高職數學與數學建模相結合的探討

黃金紅

【摘 要】如何提升學生對學習的熱情是高職數學教學不斷思考的問題，將數學建模的方式運用到教學中除了能提高學生學習熱情，還能加深學生對數學的了解認識，形成正確的價值觀，進而提升高職數學教育的價值。本文從高職數學教學方法和內容上，引入實際案例，特別是一些貼近現實生活的數學建模案例，給出我們在課堂上應該如何融入數學建模思想，解決實際問題。

【關鍵詞】高職數學教學;數學建模;實際案例

作為高等職業技術學院基礎課中的重要課程，高職數學的職責是要為以后學習的專業課奠定牢固的根基，并且造就學生的專業素養。從筆者視角來說，學生在學習數學時缺乏自主性以及數學的應用性在教學中無法得到體現，這是數學教育在高等職業技術學院遇到的兩個實際問題，也是高職院校需要在當下數學教學中積極重視處理的問題。

在本文中，探究了一些提升學生在數學方面的學習熱情的辦法。希望提高學生學習數學的熱情、積極學習數學，那第一件事是調動學生學習數學的熱情。數學建模在教育模式上是一種創新型探索，對于提升高職學生對學習數學興趣有很大好處。將數學建模的思維和教學模式運用到高職數學教學中，利用包含實際含義、比較有實用的、也可以包含專業意義的范例，由學生獨立進行判辨、探尋，感悟在探求歷程學習數學的樂趣，令學生調動學習熱情，掌握運用書本的知識、數學思考模式和數學知識辨析問題，解決實際問題的意識和能力。

一、結合課本的習題或例題 引入數學建模思想

高職數學的教授中，需要在關注基礎和課本，利用書本教學和數學建模，并且融合數學實驗。課本上的許多例題或者習題稍作推廣就是一個數學建模案例。高職數學在長期的教學實踐中提煉，內容不具象，但是有很好的應用性。通過數學建模選修課學習，總結得出的經驗和思維方式嘗試運用到高職數學教學中去。

案例1：一位美國人希望到加拿大度假，因此，他為了兌換加元用了1000美元， 幣值升值了12%。但是沒能成功出行，他又把這一筆加元換成美元，幣值減值了12%。問：通過這兩次的兌換后，他是不是實際資金減少了呢？

這是緊密貼合實際的例子，讓學生產生探究興致。其實這只是一個簡單的構造函數關系的例子，我們可以用模型的方式給出解答，以此拓寬學生的思維形式。

設f（x）表示將x美元兌換成的加元數，增值比例為a;g（x）表示將x加元兌換成的美元數，減少比例為b。如果此人一來一回的兌換后不盈不虧的話，f（x）和g（x）應互為反函數，即有如下關系：g[f（x）]=x

易知：g[f（x）]<x，則此人虧了;若g[f（x）]>x，則此人有盈余。

由題設：f（x）=x+ax，a>0，x>0;

g（x）=x-bx，b>0，x>0。

則將x美元兌換成加元后，再將加元兌換成美元的數額為：

g[f（x）]=（1-b）（1+a）x，

可以看出（1-b）（1+a）=1不盈不虧，

依題設a=b=0.12，再設x=1000美元，

則g[f（x）]=（1-0.12）（1+0.12）×1000=985.6，由此可知此人虧損14.4美元。不虧甚至盈余時，應用（1-b）（1+a）≥1，得到b≤ = ≈0.107，即減少的比例不能超過10.7%。顯然，換匯機構不會按此要求做虧本生意。

案例2：某人欲購買一套二居室的住房，需支付100萬元，首付40萬元，還需向銀行申請60萬元的買房貸款，貸款25年為期，月利率1%。按復利計算，還款從借款的下一個月開始。試問：此人每月應還多少錢？

在現實生活中每個人都基本會碰到這樣的問題。這是一個構造關于數列及多元函數的模型問題。

假設借貸期限為n個月，貸款額為An，月利率為r，按復利計算，每月需還金額為x元。

第一個月還款x元后欠款余額為：A1=（1+r）An-x

第二個月還款x元后欠款余額為：

A2=（1+r）A1-x=（1+r）2A0-（1+r）x-x

……

第n個月還款x元后欠款余額為：

An=（1+r）An-1-x=（1+r）2An-1-（1+r）x-x

=……

=（1+r）nA0-（1+r）n-1x

-（1+r）n-2x-…-（1+r）x -x

=（1+r）nA0-

第n個月還清貸款，則An=0，于是有

x= A0

從公式看出，每月還款額x是貸款額A0、貸款期限n與月利率r的函數，這是一個多元函數。

根據題設，n=300，A0=600000，r=0.01

x= ×600000≈6319

即每月還款額為6319元。

通過這兩個例子，學生會逐步認識到，數學建模來自課本，高于課本。增強了學習的興趣和動力。

二、將課本內容延伸，引入建模思想

在講解高職數學的基礎概念時，適當的引入生活中出現的，學生感興趣的現象，在教學中設計問題的情景利用啟發的方式，讓學生調動起對學習熱情，使學生在辨析問題和處理問題的思考模式與技能得到鍛煉， 令學生調動學習熱情，領悟學習方法。

案例3：兩人相約在某天下午1：00～2：00在約定的地方相見，如若先到就要等20分鐘，時間過后就離開。指定的一小時內每人任一時刻到達都是可能的，那么兩人見到還是見不到，兩種可能性哪種大？

在這個問題的解決方法上最直觀的辦法就是將學生兩兩分組做一個實驗，最終發現見到的比見不到的組數多。問：這是偶然還是必然？

分析與解答：設x，y為兩人到達預定地點的時刻，那么兩人達到時間的一切可能結果落在邊長為60（單位：分鐘）的正方形內，即樣本空間？萃。如圖所示：

兩人若能見面，需滿足|x-y|≤20，即x-y≤20，且y-x≤20。

令事件A表示“兩人能見到面”，能會面如圖中陰影部分，則

P（A）= = =

問題的延伸：先到的人至少等待多長時間，才能保證兩人以90%以上的可能性見到？

由以上分析可知：

P（A）= = ≥0.9，解得t≥41.1分鐘。

案例4：籃球比賽制定比賽規則問題

甲班同乙班舉行籃球比賽，如果甲班贏的可能性比較大，問：對于甲班來說，實現3局2勝，還是5局3勝更有優勢？

解決此問題的直接方法是先讓學生進行籃球比賽，甲組厲害一些，乙組更弱一些。用兩個賽制來進行比賽，觀察結果，發現對于甲組來說，5局3勝更有利。問：這是必然嗎？

分析與解答：每一局比賽中假設甲班獲勝的幾率為P，各局為互相獨立的比賽。

3局2勝中甲班獲勝的狀況有兩種：舉行2局賽事，亦或舉行3局賽事，這讓甲班獲勝的幾率為：

P1=p2+C21p2（1-p）=p2（3-2p）

5局3勝中甲班獲勝的狀況有三種：舉行2局賽事，舉行4局賽事，亦或舉行5局，這讓甲班獲勝的幾率為：

P2=p3+C32p3（1-p）+C42p3（1-p）2

=p3（10-15p+6p2）

若p> ，容易得到P1<P2，即，對于甲班來說制定5局3勝更容易贏得比賽。

問題的延伸：若甲乙兩班的籃球水平相當，賽制怎么制定？

由以上分析可知：此時p= ，代入可得P1=P2，即無論什么賽制，甲班贏得比賽的概率都是 。

大部分實際問題被應用在高職數學中，這要求學生思考問題本身，并加以辨析推敲，以上兩個案例提示學生碰到問題時要多思考，多想，切忌匆忙下定論，遇到問題需要根據實際情況處理。老師們在舉例的時候則需要多考慮學生的興趣愛好，來提高學生學習數學的熱情。

三、結論

高職數學內容豐富有趣，學習高職數學不只是培養學生的能力，大量的實際問題沒通過簡單的數學模型，是可以解決的。在我們的教學中，多聯系生活，多引入數學建模的思維方式和解題方式，可以增加學生的學習興趣，引導學生研究身邊問題的習慣，從而學好高職數學。

高職數學是容易學習的，這需要我們努力革新教學模式，建立用數學思維模式，運用生活中案例，結合書本，攻克數學的抽象，學生會感受高職數學感的樂趣，也就能掌握好高職數學。

運用高職數學同數學建模互相融合的創新教學方法。需要教師在掌握課本的同時領會數學建模，其要求也相對提高。怎樣將數學建模運用到高職數學教學中，處理實際情況，讓學生體會到學習數學的趣味性和實用性，這是老師需要全心探尋的方法;以學生角度看，掌握高職數學，能更方便處理實際碰到的一些問題，因此掌握高職數學非常重要。

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（作者單位：無錫商業職業技術學院基礎教學部）