負二項分布的結構研究

康 殿 統

(河西學院 數學與統計學院, 甘肅 張掖 734000)

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康 殿 統*

(河西學院 數學與統計學院, 甘肅 張掖 734000)

給出了負二項分布的兩個不同定義與一個結構性定理.研究了兩類負二項隨機變量的無窮可分性.給出了求兩類負二項隨機變量的期望、方差與矩母函數的幾種簡捷方法. 另外給出了涉及負二項隨機變量的兩個計算實例.

負二項分布; 伽瑪分布; 矩母函數; 泊松過程; 混合; 無窮可分性; 因子分解法

1 預備知識

在應用概率論與經濟學中, 負二項分布(Negative Binomial Distribution)以其重要而有趣的性質居于一個重要的位置. 關于負二項分布的研究,國內外已有大量的文獻,有興趣的讀者可參閱文獻[1-2].本文對負二項分布的結構進行研究,同時也將展示幾個求負二項分布的期望、方差及矩母函數的簡捷方法.

定義1設X為一非負離散隨機變量. 如果X具有概率質量函數

則稱X服從參數為n與p的二項分布,記做X～B(n, p),這里n為正整數,0

定義2稱函數MX(t)=E(etX),t≥0為非負隨機變量X的矩母函數.

注1若隨機變量X與Y獨立.則有MX+Y(t)=MX(t)MY(t),t≥0.

定義3設X為一非負離散隨機變量. 如果X具有概率質量函數

則稱X服從參數為λ的泊松分布,記做X～P(λ),這里λ>0為實數.

泊松隨機變量的矩母函數為:

MX(t)=eλ(et-1),t≥0.

(1)

定義4如果非負連續隨機變量X具有概率密度函數

(2)

則稱X服從參數為α與λ的伽瑪分布,記作X～G(α,λ),其中,α>0為形狀參數,λ>0為尺度參數.Γ(α)為Gamma函數.

容易算出,伽瑪隨機變量的矩母函數為:

(3)

定義5[1]設Y為一非負離散隨機變量. 如果Y具有概率質量函數

則稱Y服從參數為r與p的負二項分布,記做Y～NBi(r,p),這里r>0,0

當r為正整數時,負二項分布NBi(r,p)稱為帕斯卡分布.下文中提到負二項分布NBi(r,p)時,均指r為正整數的情形.這時Y～NBi(r,p)的概率質量函數為:

當r=1時,負二項隨機變量的概率質量函數為:

P(Y=x)=p(1-p)x,x=0,1,2,…,

這時稱Y服從參數為p的幾何分布,記作Y～Ge(p).

由定義直接計算可得負二項變量Y～NBi(r,p)的矩母函數為:

定義6設X為一非負離散隨機變量. 如果X具有概率質量函數

則稱X服從參數為r與p的負二項分布分布,記做X～NB(r,p),這里r為正整數,0

當r=1時,X～NB(1,p)=G(p),這時稱X服從參數為p的幾何分布,X具有概率質量函數

pX(x)=pqx-1,q=1-p,x=1,2,….

X～NB(r,p)的矩母函數為:

2 結構性定理

當r為正整數時,負二項變量Y～NBi(r,p)表示在獨立伯努利實驗序列中第r個成功發生前的失敗次數.然而在保險實務中,負二項變量表示在特定的時期內的索賠次數,索賠頻率服從Poisson分布,但參數具有隨機性,即參數為一隨機變量,且服從伽瑪分布.就是說負二項分布看作是是Poisson分布以伽瑪分布為權重的連續混合.這種觀點可由下面的定理來證實.

證明下面求Z的概率質量函數.設Λ～G(r,β),即Λ具有概率密度函數

其中,r,β為正實數.則Z的概率質量函數為:

(4)

(5)

當r為正整數時,Γ(r+x)=(r+x-1)!,Γ(r)=(r-1)!,則(5)式化為:

q=1-p,x=0,1,2,…,

由于

所以

(6)

注2(6)式解釋了負二項分布這個名詞的由來.

3 無窮可分性

定義7[3]1) 對于任何n=2,3,…,如果一個分布可以表為n個同一概率分布的卷積(或稱合成),則稱該分布為無窮可分分布;

2) 無窮可分分布的特征函數f(t)稱為無窮可分的,如果對于任何n,這個特征函數可以表為另一特征函數的n次冪:f(t)=[fn(t)]n;

3) 定義在某個概率空間上的隨機變量,如果對任何n,它可以表為定義在該空間上的n個獨立同分布的隨機變量之和,則稱該隨機變量為無窮可分的.

注31)每一個無窮可分隨機變量的分布是無窮可分的,但反之不恒真;

2)分布的無窮可分性可以用特征函數來檢驗;

3)當隨機變量的矩母函數存在時,分布的無窮可分性也可以用矩母函數函數來檢驗.

定理2負二項隨機變量X～NB(r,p)和Y～NBi(r,p)都是無窮可分的.

證明設X～NB(r,p),Y～NBi(r,p),Xi～G(p),Yi～Ge(p),i=1,2,…,r,則有

X=X1+X2+…+Xr,

Y=Y1+Y2+…+Yr,

由定義7知,負二項隨機變量X～NB(r,p)和Y～NBi(r,p)都是無窮可分的.

定理3負二項分布NB(r,p)和NBi(r,p)的特征函數和矩母函數都是無窮可分的.

證明負二項分布NB(r,p)和NBi(r,p)的特征函數分別為:

和

顯然

和

由上面的注記3的2)可知,下面的定理成立.

定理4負二項分布NB(r,p)和NBi(r,p)都是無窮可分的.

4 求期望、方差與矩母函數的簡捷方法

4.1 求矩母函數的雙期望法

下面給出一個計算矩母函數的一般方法,這個方法稱為混合法.利用此方法,可以容易地算出負二項變量的矩母函數.

由矩母函數的定義,MX(t)=E(etX),t≥0.設Y為另一非負隨機變量.由雙期望公式,有

MX(t)=E(etX)=

EY[E(etX|Y)]=EY[MX|Y(t)].

(7)

當Y連續時,X是X|Y=y的連續混合.設Y的密度函數為fY(x),則有

命題1設X～NBi(r,p),則

證明設X～NBi(r,p),Λ～G(r,β).由定理1知[X|Λ=β]～P(β).由(1)式有

注4負二項分布這個名詞的由來也可以通過如下所述的矩母函數方法來說明.

由于二項隨機變量X～B(n,p)的矩母函數為:

MX(t)=[(1-p)+pet]n,t≥0.

4.2 求負二項隨機變量期望、方差與矩母函數的因子分解法

4.2.1 一般方法 這個方法對求無窮可分隨機變量的期望、方差與矩母函數非常實用.設X為一無窮可分隨機變量,由隨機變量無窮可分的定義,對任何正整數n,存在n個獨立同分布的隨機變量Xi,i,=1,2,…,n,X可以分解為這n隨機變量之和.即

X=X1+X2+…+Xn.

利用這個分解式,容易求出X的數學期望、方差、矩母函數分別為:

E(X)=nE(X1),D(X)=nD(X1),

MX(t)=[MX1(t)]n.

更一般地,把X分解為任意若干個隨機變量之和,只要這些分解出來的隨機變量好求數學期望即可,也不要求相互獨立,這樣X的期望數學就等于這些隨機變量數學期望之和.但在求方差與矩母函數時,要求分解出來的這些隨機變量要相互獨立,最好還是同分布的,這樣求X的數學期望期望、方差與矩母函數將變得非常簡單.

4.2.2 負二項隨機變量的因子分解法 設X～NB(r,p),Y～NBi(r,p),這里r為正整數,0

X=X1+X2+…+Xr,Y=Y1+Y2+…+Yr.

(8)

由于X1與Y1的數學期望、方差與矩母函數分別為:

由(8)式有X～NB(r,p)與Y～NBi(r,p)的數學期望、方差與矩母函數分別為:

4.2.3 轉換法 由定義5與定義6知道,如果X～NB(r,p),Y～NBi(r,p),r為正整數,0

X=Y+r,r=1,2,…,

所以有

E(X)=E(Y)+r,D(X)=D(Y),

MX(t)=ertMY(t),t≥0.

(9)

由(9)式知,在X～NB(r,p)與Y～NBi(r,p)兩者中,只要知道其中一個的期望、方差與矩母函數,則另一個的期望、方差與矩母函數就可以通過(9)式求得.

例如,已有Y～NBi(r,p)的數學期望、方差與矩母函數分別為:

t≥0,qet<1,q=1-p,r為正整數,

則由(9)式有,X～NB(r,p)的數學期望、方差與矩母函數分別為:

同理,也可由X～NB(r,p)的數學期望、方差與矩母函數通過(9)式求出Y～NBi(r,p)的數學期望、方差與矩母函數.

上面的轉換法還可以推廣到更一般的情形,限于篇幅在此不再贅述.

5 例子

下面給出兩個與負二項分布密切相關的例子.

例1設k,r為正整數,k

只需求X和Y的聯合概率質量函數.

q=1-p;n=r-k+m,r-k+m+1,…;m=k,k+1,….

特別地,取k=1,r=2,則有

P(X=m,Y=n)=p2qn-2,

q=1-p;n=m+1,m+2,…,m=1,2,….

X的概率質量函數為:

即X～G(p).Y的概率質量函數為:

即Y～NB(2,p).

這就是文獻[4]中的例3.3.1.

例2一個中等規模的運輸公司,管理層在考慮雇員的來年投保問題時需要知道來年發生醫療索賠的人數超過4例的概率[1].

則所求概率為:

[1]BeanMA. 概率論及其在投資、保險、工程中的應用[M].英文版. 北京:機械工業出版社, 2003.

[2] 蔣仁言, 左明健. 可靠性模型與應用[M]. 北京:機械工業出版社,1999.

[3] 《數學百科全書》編譯委員會. 數學百科全書 [M]. 第3卷. 北京:科學出版社,1997.

[4] 馬統一, 康殿統, 李 勁. 經濟應用數學-概率論與數理統計[M]. 北京:高等教育出版社,2004.

A study on structures of two kind negative binomial distributions

KANG Diantong

(School of Mathematics and Statistics, Hexi University, Zhangye, Gansu 734000)

Two different definitions of the negative binomial distributions were introduced and a structural theorem was presented for the negative binomial random variables. The infinite divisibility of two types of the negative binomial random variables was investigated. Also several simple calculating methods for calculating the expectations, variances and moment generating functions of these random variables were given. And two illustrative calculating examples were shown as well.

negative binomial distribution; Gamma distribution; moment generating function; Poisson process; mixture; infinite divisibility; factorization method

2014-09-10.

國家自然科學基金項目(41401653).

1000-1190(2015)03-0339-05

O211

A

*E-mail: kdt20042@126.com.