基于彩色數字全息的透鏡焦距檢測

王曉惠，劉 超，陸英仕，樓宇麗

(昆明理工大學理學院，昆明650500)

引 言

在光學無損檢測領域中，全息技術是一種精密檢測技術［1-5］。與傳統全息相比，數字全息省去了底片處理的過程，大大節省了時間，由于縮短了曝光時間，從而降低了對振動的敏感性，可以定量地得到相位信息。數字全息的這些優點使它適合應用于物體3維形貌及微形變等物體量的測量［5-6］。實時數字全息檢測研究中，測量物體表面微形變這一類物理量時，需要實時檢測觀測點不共面的3個位移矢量，通常使用3種不同波長的激光進行彩色數字全息檢測。當被測量物體的投影尺寸與CCD面陣尺寸有較大差異時，為讓CCD較好地接收物光場信息，采用光學系統對物光場進行變換是通常采取的措施。例如，讓物光通過不同性質的透鏡組成的顯微鏡或變焦系統［7-9］，將物體成像在CCD平面。然而，由于透鏡的焦距是光波長的函數，當使用多種波長的光照射物體時，不同波長的光對應不同的像平面。因此，當光學系統給定后，準確確定不同波長光照射下物體的像平面，并通過數字全息重建不同色光的物體像，是應用研究中必須解決的問題。

當光學變換系統可以由四元素的光學矩陣描述時，將矩陣光學與衍射光學相結合，LI等人提出在像空間及物空間進行物光場重建的方法［7］。然而，當光學系統由多個光學元件組成時，必須準確知道每一光學元件的光學參量及構成光學系統時所在的準確位置。由于透鏡是組成光學系統的主要元件，系統中所使用透鏡的焦距值在重構圖像時是一個重要參量，而透鏡對不同波長的入射光有不同的焦距值，焦距值準確與否將直接影響到重構圖像的質量好壞，因此透鏡焦距的測量是很有必要的。雖然已有一些研究者進行過透鏡焦距測量方面的工作［10-12］，但是均沒有考慮焦距與入射光波長之間的關系。為此，作者提出簡易可行的透鏡焦距測量方法，對3種波長對應的焦距值進行了測定。給出了根據實測結果進行的彩色數字全息圖像重建［13］的實例。

1 檢測原理

實驗原理如圖1所示。

Fig.1 Diagram of interferometry

首先把從同一束激光分束，然后分別經過準直和擴束。其中通過待測透鏡的透射光波為一球面波，該球面波與參考光波(也為一球面波)相遇后產生干涉，用CCD在干涉場中某一位置記錄其干涉圖像。通過對干涉條紋進行分析，測量出該位置的球面波波面半徑d。d0為透鏡到CCD間的距離，然后根據f=d0-d近似求出透鏡焦距。以下給出CCD波面半徑測量的理論分析。

干涉場強度為:

式中，λ為波長。令(x2+y2)=r2，則當相位差為時，出現干涉亮紋。

令n=m及m+1，對于兩相亮紋，則由(2)式可得:

假設其中一個球面波的波面半徑dref已知，則有:

式中，rm+1和rm分別為相鄰的第m+1級和第m級圓環的半徑，和前面的處理一樣，對上式進行整理，令Dm+1=2rm+1及Dm=2rm，得到下式:

式中，dref可以直接測得。根據(4)式可以利用CCD測量的全息圖上相鄰兩干涉環的直徑來確定d。而d就是經待測透鏡到達CCD接收面的球面波的波面半徑，用(5)式多次測量的平均值為到達CCD的球面波的波面半徑。則可計算出透鏡焦距:f=d0-d，對于負透鏡，f=d0-d為負值。

2 實驗研究結果

2．1 數據處理

實驗研究中，待測焦距的透鏡是一個標稱值為f0=-100mm的負透鏡(該焦距的標稱值是在587.6nm波長下測得)。本實驗中用CCD記錄了透鏡后d0=385.0mm位置的透射光波與一球面參考波(波面半徑dref=717.0mm)的干涉圖像，該球面波的波面半徑為每一位置分別采用了波長為0.0006328mm的紅光、波長為0.000532mm的綠光及波長為0.000473mm的藍光進行干涉實驗。

Fig.2 Interference pattern under the irradiation of three wavelengthsa—red light interference pattern b—green light interference pattern c—blue light interference pattern

根據上面推導的(5)式編寫程序，對實驗中拍攝的3個干涉圖進行處理后，求得到達CCD平面的3種色光的波面半徑分別為:紅光 dr=495.2mm，綠光dg=493.6mm，藍光db=493.2mm。根據 f=d0-d，而d0=385.0mm，有:

2．2 透鏡焦距的修正

從圖1中可以看到，光束是經由一個分束鏡才到達CCD平面進行干涉，分束鏡的折射率與空氣折射率間的差異，會對到達CCD平面的球面波波面半徑的測量造成影響，為了準確測量透鏡焦距，必須對直接由干涉圖獲取的波面半徑進行修正。

根據光學理論，兩點之間在距離不變情況下，若插入一折射率為n、厚度為t的透明介質，則光程的變化量為，實驗中要據此進行修正。因為折射率與入射光的波長有關，所以要獲取分束鏡與各種色光對應的折射率。

對于本實驗中使用的分束鏡型號為DCL1010407(K9L)，材質為 H-K9L(517642)，厚度 t=25.4mm，其在587.6nm波長下的折射率為n=1．51680，根據插值公式 n2=a0+a1λ2+a2λ-2［9，14］，根據廠家提供的幾種波長及對應折射率，由其中3種波長及對應折射率并利用n2=a0+a1λ2+a2λ-2就可計算出3個系數，分別為:a0=2．261，a1=1.459 ×10-2μm2，a2=-2.944 ×10-4μm4。對于每一種光波，就可據上式得到其對應的折射率。獲得紅光nr=1.51509，綠光ng=1.51947，藍光nb=1.52336，很明顯，折射率隨光波長的增大而減小。

透鏡的焦距與入射光的波長相關，根據參考文獻［15］中的研究結果，不同色光照射下透鏡焦距值間有關系式:

根據該式，如果知道透鏡與某一光波對應的焦距值及折射率，只要知道與另一光波對應的折射率就可求出相應的焦距值。

已知透鏡焦距標稱值f0=-100mm(在587.6nm波長下測得，對應折射率為n=1.51680)為已知量，利用(7)式計算3種色光對應的焦距值。已知透鏡材質為K9L系列玻璃，故利用前面的討論，可知其對3種色光的折射率分別為:nr=1.51509，ng=1.51947，nb=1.52336。則3種色光干涉下對應的焦距值分別為:

由實驗測得的結果與標稱值間的相對誤差均在1%左右;由實驗測得的結果與理論獲得的透鏡焦距值相對誤差雖然也在1%左右，但實驗的結果與理論計算值均符合透鏡焦距隨入射光波長增大而增大的規律。

為進一步通過實驗驗證測量結果，在彩色數字全息波前重建實驗中，分別將透鏡焦距標稱值和測量值作為參量代入，進行對比。

2．3 彩色數字全息波前重建實驗

圖3是記錄數字全息圖的簡化光路。物體是105mm×75mm的泥塑彩繪猴王頭像，在激光照射下，散射光通過凹透鏡L0及分束鏡Ms到達CCD形成物光，其與到達CCD的參考光進行干涉。分別用λ=0.0006328mm，λ =0.000532mm，λ =0.000473mm 3種色光進行干涉實驗，拍攝全息圖。

Fig.3 Simplified light path of digital hologram recording

實驗中，由分束鏡Ms上方引入的參考光是均勻球面波，通過實驗調整參考光傾角，使得物體在像空間的快速傅里計變換重建像能與0級衍射光的干擾有效分離。相關的實驗參量為:d0=220mm，d1=406mm，d2=25mm，d3=100mm。CCD面陣有效像素為1024×1024，物理寬度L=4.76mm。

基于參考文獻［7］中提出的像空間重建的基本思想，將物體在像空間的像視為像空間進行波前重建的物體，將像到CCD的距離視為物距，先在像空間利用一次傅里葉變換重建方法重建物體的像，然后利用參考文獻［16］中提出的FIMG4FFT波前重建技術，在一次傅里葉變換方法獲得的像平面上截取需要重建的區域，進行了放大率為M=0.07的波前重建，分別得到3種色光的重建像，再由它們合成彩色圖像。圖4a和圖4b中給出了分別使用透鏡焦距標稱值和測量值進行重建而獲得的彩色圖像。

Fig.4 Comparison of color image synthesis before and after the correction of lens focal lengtha—before focus correction b—after focus correction

可以看出，如果不考慮色差，按照透鏡焦距標稱值f=-100mm進行彩色數字全息波前重建圖像質量與用焦距測量值的重建圖像質量相當。

3 結論

基于數字全息的透鏡焦距測量方法，透鏡的測量值與標稱值相差1%左右。在數字全息檢測研究中，由于獲得高質量的重建圖像是實現準確檢測的前提，實驗中所獲得的3種色光下的透鏡焦距值符合隨波長增大而增大的規律，與理論計算相吻合。而且這一方法可以推廣到任意透鏡組合，檢測透鏡組合的等效焦距，其有著廣泛的應用空間。在本實驗中，實驗原理易懂、光路搭建簡便，利用CCD記錄干涉條紋是一種非接觸式測量方法，所以精確度高，很適合實驗室的操作。期望本文中提出的方法能為彩色數字全息研究提供一個有益的參考。

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