-冪零，則群G本身非冪零但它的所有真子群均冪零．

引理3［5］設群G本身非冪零但它的所有真子群均冪零，則:

(1)對|G|的某個素因子p，G有一個正規(guī)的Sylow p-子群P，且G/P≌Q，其中Q為G的非正規(guī)循環(huán)Sylow q-子群，且p≠q;

(2)P/Φ(P)是G/Φ(P)的極小正規(guī)子群;

(3)如果P非交換且p≠2，則expP=p;

(4)如果P非交換且p=2，則expP=4;

(5)如果P交換，則expP=p．

引理4［6］設p為整除|G|的最小素因子，P為G的Sylow p-子群且P循環(huán)，則G有正規(guī)p-補．

引理5［1-2］設G是群，則有:

(1)s-擬正規(guī)子群是次正規(guī)子群．

(2)設P是G的p-子群，且P∈π(G)，則P在G中s-擬正規(guī)當且僅當NG(P)≥Op(G)．

(3)設H在G中s-擬正規(guī)，P∈Sylp(H)，p為素數(shù)．如果P≤Op(G)或HG=1，則P在G中s-擬正規(guī)．

(4)設HsG是包含在H中的G的所有s-擬正規(guī)子群生成的子群，則HsG是唯一包含在H中最大的G的s-擬正規(guī)子群，特別地，NG(H)≤NG(HsG)．

引理6［7］設G是群，則:

(1)設P是G的p-子群，P∈π(G)．則P在G中s-擬正規(guī)當且僅當NG(P)≥Op(G)．

(2)設H在G中s-擬正規(guī)，且P為H的Sylow p-子群，p為素數(shù)．如果P≤Op(G)或HG=1，則P在G中s-擬正規(guī)．

引理7［8］設P是群G的一個初等交換p-子群且|P|=pn，n≥2．則下列論述等價:

(1)P中的p階極小子群在G中正規(guī)．

(2)P中的極大子群在G中正規(guī)．

引理8［9］設G是一個群，P為G的Sylow p-子群且(|G|，p-1)=1，則G為p-冪零當且僅當P的任一極大子群在G中c*-正規(guī)．

引理9［10］設N(N≠1)是G的可解正規(guī)子群，如果N∩ Φ(G)=1，，則 N的 Fitting子群F(N)是包含在N中的G的極小正規(guī)子群的直積．

引理10［10］設G是p-可解群，p是整除|G|的素因子，則CG(Fp(G))≤Fp(G)．

引理11［13］設G=AB．A和B都是G的子群，令Ap和Bp分別是A和B的Sylow p-子群，則ApBp是G的Sylow p-子群當且僅當ApBp=BpAp．

2 主要結論

定理1 設G是群，P為G的Sylow p-子群且P交換并滿足(|G|，p-1)=1．若P的任意極小子群在G中弱s*-擬正規(guī)嵌入，則G為p-冪零群．

證明 假設結論不真．設G為極小階反例．

(1)G為內(nèi)p-冪零群．

設K為G的任一真子群，易得到P∩K∈Sylp(K)且P∩K交換，對于P∩K的任意極小子群A≤P，A在G中弱s*-擬正規(guī)嵌入，由引理1(1)知A在K中弱s*-擬正規(guī)嵌入，所以，K滿足定理假設，由G的極小性選擇知K為p-冪零，于是，非p-冪零群G的任意一個真子群p-冪零，即G為內(nèi)p-冪零群，由引理2知G為內(nèi)冪零群，由引理3知G=PQ，其中P為G的正規(guī)Sylow p-子群，Q為G的非正規(guī)循環(huán)Sylow q-子群，且p≠q，P/Φ(P)是G/Φ(P)的極小正規(guī)子群．

(2)P為初等交換p-群．

事實上，|P|≥p2．否則，則有|P|=p，則由引理4，G為p-冪零，矛盾．從而，|P|≥p2，因P為內(nèi)冪零群G的Sylow p-子群且交換，由引理3(4)知expP=p，可得P為初等交換p-群．

(3)導出矛盾．

設A為P的任意一個極小子群，由假設知A在G中弱s*-擬正規(guī)嵌入，即存在群G的正規(guī)子群T使得AT?—G，且A∩T≤Ase，Ase是包含在A中的G的一個s-擬正規(guī)嵌入子群．分兩種情況進行討論:

Ⅰ．若A∩T=1，則T ＜ G，由(1)知T為p- 冪零，即T=Tp× Tp'，其中Tp∈ Sylp(T)，Tp'為 T 的 p'-Hall子群．由 Tp'char T ?—G，得Tp'?—G，即Tp'為G的正規(guī)p'-補，從而得G為p-冪零，矛盾．

Ⅱ．若A∩T≠1，A∩T=A，A為G的s-擬正規(guī)嵌入子群，且由(1)知P?G，故A≤P=Op(G)，由引理6，知A為G的s-擬正規(guī)子群．再由引理6知Op(G)≤NG(A)，又因P是交換的，則A?P，從而A?Op(G)P=G，于是G的Sylow p-子群P的任意一個極小子群A?G，由(2)以及引理7知P的任意一個極大子群P1在G中正規(guī)，當然P1在G中弱s*-擬正規(guī)嵌入，由引理8，可得G為p-冪零，矛盾．所以，極小階反例不存在，G為p-冪零．

定理2 設G是p-可解群，p是整除|G|的素因子，如果Fp(G)的每一個包含Op'(G)的極大子群在G中弱s*-擬正規(guī)嵌入，則G為p-超可解群．

證明 假設結論不真．設G為極小階反例．

(1)Op'(G)=1．

若N=Op'(G)≠1．先考慮商群G/N，明顯Fp(G/N)=Fp(G)/N，設M/N是Fp(G/N)的極大子群，則M是Fp(G)中包含N的極大子群．由于M在G中弱s*-擬正規(guī)嵌入，所以利用引理1，M/N在G/N中弱s*-擬正規(guī)嵌入，由此得M/N滿足定理條件，由G的極小性可知G/N是p-超可解的，從而G也是p-超可解的，由G的選擇，矛盾．

(2)Φ(G)=1，且Fp(G)=F(G)=Op(G)

若T=Φ(G)≠1，因為Op'(G)=1，可知Fp(G)=F(G)=Op(G)，即得 Fp(G/T)=Op(G/T)=Op(G)/T=Fp(G)/T，若 P1/T是Fp(G/T)的極大子群，則P1是F(G)的極大子群．因P1在G中是弱s*-擬正規(guī)嵌入的，由引理9可得P1/T在G/T中是弱s*-擬正規(guī)嵌入的，所以G/T滿足定理條件．由G的極小階選擇可得G/T是p-超可解的，且因為所有p-超可解群構成的群類是飽和群系，故G也是p-超可解的，由極小階反例，矛盾．

(3)Fp(G)=F(G)=N1×N2×…×Nt，其中Ni(i=1，2，…，t)是群G的包含在F(G)中的極小正規(guī)子群，并且|Ni|=p．

由引理10和(2)可得，F(xiàn)(G)是群G的包含在F(G)中的極小正規(guī)子群的直積，由于G是p-可解的且Op'(G)=1，可知F(G)是非平凡的初等交換p-群，所以由引理11有CG(F(G))=F(G)，現(xiàn)在令F(G)=P=N1×N2×… ×Nt，其中Ni(i=1，2，…，t)是群G的包含在P中的極小正規(guī)子群，由于Φ(G)=1，對于群G的包含在P中的每一個極小正規(guī)子群N，都存在G的一個極大子群M，使得G=NM=PM，且有N∩M=1．令MP為M的Sylow p-子群，則P=P∩G=P∩MN=N(P∩M)=(P∩M)×N，并且有引理11可得，GP=PMP，令P1是GP中包含MP的極大子群，記為P2=P1∩P，顯然，P1=P2MP，且P2=(P∩M)×(P1∩N)，因為P2∩MP=P∩MP，有p=|GP:P1|=|PMP|:P2MP|=|P:P2|，從而P2是P的極大子群．類似的，可得N*=P1∩N是N的極大子群，因為P2=P1∩P?GP，再由引理5可知，GP≤NG(P2)≤NG((P2)sG)，進一步有(P2)sG被Op(G)GP=G正規(guī)化，所以易知(P2)sG=(P2)G=P∩M，又因為P2在G中是弱s*-擬正規(guī)嵌入的，所以存在群G的正規(guī)子群K，使得P2K?G且P2∩K≤(P2)se，注意到P2∩K ≤Op(G)，令(P2)GK=K1，則K1?G且P2K=N*K1，由P2K?G，得N*K1?G，進而N*∩K1=1，否則，若N*∩K1≠1，N*∩K1=N*∩K1∩N=N*∩N=N*，則N*≤K1，矛盾．如果N∩K1=1，則 N∩N*K1=N*(N∩K1)=N*，因此，N*=1，故 |N|=p．若 N ∩ K1=N，則N*∩K1=N*，矛盾．綜上可知|Ni|=p，i=1，2，…，t．

(4)最后的矛盾．

對于任意的 i，商群 G/CG(Ni)同構于Aut(Ni)的子群，其中Aut(Ni)是階為p-1的循環(huán)群，由于所有的p-超可解群構成的群類是飽和群系，故G/(CG(Ni))是p-超可解的，再由(CG(Ni)) = CG(F(G))可知G/CG(F(G))=G/F(G)是p-超可解群，于是G是p-超可解群，矛盾．

［1］ Miao L．On weakly s-permutable subgroups of finite groups［J］．Bull Braz Math Soc，2010，41(2):223-235．

［2］ 韋華全．子群的特性與有限群的結構［D］．廣東中山:中山大學，2006．

［3］ Miao L，Qian G H．A condition for the solvability of finite groups［J］．Siberian Math J，2009，50(4):687-691．

［4］ 周洋，楊立英，韋華全，等．弱s*-擬正規(guī)嵌入子群對p-冪零群的影響［J］．信陽師范學院學報:自然科學版，2013，4(26):469-472．

［5］ Huppert B．Endliche gruppen［M］．New York:Heidel-berg，Springer-Verlag，1967．

［6］ 徐明曜．有限群導引:上冊［M］．北京:科學出版社，1999．

［7］ 陳云坤．子群的指數(shù)集對有限群的影響［J］．貴州師范大學學報:自然科學版，2011，29(1):45-47．

［8］ Asaad M，Heliel A A．On s-quasinormally embedded subgroups of finite groups［J］．J Pure Appl Algebra，2007，165:129-135．

［9］ Wei H，Wang Y．On c* -normality and its properties［J］．J Group Theory，2007，10(2):211-223．

［10］ Guo W．The theory of classes of groups［M］．New York:Science Press-Kluwer Academic Publisher，2000．