對柳比莫夫擺運動規律的探討*

張邦健，苗峰**，張傳武

（西南民族大學電信學院，四川成都610000）

對柳比莫夫擺運動規律的探討*

張邦健，苗峰**，張傳武

（西南民族大學電信學院，四川成都610000）

推出了柳比莫夫擺的動力學特征方程，通過對動力學方程的分析證明了柳比莫夫擺并非擺動而是做圓周運動，得出了小球運動的特征橢圓，并利用特征橢圓分析小球運動的規律并給出了周期公式。

柳比莫夫擺；特征方程；特征橢圓；周期

1 問題的提出

柳比莫夫擺是研究熱對流問題的一個簡化模型[1-3]。圖1所示為柳比莫夫擺模型圖，框架上懸掛小球，小球質量為m，框架質量為M。將小球移開平衡位置并給其一切向速度，同時釋放框架。當時，小球會繞框做勻速圓周運動[4]。如果m與 M可比擬時，小球又將做怎樣的運動呢？文獻[5]已對這個問題有了一定的探討，本文將進一步分析小球的運動規律。

圖1 柳比莫夫擺裝置圖

2 小球運動規律的特征方程

關于θ的大小，作如下規定：從y軸負半軸開始逆時針旋轉一定的角度與擺線重合，這個角度就稱為θ。筆者采用隔離法來建立方程，首先以框為研究對象，該物體受到三個力的作用，即重力，繩對框的拉力，桿對框的作用力，如圖2所示

圖2 框的受力示意圖

圖3 小球的受力示意圖

利用x、y方向的分速度與夾角的關系可知

3 證明小球做圓周運動

3.1 細繩始終是繃直的

圖4 繩彎曲時球的運動情況

3.2 小球的運動永不反向

從（14）可以看出：小球相對于框的速度永不為零也不趨近于零，否則，與（14）矛盾。由于小球的速度不能突變，所以小球的運動將不會反向。

3.3 小球的位移沒有極限

現假設A點是小球的極限位置，可以分兩種情況：①小球相對于框靜止在A點；②小球相對于框無限逼近A點。對于①，顯然有小球相對于框的速度為零。對于②，前面已經論述了小球的運動永不反向，而小球又無限逼近A點，故必然有小球相對于框的極限速度也為零，同樣與（14）矛盾。可見小球的位移沒有極限。

綜上所述，由于繩在任意時刻都是繃直的，且小球的運動永不反向，小球的位移又沒有極限，則相對于框，小球必然做圓周運動。

4 小球運動的特征橢圓

4.1關系

其圖像如圖5所示

圖5 特征橢圓1（關系）

下面再進一步地討論這個橢圓與小球運動規律之間更深層次的聯系。從圖5中可以得出

4.2關系

若將圖5中的橢圓做這樣的變換：保持各點的縱坐標不變，橫坐標變為原來的倍，則將原來的橢圓拉成了一個半徑為的圓，如圖6(a)所示。

圖6 位速變換圖

5 柳比莫夫擺的性質

根據特征橢圓，可以發現一些柳比莫夫擺的性質：

5.1 小球速度的變化規律

根據特征橢圓1，有小球與懸點相平時速度最大，在最高和最低位置時速度最小。從水平位置經過最低（高）點到水平位置時，水平分速度從零到最大再變為零，而豎直分速度從最大變為零再變到最大。

5.2 小球運動的周期

5.3 小球的運動學方程

5.4時小球的周期及周期公式的檢驗

下面由以上所求周期公式計算該情形下的周期：

即小球質量遠遠小于框的質量時的周期公式可作為柳比莫夫擺周期公式的特例給出，同時也說明了柳比莫夫擺周期公式的正確性。

6 結論

本文利用經典力學理論推出了柳比莫夫擺的動力學特征方程及特征橢圓，并通過特征橢圓進行分析得出了及之間的關系。證明了柳比莫夫擺做非勻速圓周運動，并得到了柳比莫夫擺運動的周期公式。本文結果研究表明，時的柳比莫夫擺周期公式可作為柳比莫夫擺運動周期公式的特例給出。

注釋及參考文獻：

[1]Pavan K．Shukla,R．Narayanan．The effect of time-dependent gravity with multiple frequencies on the thermal convective stability of a fluid layer[J]．International Journal of Heat and Mass Transfer,2002(45):4011-4020．

[2]D．Lyubimov,A．Cherepanov,T．Lyubimova．Behavior of a drop(bubble)in a non-uniform pulsating flow[J]．Advances in Space Research,2002,4(29):667-672．

[3]Mark I．Shliomis．Nonlinear Dynamics of a Ferrofluid pendulum[J]．Physical Review Letters,2004,7(23)．

[4]漆安慎，杜嬋英．普通物理教程-力學[M]．北京：高等教育出版社,2005:112，477．

[5]張邦健，黎昌金，陳永強,等．對柳比莫夫擺運動規律的研究[J]．西部教育研究,2010,4:108-110．．

[6]《現代數學手冊》編纂委員會．現代數學手冊-經典數學卷[M]．武漢：華中科技大學出版社，1999:372-377．

The Discussion of the Lyubimov Pendulum’s Law of Movement

ZHANG Bang-jian，MIAO Feng，ZHANG Chuan-wu
(School of Electronic and Information Engineering，Southwest University for Nationalities，Chengdu，Sichuan 610000)

In this paper,we have derived the kinetic characteristic equation of the Lyubimov Pendulum’s and have proved that it will circle.It is concluded eigenellipse of the small ball movement.Making use of the eigenellipse,it has also solved the Period’s analytical expressions of the Pendulum’s movement and provided its cycle formula.

Lyubimov Pendulum’s;characteristic equation;eigenellipse;period

O314

A

1673-1891（2015）03-0017-03

2015-03-27

西南民族大學2014年教育教學改革青年項目（項目編號：2014QN05）。

張邦健（1990-），男，四川成都人，碩士，研究方向：材料物理。**為通信作者苗峰博士。